Equazioni e Disequazioni irrazionali
Ho cominciato oggi a studiare le equazioni irrazionali, mi chiedevo:
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Nell'equazione
$ sqrt(6x-5)=-x $
irrazionale perchè l'incognita compare sotto il radicando, mi porta ad avere la seguente equazione:
$ x^2-6x+5=0 $
Che ha le due $ x $ che saranno $ x_1=1;x_2=5 $ bene, si fa la verifica dei risultati in questo modo:
Per $ x=1 => $ $ sqrt(6*1-5)+1=0 $ so che avrò come risultato un valore $ >0 $ e cioè $ sqrt(6*1-5)+1=2 $, perchè il testo scrive $ sqrt(6*1-5)+1 != 0 $
Anche per la seconda verifica per $ x=5 =>$ $ sqrt(6*5-5)+1 != 0 $
Si conclude che ovviamente l'equazione è impossibile e ci credo pienamente, ma non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
Grazie mille!
Risposte
La seguente equazione è impossibile, devo spiegare il motivo per la quale è impossibile 
$ sqrt(2x-1)=-3 $
Elevo al quadrato primo e secondo membro
$ 2x-1=9 $
Avrò
$ 2x-10=0=>2(x-5)=0=>x=5 $
Verifico ed ho per $ x=5 $
$ sqrt(2*5-1)=-3 $
$ sqrt(9)=-3=>3=-3 $
non potrà mai essere vera perchè a primo membro abbiamo $ 3 $ ed al secondo membro abbiamo $ -3 $
$ sqrt(2x-1)=-3 $
Elevo al quadrato primo e secondo membro
$ 2x-1=9 $
Avrò
$ 2x-10=0=>2(x-5)=0=>x=5 $
Verifico ed ho per $ x=5 $
$ sqrt(2*5-1)=-3 $
$ sqrt(9)=-3=>3=-3 $
non potrà mai essere vera perchè a primo membro abbiamo $ 3 $ ed al secondo membro abbiamo $ -3 $
Quando si ha un radicale è semplice, ma quando si hanno due radicali ho notato che si isola prima un radicale e si comincia a risolverlo, provo a fare questo ma correggetemi se sbaglio:
$ sqrt(x+1)+sqrt(2-x)+7=0 $
Isolo il primo radicale in questo modo, ma non sono sicurissimo.....
$ sqrt(x+1)=-sqrt(2-x)-7 $
Elevo al quadrato primo e secondo membro
$ (sqrt(x+1))^2=(-sqrt(2-x)-7)^2 $
se sto facendo bene allora sarà
$ x+1=49-2(-7)(-sqrt(2-x))+2-x $
$ x+1=49-14sqrt(2-x)+2-x $
Isolo al secondo membro il radicale ed avrò
$ x+1-49-2+x=-14sqrt(2-x) $
Spero che sia tutto corretto fin quì
$ 2x-50=-14sqrt(2-x) $
elevo al quadrato primo e secondo membro ed avrò
$ (2x-50)^2=196(2-x) $
$ 4x^2-200x+2500=396-196x $
$ 4x^2-4x+2108=0 $
che potrà essere scritta
$ x^2-x+527=0 $
E adesso mi trovo con un $ Delta<0 $ ed una equazione che sarà sempre $ >0 $ per $ AA x in R $
Come si può giustificare l'impossibilità dell'equazione irrazionale?
P.S. Sempre se tutti i passaggi sono svolti correttamente!
Grazie mille!
$ sqrt(x+1)+sqrt(2-x)+7=0 $
Isolo il primo radicale in questo modo, ma non sono sicurissimo.....
$ sqrt(x+1)=-sqrt(2-x)-7 $
Elevo al quadrato primo e secondo membro
$ (sqrt(x+1))^2=(-sqrt(2-x)-7)^2 $
se sto facendo bene allora sarà
$ x+1=49-2(-7)(-sqrt(2-x))+2-x $
$ x+1=49-14sqrt(2-x)+2-x $
Isolo al secondo membro il radicale ed avrò
$ x+1-49-2+x=-14sqrt(2-x) $
Spero che sia tutto corretto fin quì
$ 2x-50=-14sqrt(2-x) $
elevo al quadrato primo e secondo membro ed avrò
$ (2x-50)^2=196(2-x) $
$ 4x^2-200x+2500=396-196x $
$ 4x^2-4x+2108=0 $
che potrà essere scritta
$ x^2-x+527=0 $
E adesso mi trovo con un $ Delta<0 $ ed una equazione che sarà sempre $ >0 $ per $ AA x in R $
Come si può giustificare l'impossibilità dell'equazione irrazionale?
P.S. Sempre se tutti i passaggi sono svolti correttamente!
Grazie mille!
"Bad90":
...
$ sqrt(6x-5)=-x $
.....
non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
...
Il ragionamento che fa il tuo testo mi sembra questo ...
L'equazione
$sqrt(6x-5)=-x$
è stata riscritta come
$sqrt(6x-5)+x=0$
per fare le verifiche.
Sostituendo $1$ alla $x$ si trova $sqrt(6*1-5)+1=sqrt(1)+1=1+1=2$. Poiché il primo membro ($2$) è diverso ($!=$) dal secondo ($0$) la verifica non funziona e quindi $1$ non è una soluzione.
Stessa cosa per $5$: sostituendo $5$ alla $x$ si trova $sqrt(6*5-5)+1=6$. Poiché il primo membro ($6$) è diverso dal secondo ($0$) la verifica non funziona e quindi anche $5$ non è una soluzione.
"Bad90":
La seguente equazione è impossibile, devo spiegare il motivo per la quale è impossibile
$ sqrt(2x-1)=-3 $
....
A primo membro c'è una radice quadrata: $sqrt(2x-1)$. Questa, dove è definita ($2x-1>=0->x>=1/2 $), è certamente $>=0$.
Invece a secondo membro hai un numero $<0$, il $-3$.
Allora è chiaro che il primo membro non può essere mai uguale al secondo, perché un numero $>=0$ non può mai essere uguale a uno $<0$. Quindi l'equazione è impossibile.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
...
$ sqrt(6x-5)=-x $
.....
non capisco il perchè si indica con il semplice $ != 0 $
...
Il ragionamento che fa il tuo testo mi sembra questo ...
L'equazione
$sqrt(6x-5)=-x$
è stata riscritta come
$sqrt(6x-5)+x=0$
per fare le verifiche.
Sostituendo $1$ alla $x$ si trova $sqrt(6*1-5)+1=sqrt(1)+1=1+1=2$. Poiché il primo membro ($2$) è diverso ($!=$) dal secondo ($0$) la verifica non funziona e quindi $1$ non è una soluzione.
Stessa cosa per $5$: sostituendo $5$ alla $x$ si trova $sqrt(6*5-5)+1=6$. Poiché il primo membro ($6$) è diverso dal secondo ($0$) la verifica non funziona e quindi anche $5$ non è una soluzione.[/quote]
Ho capito perfettamente il significato!!
Grazie mille!
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]La seguente equazione è impossibile, devo spiegare il motivo per la quale è impossibile
$ sqrt(2x-1)=-3 $
....
A primo membro c'è una radice quadrata: $sqrt(2x-1)$. Questa, dove è definita ($2x-1>=0->x>=1/2 $), è certamente $>=0$.
Invece a secondo membro hai un numero $<0$, il $-3$.
Allora è chiaro che il primo membro non può essere mai uguale al secondo, perché un numero $>=0$ non può mai essere uguale a uno $<0$. Quindi l'equazione è impossibile.[/quote]
Ok!
"Bad90":
.....
$ sqrt(x+1)+sqrt(2-x)+7=0 $
.....
Come si può giustificare l'impossibilità dell'equazione irrazionale?
...
A primo membro hai la somma di tre termini.
1) $sqrt(x+1)$ è una radice quadrata e quindi, dove è definita ($x+1>=0->x>=-1$), assume valori soltanto $>=0$.
2) $sqrt(2-x)$ è una radice quadrata e quindi, dove è definita ($2-x>=0->x<=2$), assume valori soltanto $>=0$.
3) il numero $+7$.
Quindi la loro somma è certamente un numero $>0$. Perciò non può essere mai uguale al secondo che è $=0$.
Di conseguenza l'equazione è impossibile.
Ho capito perfettamente! Non sarebbe stato il caso nemmeno di risolverla 
. Ma giusto una curiosita' sui miei passaggi, dici che filano comunque?
Grazie mille.
. Ma giusto una curiosita' sui miei passaggi, dici che filano comunque? Grazie mille.
Non è un modo razionale di lavorare quello di andare avanti alla cieca .....
Se non era già chiaro dall'inizio, qui dovrebbe essere evidente che a primo membro hai una grandezza $>=0$ e a secondo membro una $<0$...
Perciò era inutile proseguire, perché era un'equazione evidentemente impossibile
In ogni caso, prima di cominciare a fare dei passaggi, devi individuare il $CE$: i radicali devono essere $>=0$.
Quindi ${(x+1>=0), (2-x>=0):}$.
No: è $ x+1=49+2(-7)(-sqrt(2-x))+2-x $
Prima di elevare al quadrato si poteva semplificare l'equazione per $2$
No: è $ 4x^2-200x+2500=392-196x $
"Bad90":
....
$ sqrt(x+1)+sqrt(2-x)+7=0 $
Isolo il primo radicale in questo modo, ma non sono sicurissimo.....
$ sqrt(x+1)=-sqrt(2-x)-7 $
Se non era già chiaro dall'inizio, qui dovrebbe essere evidente che a primo membro hai una grandezza $>=0$ e a secondo membro una $<0$...
Perciò era inutile proseguire, perché era un'equazione evidentemente impossibile
In ogni caso, prima di cominciare a fare dei passaggi, devi individuare il $CE$: i radicali devono essere $>=0$.
Quindi ${(x+1>=0), (2-x>=0):}$.
"Bad90":
Elevo al quadrato primo e secondo membro
$ (sqrt(x+1))^2=(-sqrt(2-x)-7)^2 $
se sto facendo bene allora sarà
$ x+1=49-2(-7)(-sqrt(2-x))+2-x $
No: è $ x+1=49+2(-7)(-sqrt(2-x))+2-x $
"Bad90":
....
$ (2x-50)^2=196(2-x) $
Prima di elevare al quadrato si poteva semplificare l'equazione per $2$
"Bad90":
$ 4x^2-200x+2500=396-196x $
No: è $ 4x^2-200x+2500=392-196x $
Scusami ma non mi e' chiaro il fatto che deve essere $ + $ qui':
$ x+1=49+2(-7)...... $
Perche' e' $ (A+B)^2 $ e non $ (A-B)^2 $ ?
Grazie mille.
$ x+1=49+2(-7)...... $
Perche' e' $ (A+B)^2 $ e non $ (A-B)^2 $ ?
Grazie mille.
$(-sqrt(2-x)-7)^2$ è un quadrato del tipo $(A+B)^2$, con $A=-sqrt(2-x)$ e $B=-7$.
Quindi
$(-sqrt(2-x)-7)^2=(A+B)^2=A^2+2*A*B+B^2=(-sqrt(2-x))^2+2*(-sqrt(2-x))*(-7)+(-7)^2$
Quindi
$(-sqrt(2-x)-7)^2=(A+B)^2=A^2+2*A*B+B^2=(-sqrt(2-x))^2+2*(-sqrt(2-x))*(-7)+(-7)^2$
Adesso ho capito! Grazie grazie e grazie.
Questo mi sembra impossibile per lo stesso motivo dell'esercizio precedente, cioè al primo membro un numero sempre $ >=0 $ mentre al secondo membro ho un numero $ <0 $ , quindi è impossibile, ecco qui':
$ 3sqrt(x+1) =-5sqrt(2x-1) $
Penso di avere detto bene, quindi non dovrebbe essere nemmeno il caso di fare altri calcoli!
Anche perchè, ipotizziamo di voler fare qualche prova per avere conferma, si può notare subito, infatti elevando al quadrato entrambi i membri, si ha:
$ 9(x+1)=25(2x-1)=>9x+9=50x-25 $
Oppure ancora, si potrebbe provare a dare $ x=1 $ e verificare in $ 3sqrt(x+1) =-5sqrt(2x-1) $ che è impossibile?! Giusto?
$ 3sqrt(x+1) =-5sqrt(2x-1) $
Penso di avere detto bene, quindi non dovrebbe essere nemmeno il caso di fare altri calcoli!
Anche perchè, ipotizziamo di voler fare qualche prova per avere conferma, si può notare subito, infatti elevando al quadrato entrambi i membri, si ha:
$ 9(x+1)=25(2x-1)=>9x+9=50x-25 $
Oppure ancora, si potrebbe provare a dare $ x=1 $ e verificare in $ 3sqrt(x+1) =-5sqrt(2x-1) $ che è impossibile?! Giusto?
Questa è impossibile:
$ sqrt(-x^2-2)=3x $
Primo perchè una radice quadra non può avere un radicando negativo in $ R $ , e poi perchè un numero $ x $ elevato al quadrato $ x^2 $ non potrà mai essere $ -x^2 $
$ sqrt(-x^2-2)=3x $
Primo perchè una radice quadra non può avere un radicando negativo in $ R $ , e poi perchè un numero $ x $ elevato al quadrato $ x^2 $ non potrà mai essere $ -x^2 $
Quando si ha un caso tipo il seguente:
$ sqrt(x-1)+5=0 $
Posso fare direttamente così
$ sqrt(x-1)=-5 $
E dire subito che è impossibile?
Anche perchè $ sqrt(x-1)=>x-1>=0=>x>=1 $ che è $ != -5 $ oppure $ != 0 $
Grazie mille!
$ sqrt(x-1)+5=0 $
Posso fare direttamente così
$ sqrt(x-1)=-5 $
E dire subito che è impossibile?
Anche perchè $ sqrt(x-1)=>x-1>=0=>x>=1 $ che è $ != -5 $ oppure $ != 0 $
Grazie mille!
"Bad90":
.....impossibile per lo stesso motivo dell'esercizio precedente, cioè al primo membro un numero sempre $ >=0 $ mentre al secondo membro ho un numero $ <0 $.....
$ 3sqrt(x+1) =-5sqrt(2x-1) $
....
Infatti
"Bad90":
Questa è impossibile:
$ sqrt(-x^2-2)=3x $
...perchè una radice quadra non può avere un radicando negativo .....
Il $CE$ è $O/$
"Bad90":
Quando si ha un caso tipo il seguente:
$ sqrt(x-1)+5=0 $
Posso fare direttamente così
$ sqrt(x-1)=-5 $
E dire subito che è impossibile?
.....
Sììììììììììììììì
Penso di aver compreso il concetto, almeno fin qui'!
Adesso sto facendo una serie di esercizi, tipo il seguente, spero di aver compreso bene il metodo risolutivo.
$ 3x-sqrt(9-x)=13 $
$ -sqrt(9-x)=13-3x $
$ 9-x=169-78x+9x^2 $
$ -9x^2+77x-160=0 $
$ 9x^2-77x-+160=0 $
Risolvo l'equazione:
$ Delta= 13^2 $
$ x=(77+-13)/(18)=>x_1=5;x_2=32/9 $
Faccio la verifica per $ x=5 $
$ 3x-sqrt(9-x)=13=>15-sqrt(4)=13 $
$ 15-2=13 $
$ 13=13 $ Verificata per $ x=5 $
Se si prova a fare la verifica per $ x=32/9 $ si arriverà ad avere $ 25/3=39/3 =>25=39$ quindi non è verificata!
$ S=5 $
$ 3x-sqrt(9-x)=13 $
$ -sqrt(9-x)=13-3x $
$ 9-x=169-78x+9x^2 $
$ -9x^2+77x-160=0 $
$ 9x^2-77x-+160=0 $
Risolvo l'equazione:
$ Delta= 13^2 $
$ x=(77+-13)/(18)=>x_1=5;x_2=32/9 $
Faccio la verifica per $ x=5 $
$ 3x-sqrt(9-x)=13=>15-sqrt(4)=13 $
$ 15-2=13 $
$ 13=13 $ Verificata per $ x=5 $
Se si prova a fare la verifica per $ x=32/9 $ si arriverà ad avere $ 25/3=39/3 =>25=39$ quindi non è verificata!
$ S=5 $
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