Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
Quindi se non conosco il metodo che mi hai fatto vedere, non posso dare una risposta 
Io ho fatto i passaggi con il metodo:
$ { ( x=X+x_0 ),( y=Y+y_0 ):} $
P.S. Il tuo metodo è stato chiarissimo! Ma se volessi capirlo con il mio metodo, come dovrei fare
Grazie mille!
Io ho fatto i passaggi con il metodo:
$ { ( x=X+x_0 ),( y=Y+y_0 ):} $
P.S. Il tuo metodo è stato chiarissimo! Ma se volessi capirlo con il mio metodo, come dovrei fare
Grazie mille!
Domanda 1
L'ellisse di equazione $ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $ è simmetrica:
a) Rispetto all'asse delle ascisse
b) Rispetto all'asse delle ordinate
c) Rispetto all'origine degli assi
d) Rispetto alle bisettrici dei quadranti
Io rispondo nel seguente modo:
a) Vero
b) Vero
c) Vero
d) Vero
Correggetemi se ho sbagliato!
L'ellisse di equazione $ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $ è simmetrica:
a) Rispetto all'asse delle ascisse
b) Rispetto all'asse delle ordinate
c) Rispetto all'origine degli assi
d) Rispetto alle bisettrici dei quadranti
Io rispondo nel seguente modo:
a) Vero
b) Vero
c) Vero
d) Vero
Correggetemi se ho sbagliato!
Domanda 2
L'eccentricità di un ellisse:
a) E' sempre minore di 1
b) E'sempre maggiore di 1
c) Può essere uguale a 1
d) Vale zero se l'ellisse è una circonferenza
e) Vale 1 se l'ellisse è una circonferenza
Io rispondo nel seguente modo:
a) Falso
b) Falso
c) Vero
d) Detta così non ha senso
e) Detta così non ha senso
L'eccentricità di un ellisse:
a) E' sempre minore di 1
b) E'sempre maggiore di 1
c) Può essere uguale a 1
d) Vale zero se l'ellisse è una circonferenza
e) Vale 1 se l'ellisse è una circonferenza
Io rispondo nel seguente modo:
a) Falso
b) Falso
c) Vero
d) Detta così non ha senso
e) Detta così non ha senso
Domanda 3
L'equazione $ ax^2+by^2=c $ rappresenta un'ellisse per ogni valore di $ a,b,c $ .
Io rispondo Falso, lo si capisce dal fatto che l'equazione non avrebbe la forma canonica. Spero sia vero, quanto ho detto
.
L'equazione $ ax^2+by^2=c $ rappresenta un'ellisse per ogni valore di $ a,b,c $ .
Io rispondo Falso, lo si capisce dal fatto che l'equazione non avrebbe la forma canonica. Spero sia vero, quanto ho detto
.
Domanda 4
L'ellisse $ x^2/4+y^2/16=1 $ , nel suo punto $ (-3/2,sqrt(7)) $ , ha tangente $ -3/8x-sqrt(7)/16y=1 $ .
Per rispondere non faccio calcoli, ma vedendo la tangente scritta in quel modo, a colpo d'occhio, mi viene di rispondere di no, ma solo perchè con tutti gli esercizi che ho fatto, non mi sembra di aver incontrato un caso del genere!
L'ellisse $ x^2/4+y^2/16=1 $ , nel suo punto $ (-3/2,sqrt(7)) $ , ha tangente $ -3/8x-sqrt(7)/16y=1 $ .
Per rispondere non faccio calcoli, ma vedendo la tangente scritta in quel modo, a colpo d'occhio, mi viene di rispondere di no, ma solo perchè con tutti gli esercizi che ho fatto, non mi sembra di aver incontrato un caso del genere!
Domanda 5
L'ellisse $ x^2/9+y^2/16=1 $ ha i fuochi in $ F(3,0) $ ed $ F(-4,0) $ .
Anche qui non faccio calcoli, "non so se è il caso di farli",
ma non avendo mai visto in una equazione non traslata, un caso simile di fuochi, dico istintivamente che è Falsa!
L'ellisse $ x^2/9+y^2/16=1 $ ha i fuochi in $ F(3,0) $ ed $ F(-4,0) $ .
Anche qui non faccio calcoli, "non so se è il caso di farli",
ma non avendo mai visto in una equazione non traslata, un caso simile di fuochi, dico istintivamente che è Falsa!
1) Falsa la d (guarda la figura); vere le altre.
2) L'eccentricità è $c/a$ e sappiamo che $cb=0$ e non sarebbe un'ellisse. Hanno senso d,e perchè la circonferenza può essere considerata un caso particolare di ellisse, ottenuto quando $a=b$; in questo caso $c=0=>e=0$: d è vera ed e è falsa.
3) E' falso, ma non per il motivo che dici: per ottenere la forma canonica basterebbe qualche divisione. E' però necessario che alla fine di queste divisioni tutti i segni siano positivi, quindi $a,b,c$ devono avere lo stesso segno.
4) Il fatto che la tangente sia scritta in modo strano non significa nulla (per inciso aggiungo che, a parte un segno, è un passaggio intermedio di un metodo rapido, detto "dello sdoppiamento", che tu non hai studiato). Notiamo però che se cercassimo di scrivere la tangente in forma esplicita otterremmo una $m$ negativa mentre guardando il grafico si nota che deve essere positiva: quindi è falso.
5) Non ci sono termini di primo grado (sono detti i termini della traslazione) quindi non è un'ellisse traslata: hai ragione nel dire falso.
EDIT: nella 2) ho fatto riferimento ad un'ellisse con i fuochi sull'asse x; se così non fosse, le lettere $a,b$ vanno scambiate fra loro.
2) L'eccentricità è $c/a$ e sappiamo che $c
3) E' falso, ma non per il motivo che dici: per ottenere la forma canonica basterebbe qualche divisione. E' però necessario che alla fine di queste divisioni tutti i segni siano positivi, quindi $a,b,c$ devono avere lo stesso segno.
4) Il fatto che la tangente sia scritta in modo strano non significa nulla (per inciso aggiungo che, a parte un segno, è un passaggio intermedio di un metodo rapido, detto "dello sdoppiamento", che tu non hai studiato). Notiamo però che se cercassimo di scrivere la tangente in forma esplicita otterremmo una $m$ negativa mentre guardando il grafico si nota che deve essere positiva: quindi è falso.
5) Non ci sono termini di primo grado (sono detti i termini della traslazione) quindi non è un'ellisse traslata: hai ragione nel dire falso.
EDIT: nella 2) ho fatto riferimento ad un'ellisse con i fuochi sull'asse x; se così non fosse, le lettere $a,b$ vanno scambiate fra loro.
Grazie mille! 
Alla Domanda 6, che mi ha risposto chiaraotta, ancora non sono riuscito a capire come posso decifrare se si tratta di un ellisse oppure no, utilizzando il seguente metodo:
$ x^2+2y^2-x-y+24=0 $
$ (X+x_0)^2+2(Y+y_0)-x-y+24=0 $
Senza scrivere tutti i passaggi, io sono arrivato a
$ 4X^2+8Y^2+99=0 $
Come posso fare la verifica?
Grazie mille!
$ x^2+2y^2-x-y+24=0 $
$ (X+x_0)^2+2(Y+y_0)-x-y+24=0 $
Senza scrivere tutti i passaggi, io sono arrivato a
$ 4X^2+8Y^2+99=0 $
Come posso fare la verifica?
Grazie mille!
Esercizio 19
Scrivere l'equazione normale dell'iperbole, con i fuochi sull'asse $ x $, sapendo che passa per $ (3sqrt(2),1) $ e per $ (-6,sqrt(3)) $
Devo impostare il sistema che segue?
$ { ( 18/a^2-1/b^2=1 ),( 36/a^2-3/b^2=1 ):} $
Non ho il risultato sul testo, ma penso che le soluzioni siano $ a^2=9^^b^2=1 $ , segue che l'equazione è:
$ x^2/9-y^2=1 $
Scrivere l'equazione normale dell'iperbole, con i fuochi sull'asse $ x $, sapendo che passa per $ (3sqrt(2),1) $ e per $ (-6,sqrt(3)) $
Devo impostare il sistema che segue?
$ { ( 18/a^2-1/b^2=1 ),( 36/a^2-3/b^2=1 ):} $
Non ho il risultato sul testo, ma penso che le soluzioni siano $ a^2=9^^b^2=1 $ , segue che l'equazione è:
$ x^2/9-y^2=1 $
Nell'iperbole, non mi è tanto chiaro il fatto che la semidistanza focale equivale alla $ c $ , mi spiego.......
Se i semiassi sono $ a^^b $ , so come ricavare $ c $, grazie al teorema di pitagora....., quindi, una volta ottenuto il valore di $ c $ , posso dire che i valori dei vertici, sono l'intersezione di $ a^^c $
Bene, e allora se i fuochi si trovano dopo delle curve dell'iperbole, perchè con si indica con $ c $
Insomma, i vertice si trova in un punto, mentre il fuoco si trova in un altro punto sempre sullo stesso asse, .
Se i semiassi sono $ a^^b $ , so come ricavare $ c $, grazie al teorema di pitagora....., quindi, una volta ottenuto il valore di $ c $ , posso dire che i valori dei vertici, sono l'intersezione di $ a^^c $
Bene, e allora se i fuochi si trovano dopo delle curve dell'iperbole, perchè con si indica con $ c $
Insomma, i vertice si trova in un punto, mentre il fuoco si trova in un altro punto sempre sullo stesso asse,
.
"Bad90":
Alla Domanda 6
.....
$ 4X^2+8Y^2+99=0 $
...
Non ho controllato i passaggi per arrivare all'equazione.
Se è giusta, è un'equazione che non ha soluzioni, perché a primo membro c'è un numero sicuramente $>0$, che quindi non può essere $=0$. Perciò non può rappresentare un'ellisse.
Per l'esercizio 19 trovo anch'io $ x^2/9-y^2=1 $
Esercizio 20
Scrivere l'equazione normale dell'iperbole sapendo che uno dei fuochi e' il punto $ F(sqrt(10),0) $ e uno degli asintoti ha equazione $ y=-3x $
Anche per questo non ho il risultato, ma penso che bisogna fare così:
Sapendo che $ y=-3x $ allora $ -b/ax=-3x $, quindi:
$ b/a=3=>b=3a=>b^2=9a^2 $
Quindi se $ c^2=10 $ ,allora $ a^2=1^^b^2=9 $ ,l'equazione sarà:
$ 9x^2-y^2=9 $
Scrivere l'equazione normale dell'iperbole sapendo che uno dei fuochi e' il punto $ F(sqrt(10),0) $ e uno degli asintoti ha equazione $ y=-3x $
Anche per questo non ho il risultato, ma penso che bisogna fare così:
Sapendo che $ y=-3x $ allora $ -b/ax=-3x $, quindi:
$ b/a=3=>b=3a=>b^2=9a^2 $
Quindi se $ c^2=10 $ ,allora $ a^2=1^^b^2=9 $ ,l'equazione sarà:
$ 9x^2-y^2=9 $
Esercizio 21
Determinare l'equazione, riferita agli assi, di un'iperbole in cui l'asse traverso $ 2a $ sia la meta' della distanza focale $ 2c $
Sara' banale, ma non sto riuscendo a capire come risolverlo!
Ho pensato che se $ 2a=1/2*2c $,che diventerà $ 2a=c $ , allora avrò che:
$ 4a^2=a^2+b^2 $
$ 3a^2=b^2 $
Quindi l'equazione sarà:
$ x^2/a^2-y^2/(3a^2)=1 $
$ 3x^2-y^2=3a^2 $
Non sono sicuro se ho fatto bene!
Determinare l'equazione, riferita agli assi, di un'iperbole in cui l'asse traverso $ 2a $ sia la meta' della distanza focale $ 2c $
Sara' banale, ma non sto riuscendo a capire come risolverlo!
Ho pensato che se $ 2a=1/2*2c $,che diventerà $ 2a=c $ , allora avrò che:
$ 4a^2=a^2+b^2 $
$ 3a^2=b^2 $
Quindi l'equazione sarà:
$ x^2/a^2-y^2/(3a^2)=1 $
$ 3x^2-y^2=3a^2 $
Non sono sicuro se ho fatto bene!
Esercizio 22
Scrivere l'equazione del luogo dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze dai punti $ F'(-sqrt(5),0) $ e $ F(sqrt(5),0) $ e $ 4 $ .
Bene, se non sto dicendo cavolate allora si tratta di avere $ bar(PF')-bar(PF)=4 $
E adesso ??????
Forse devo fare nel modo che segue......
Sapendo che $ bar(PF')-bar(PF)=2a $ e che $ 2a=4 $ quindi $ a=2 $ e $ a^2 =4 $ , segue:
$ b^2=5-4=1 $
$ x^2/4-y^2=1 $
Scrivere l'equazione del luogo dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze dai punti $ F'(-sqrt(5),0) $ e $ F(sqrt(5),0) $ e $ 4 $ .
Bene, se non sto dicendo cavolate allora si tratta di avere $ bar(PF')-bar(PF)=4 $
E adesso ??????
Forse devo fare nel modo che segue......
Sapendo che $ bar(PF')-bar(PF)=2a $ e che $ 2a=4 $ quindi $ a=2 $ e $ a^2 =4 $ , segue:
$ b^2=5-4=1 $
$ x^2/4-y^2=1 $
Esercizio 23
Determinare il luogo dei punti per i quali il rapporto tra la distanza dal punto $ (4,0) $ e la distanza dalla retta $ x=7/4 $ vale $ 4/sqrt(7) $ .
Questo non lo sto capendo!
HELP!](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Determinare il luogo dei punti per i quali il rapporto tra la distanza dal punto $ (4,0) $ e la distanza dalla retta $ x=7/4 $ vale $ 4/sqrt(7) $ .
Questo non lo sto capendo!
HELP!
Bene il 22. Per il 23 puoi fare così: indichi con $P(x,y)$ il generico punto del luogo, calcoli le due distanze ed imponi che il rapporto abbia quel valore. Così:
$(sqrt((x-4)^2+y^2))/(|x-7/4|)=4/(sqrt7)$
$sqrt7*sqrt((x-4)^2+y^2)=|4x-7|$
Eleva a quadrato, ricordando che $(|a|)^2=a^2$, completa i calcoli e troverai un'iperbole.
$(sqrt((x-4)^2+y^2))/(|x-7/4|)=4/(sqrt7)$
$sqrt7*sqrt((x-4)^2+y^2)=|4x-7|$
Eleva a quadrato, ricordando che $(|a|)^2=a^2$, completa i calcoli e troverai un'iperbole.
Non mi era ancora capitato un esercizio del genere, anche se per l'iperbole non ci sono molti esercizi....., ma a come hai fatto a pensare a quella soluzione?
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
E' il metodo più comunemente usato per la ricerca dei luoghi geometrici: si indica con $P(x,y)$ il generico punto del luogo e si scrive l'equazione che dice cosa vogliamo. Poi si fanno i calcoli per ottenere il tutto scritto nella forma più concisa.
Lo hai già visto nella teoria: ad esempio per trovare il luogo geometrico dei punti tali che $PF+PF'=2a$ (l'ellisse con fuochi F ed F' ed asse principale $2a$) hai scritto l'equazione
$sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a$
Lo hai già visto nella teoria: ad esempio per trovare il luogo geometrico dei punti tali che $PF+PF'=2a$ (l'ellisse con fuochi F ed F' ed asse principale $2a$) hai scritto l'equazione
$sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a$
Adesso ho capito!
Ma per l'iperbole, non deve essere così?
$sqrt((x-c)^2+y^2)-sqrt((x+c)^2+y^2)=2a$
Mentre per l'ellisse deve essere così?
$sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a$
Questo perchè per l'ellisse abbiamo $PF+PF'=2a$ mentre per l'iperbole abbiamo $PF-PF'=2a$
Quindi tu hai fatto in questo modo:
$ sqrt(PF')/(|x-7/4|)=4/(sqrt7) $
Scritta poi in questo modo:
$(sqrt((x-4)^2+y^2))/(|x-7/4|)=4/(sqrt7)$
Ma per l'iperbole, non deve essere così?
$sqrt((x-c)^2+y^2)-sqrt((x+c)^2+y^2)=2a$
Mentre per l'ellisse deve essere così?
$sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a$
Questo perchè per l'ellisse abbiamo $PF+PF'=2a$ mentre per l'iperbole abbiamo $PF-PF'=2a$
Quindi tu hai fatto in questo modo:
$ sqrt(PF')/(|x-7/4|)=4/(sqrt7) $
Scritta poi in questo modo:
$(sqrt((x-4)^2+y^2))/(|x-7/4|)=4/(sqrt7)$
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