Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
Esercizio 36
Proprio così; hai compreso bene.
Esercizio 37
Ecco come avrei risolto: c'è x a denominatore (cioè $c!=0$) e la frazione non è semplificabile (cioè $ad-bc!=0$) quindi si tratta di un'iperbole equilatera. I suoi asintoti sono $x-1=0=>x=1$ e $y=2/1=>y=2$ quindi il centro è $O'(1,2)$ e i suoi assi sono $y-2=+-(x-1)$. Per trovere i vertici si può fare in più modi; quello più semplice da spiegare è intersecare l'iperbole con un asse alla volta. Trovi che quando c'è il $+$ non ci sono soluzioni reali; con il $-$ invece ci sono quindi quello è l'asse trasverso o principale e quelle intersezioni sono i vertici.
Proprio così; hai compreso bene.
Esercizio 37
Ecco come avrei risolto: c'è x a denominatore (cioè $c!=0$) e la frazione non è semplificabile (cioè $ad-bc!=0$) quindi si tratta di un'iperbole equilatera. I suoi asintoti sono $x-1=0=>x=1$ e $y=2/1=>y=2$ quindi il centro è $O'(1,2)$ e i suoi assi sono $y-2=+-(x-1)$. Per trovere i vertici si può fare in più modi; quello più semplice da spiegare è intersecare l'iperbole con un asse alla volta. Trovi che quando c'è il $+$ non ci sono soluzioni reali; con il $-$ invece ci sono quindi quello è l'asse trasverso o principale e quelle intersezioni sono i vertici.
"giammaria":
Gli assi dell'iperbole sono le rette con $m=+-1$ passanti per il centro.
Quindi il valore di $ m $ e sempre lo stesso valore della $ x $ del centro
Si potrà dunque scrivere la retta passante per il centro:
$ y-y_0=m(x-x_0) $
Con $ x_0^^y_0 $ che sono le coordinate del centro $ O' $
Vero?
Poiché gli assi passano per il centro $(x_0,y_0)$ la loro equazione è sempre del tipo $y-y_0=m(x-x_0)$ e poiché sono inclinati di 45° si ha sempre $m=+-1$.
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