Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
Esercizio guidato 1
Determinare l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che ha l'asse maggiore sull'asse $ x $ , la distanza focale uguale a $ 2sqrt(5) $ e passa per il punto $ P(3sqrt(3)/2,1) $ .
Il testo mi fa vedere i seguenti step, di cui io non ho capito un passaggio algebrico !
Impostando il sistema:
$ { ( 27/(4a^2)+1/b^2=1 ),( a^2-b^2=5 ):} $
Come fa ad arrivare a:
$ { ( a^2=9),( b^2=4 ):} $
Come ha fatto ad ottenere $ a^2=9 $ e $ b^2=4 $
Determinare l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che ha l'asse maggiore sull'asse $ x $ , la distanza focale uguale a $ 2sqrt(5) $ e passa per il punto $ P(3sqrt(3)/2,1) $ .
Il testo mi fa vedere i seguenti step, di cui io non ho capito un passaggio algebrico
! Impostando il sistema:
$ { ( 27/(4a^2)+1/b^2=1 ),( a^2-b^2=5 ):} $
Come fa ad arrivare a:
$ { ( a^2=9),( b^2=4 ):} $
Come ha fatto ad ottenere $ a^2=9 $ e $ b^2=4 $
Considerata l'equazione a cui sei arrivato tu
$x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0$,
se la moltiplichi per $-1$ ottieni
$-x^2(c^2-a^2)-a^2(a^2-c^2)+a^2y^2=0$
da cui
$x^2(a^2-c^2)-a^2(a^2-c^2)+a^2y^2=0$
$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$,
che è l'equazione del tuo libro.
Ora, è certamente vero che, nel triangolo $PFF'$, la somma dei due lati $PF$ e $PF'$ è maggiore del terzo $FF'$.
Per cui
$PF+PF'>FF'$,
ma era
$PF+PF'=2a$
e
$FF'=2c$.
Quindi
$2a>2c->a>c->a^2>c^2->a^2-c^2>0$.
Visto che la differenza $a^2-c^2$ è $>0$, la si può porre uguale a un quadrato e si può fare la posizione
$b^2=a^2-c^2$.
Allora l'equazione
$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$
si può scrivere come
$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$
o anche, dividendola per $a^2b^2$,
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$.
$x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0$,
se la moltiplichi per $-1$ ottieni
$-x^2(c^2-a^2)-a^2(a^2-c^2)+a^2y^2=0$
da cui
$x^2(a^2-c^2)-a^2(a^2-c^2)+a^2y^2=0$
$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$,
che è l'equazione del tuo libro.
Ora, è certamente vero che, nel triangolo $PFF'$, la somma dei due lati $PF$ e $PF'$ è maggiore del terzo $FF'$.
Per cui
$PF+PF'>FF'$,
ma era
$PF+PF'=2a$
e
$FF'=2c$.
Quindi
$2a>2c->a>c->a^2>c^2->a^2-c^2>0$.
Visto che la differenza $a^2-c^2$ è $>0$, la si può porre uguale a un quadrato e si può fare la posizione
$b^2=a^2-c^2$.
Allora l'equazione
$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$
si può scrivere come
$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$
o anche, dividendola per $a^2b^2$,
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$.
"chiaraotta":
,
Ma era
$PF+PF'=2a$
e
$FF'=2c$.
A cosa hai fatto riferimento per dire che $PF+PF'=2a$, da dove viene fuori il $2a$
Si tratta della distanza del punto $ P $ dai fuochi, giusto?
e
A cosa hai fatto riferimento per dire che $FF'=2c$, da dove viene fuori il $2c$
Si tratta della distanza tra i due fuochi, giusto?
Ti ringrazio!
${( 27/(4a^2)+1/b^2=1 ),( a^2-b^2=5 ):} -> { ( 27b^2+4a^2=4a^2b^2 ),( b^2=a^2-5 ):} $
$ {( 27(a^2-5)+4a^2=4a^2(a^2-5): ),( b^2=a^2-5 ):} ->{ (4a^4-51a^2+135=0),(b^2=a^2-5):}->$
${((4a^2-15)(a^2-9)=0),(b^2=a^2-5):} ->$
${(a_1^2=15/4),(b_1^2=-5/4):} text (non accettabile ) (b^2<0) vv {(a_2^2=9),(b_2^2=4):}$
$ {( 27(a^2-5)+4a^2=4a^2(a^2-5): ),( b^2=a^2-5 ):} ->{ (4a^4-51a^2+135=0),(b^2=a^2-5):}->$
${((4a^2-15)(a^2-9)=0),(b^2=a^2-5):} ->$
${(a_1^2=15/4),(b_1^2=-5/4):} text (non accettabile ) (b^2<0) vv {(a_2^2=9),(b_2^2=4):}$
"Bad90":
A cosa hai fatto riferimento per dire che $PF+PF'=2a$, da dove viene fuori il $2a$
L'ellisse è il luogo dei punti per cui è costante la somma delle distanze dai due fuochi.
Generalmente si indica con $2a$ la somma delle distanze ..
"Bad90":
A cosa hai fatto riferimento per dire che $FF'=2c$, da dove viene fuori il $2c$
..
..e con $2c$ la distanza fra i fuochi.
Io ero riuscito ad arrivare quì:
$ 4a^4-51a^2+135=0$
A cosa hai pensato per poter arrivare a:
$(4a^2-15)(a^2-9)=0$
Non ho pensato proprio ad arrivare a quel punto!
Come hai fatto a pensare di ottenere quel prodotto? Insomma, a cosa hai pensato quando hai visto $ 4a^4-51a^2+135=0$
Vorrei capire il colpo d'occhio che hai avuto!
Grazie mille!
$ 4a^4-51a^2+135=0$
A cosa hai pensato per poter arrivare a:
$(4a^2-15)(a^2-9)=0$
Non ho pensato proprio ad arrivare a quel punto!
Come hai fatto a pensare di ottenere quel prodotto?
Insomma, a cosa hai pensato quando hai visto $ 4a^4-51a^2+135=0$ Vorrei capire il colpo d'occhio che hai avuto!
Grazie mille!
Se non ti vengono spontanee le scomposizioni, usa la formula risolutiva: si tratta di risolvere un'equazione di 2° grado nell'incognita $a^2$:
$a^2_(1, 2)=(51+-sqrt(51^2-4*4*135))/(2*4)=(51+-sqrt(2601-2160))/(8)=(51+-21)/(8)....$
$a^2_(1, 2)=(51+-sqrt(51^2-4*4*135))/(2*4)=(51+-sqrt(2601-2160))/(8)=(51+-21)/(8)....$
"chiaraotta":
Se non ti vengono spontanee le scomposizioni, usa la formula risolutiva: si tratta di risolvere un'equazione di 2° grado nell'incognita $a^2$:
$a^2_(1, 2)=(51+-sqrt(51^2-4*4*135))/(2*4)=(51+-sqrt(2601-2160))/(8)=(51+-21)/(8)....$
Sei un FENOMENO!!!!!!
Ti ringrazio!
Nella formula:
$ y=+-b/asqrt(a^2-x^2) $
Bisogna imporre che $ a^2-x^2>=0 $ , perfetto, altrimenti la $ y $ non esisterebbe, giusto?
La cosa che non sto ricordando, è come fà a dire che:
$ -a<=x<=a $
Come ha fatto a fare il grafico per determinare questo?
Non ho problemi nel fare il grafico, ma non mi viene in mente, in base ai dati che ho, cioè $ y=+-b/asqrt(a^2-x^2) $, a confermare che $ -a<=x<=a $
$ y=+-b/asqrt(a^2-x^2) $
Bisogna imporre che $ a^2-x^2>=0 $ , perfetto, altrimenti la $ y $ non esisterebbe, giusto?
La cosa che non sto ricordando, è come fà a dire che:
$ -a<=x<=a $
Come ha fatto a fare il grafico per determinare questo?
Non ho problemi nel fare il grafico, ma non mi viene in mente, in base ai dati che ho, cioè $ y=+-b/asqrt(a^2-x^2) $, a confermare che $ -a<=x<=a $
Esercizio guidato 2
Determinare l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che ha l'eccentricità $ e=sqrt(2/3) $ e passa per il punto $ P(-1,-3) $.
Il testo mi dice che basta risolvere il seguente sistema:
$ { ( sqrt(a^2-b^2)/a = sqrt(2/3) ),( 1/a^2+9/b^2=1 ):} $
Ma io non sto capendo come ha fatto a scrivere la prima equazione:
$ sqrt(a^2-b^2)/a = sqrt(2/3) $
Da dove è stato ricavato il primo membro?
Grazie mille!
Determinare l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che ha l'eccentricità $ e=sqrt(2/3) $ e passa per il punto $ P(-1,-3) $.
Il testo mi dice che basta risolvere il seguente sistema:
$ { ( sqrt(a^2-b^2)/a = sqrt(2/3) ),( 1/a^2+9/b^2=1 ):} $
Ma io non sto capendo come ha fatto a scrivere la prima equazione:
$ sqrt(a^2-b^2)/a = sqrt(2/3) $
Da dove è stato ricavato il primo membro?
Grazie mille!
La disequazione
$ a^2-x^2>=0 $,
con $a>0$,
è una qualsiasi disequazione di 2° grado.
Per risolverla, ricorrendo all'equazione associata
$ -x^2+a^2=0 $,
si deve trovare
1) $text(coefficiente di )x^2=-1$
che è $<0$;
2) $Delta=0-4(-1)*a^2=4a^2$
che è $>0$;
3) le radici, che sono
$x_(1,2)=+-a$.
Poiché è una disequazione con $text(coefficiente di )x^2<0$, $Delta>=0$, verso $>=0$, le soluzioni sono
$-a<=x<=a$.
$ a^2-x^2>=0 $,
con $a>0$,
è una qualsiasi disequazione di 2° grado.
Per risolverla, ricorrendo all'equazione associata
$ -x^2+a^2=0 $,
si deve trovare
1) $text(coefficiente di )x^2=-1$
che è $<0$;
2) $Delta=0-4(-1)*a^2=4a^2$
che è $>0$;
3) le radici, che sono
$x_(1,2)=+-a$.
Poiché è una disequazione con $text(coefficiente di )x^2<0$, $Delta>=0$, verso $>=0$, le soluzioni sono
$-a<=x<=a$.
"Bad90":
Esercizio guidato 2
Determinare l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che ha l'eccentricità $ e=sqrt(2/3) $ e passa per il punto $ P(-1,-3) $.
....
Si chiama eccentricità $e$ il rapporto $c/a$.
Poiché
$b^2=a^2-c^2$,
allora
$c^2=a^2-b^2$
e
$c=sqrt(a^2-b^2)$.
Per cui
$e=sqrt(a^2-b^2)/a$.
"chiaraotta":
La disequazione
$ a^2-x^2>=0 $.
Sono andato a rivedere le disequazioni e adesso è tornato tutto apposto nella mia testolina, per quanto riguarda gli step risolutivi!
L'unica cosa è come fai a dire che $ a=-1 $
Ti ringrazio!
Esercizio 1
Dire se le seguenti ellissi passano o no per il punto $ P $ indicato a fianco.
$ 2x^2+3y^2=6 $ il punto è $ P(-sqrt(3)/2,sqrt(2)/3) $
Vanno bene i passaggi che seguono?
$ 2(-sqrt(3)/2)^2+3(sqrt(2)/3)^2=6 => 2(3/4)+3(2/9)=6 =>3/2+2/3=6 $
$ 13/6=6 $
Quindi l'ellissi non passa dal punto indicato!
Giusto!
Dire se le seguenti ellissi passano o no per il punto $ P $ indicato a fianco.
$ 2x^2+3y^2=6 $ il punto è $ P(-sqrt(3)/2,sqrt(2)/3) $
Vanno bene i passaggi che seguono?
$ 2(-sqrt(3)/2)^2+3(sqrt(2)/3)^2=6 => 2(3/4)+3(2/9)=6 =>3/2+2/3=6 $
$ 13/6=6 $
Quindi l'ellissi non passa dal punto indicato!
Giusto!
Esercizio 2
Data l'equazione di un' ellisse, determinare gli elementi notevoli.
$ 16x^2+25y^2=400 $
Risoluzione
L'equazione dell'ellissi, può essere anche scritta nella seguente forma:
$ 1/25x^2+1/16y^2=1 $
Quindi i semiassi sono $ a=5;b=4 $ mentre la semidistanza focale è $ c=3 $ .
I fuochi hanno coordinate $ F'(-3,0);F(3,0) $
Le coordinate dei vertici sono date dalle intersezioni con gli assi, quindi dai seguenti sistemi:
$ { ( 16x^2+25y^2=400 ),( x=0 ):} ^^{ ( 16x^2+25y^2=400 ),( y=0 ):}$
Quindi $ V_1(0,4)^^V_2(0,-4) $ e $ V_3(5,0)^^V_4(-5,0) $
Ma ho un po di dubbi sull'eccentricità, secondo i miei calcoli è:
$ e=3/5 $
Dite che l'eccentricità è corretta?
Ovviamente spero che anche tutti i restanti calcoli siano corretti!
Data l'equazione di un' ellisse, determinare gli elementi notevoli.
$ 16x^2+25y^2=400 $
Risoluzione
L'equazione dell'ellissi, può essere anche scritta nella seguente forma:
$ 1/25x^2+1/16y^2=1 $
Quindi i semiassi sono $ a=5;b=4 $ mentre la semidistanza focale è $ c=3 $ .
I fuochi hanno coordinate $ F'(-3,0);F(3,0) $
Le coordinate dei vertici sono date dalle intersezioni con gli assi, quindi dai seguenti sistemi:
$ { ( 16x^2+25y^2=400 ),( x=0 ):} ^^{ ( 16x^2+25y^2=400 ),( y=0 ):}$
Quindi $ V_1(0,4)^^V_2(0,-4) $ e $ V_3(5,0)^^V_4(-5,0) $
Ma ho un po di dubbi sull'eccentricità, secondo i miei calcoli è:
$ e=3/5 $
Dite che l'eccentricità è corretta?
Ovviamente spero che anche tutti i restanti calcoli siano corretti!
Mi sembra che vada tutto bene
Ma se io volessi dire a colpo d'occhio, se il centro di una ellissi si trova nelle origini degli assi, es. $ O(0,0) $ , vedendo una equazione dell'ellissi, cosa devo notare?
"Bad90":
L'unica cosa è come fai a dire che $ a=-1 $
..
E' un equivoco: con $a$ ($=-1$) intendevo il coefficiente del termine di 2° grado in $x$ (che è $-x^2$).
"Bad90":
Ma se io volessi dire a colpo d'occhio, se il centro di una ellissi si trova nelle origini degli assi, es. $ O(0,0) $ , vedendo una equazione dell'ellissi, cosa devo notare?
L'equazione deve essere simmetrica rispetto a $O$. Cioè, se nell'equazione sostituisci $-x$ a $x$ e $-y$ a $y$, devi ottenere la stessa di prima.
Negli esercizi tipo Esercizio 2, ho trovato una gran semplicità a trovare le coordinate dei vertici, in quanto essendo il centro dell'ellissi nelle coordinate $ O(0,0) $, mi è venuto spontaneo dire che l'intersezione dell'ellissi, andava fatta con gli assi $ x=0^^y=0 $ , ma se mi trovo in altre circostanze in cui l'ellissi si trova in un quadrante senza intersecare gli assi, come faccio a determinare le coordinate del vertice?
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