Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
Esercizio 29
Scrivere l'equazione, riferita agli asintoti, dell'iperbole equilatera che soddisfa le condizioni indicate.
Ha un fuoco nel punto $ F(4,4) $
Correggetemi se sbaglio....
Ho pensato che se conosco $ F(4,4) $, allora conosco anche $ c $ e sapendo che $ c^2=2a^2 $ allora posso dire che:
$ 16=2a^2 $
Quindi $ a^2=b^2=8 $
Dato che $ a^^b $ si possono considerare gli assi dell'iperbole equilatera, quindi $ a^^b= x^^y $, potrò dunque dire che:
$ xy=8 $
Dite che è tutto giusto?
Scrivere l'equazione, riferita agli asintoti, dell'iperbole equilatera che soddisfa le condizioni indicate.
Ha un fuoco nel punto $ F(4,4) $
Correggetemi se sbaglio....
Ho pensato che se conosco $ F(4,4) $, allora conosco anche $ c $ e sapendo che $ c^2=2a^2 $ allora posso dire che:
$ 16=2a^2 $
Quindi $ a^2=b^2=8 $
Dato che $ a^^b $ si possono considerare gli assi dell'iperbole equilatera, quindi $ a^^b= x^^y $, potrò dunque dire che:
$ xy=8 $
Dite che è tutto giusto?
Attento!
$c^2=OF^2=16+16=32$
e ne consegue $a=b=4$. Poiché l'equazione riferita agli asintoti è $xy=(a^2)/2$ (con eventuale meno a secondo membro) il risultato finale è giusto, ma solo per caso.
$c^2=OF^2=16+16=32$
e ne consegue $a=b=4$. Poiché l'equazione riferita agli asintoti è $xy=(a^2)/2$ (con eventuale meno a secondo membro) il risultato finale è giusto, ma solo per caso.
"giammaria":
Attento! $c^2=OF^2=16+16=32$
Scusami, non sto capendo, anche perchè non ho fatto nessun disegno, ma ho utilizzato solo i concetti teorici che ho studiato!
Mi spiego meglio (e guarda anche il mio ultimo messaggio, a cui ho aggiunto qualcosa mentre tu scrivevi il tuo). Le lettere $a,b,c$ indicano le distanze dal centro dell'iperbole; se quest'ultima è riferita ai suoi assi queste distanze coincidono con le ascisse o le ordinate dei punti che ci interessano. Nell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti non è così: fai la figura, anche solo malamente schizzata, e vedrai che queste distanze, trovandosi sulla bisettrice, non corrispondono alle coordinate dei punti.
Adesso ho capito! Ti ringrazio!
Esercizio 30
Determinare le equazioni delle rette tangenti all'iperbole equilatera $ xy=8 $ e parallela alla retta $ 2x+y-3=0 $.
La retta parallela a quella data è $2x+y+k=0 $ , quindi bisogna mettere a sistema l'eq dell'iperbole ed imporre il $Delta $ dell'equazione risultante $=0 $:
$ { ( 2x+y+k=0 ),( xy=8 ):} $
$ { ( y=-2x-k ),( x(-2x-k)-8=0 ):} $
$-2x^2-xk-8=0 => 2x^2+kx+8=0 $
$Delta=k^2-64=0 => k=+-8 $
Quindi le rette sono: $ 2x+y+-8=0 $
Determinare le equazioni delle rette tangenti all'iperbole equilatera $ xy=8 $ e parallela alla retta $ 2x+y-3=0 $.
La retta parallela a quella data è $2x+y+k=0 $ , quindi bisogna mettere a sistema l'eq dell'iperbole ed imporre il $Delta $ dell'equazione risultante $=0 $:
$ { ( 2x+y+k=0 ),( xy=8 ):} $
$ { ( y=-2x-k ),( x(-2x-k)-8=0 ):} $
$-2x^2-xk-8=0 => 2x^2+kx+8=0 $
$Delta=k^2-64=0 => k=+-8 $
Quindi le rette sono: $ 2x+y+-8=0 $
Esercizio 31
Verificare che l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti che passa per il punto di ascissa $ 2/sqrt(3) $ della parabola di equazione $ y=4-x^2 $ risulta tangente alla parabola.
Chiedo a voi una conferma se ho fatto tutto correttamente, in quanto non ho risultati sul testo!
$ { ( (2sqrt(3))/3*y=k ),( y=4-((2sqrt(3))/3)^2 ):} $
Arrivo a questa:
$ k=(16sqrt(3))/9 $
Quindi la mia equazione sarà $ xy=(16sqrt(3))/9 $
Ho fatto il grafico con geogebra e mi risulta che sono tangenti!
Voi cosa ne dite
Grazie mille!
Verificare che l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti che passa per il punto di ascissa $ 2/sqrt(3) $ della parabola di equazione $ y=4-x^2 $ risulta tangente alla parabola.
Chiedo a voi una conferma se ho fatto tutto correttamente, in quanto non ho risultati sul testo!
$ { ( (2sqrt(3))/3*y=k ),( y=4-((2sqrt(3))/3)^2 ):} $
Arrivo a questa:
$ k=(16sqrt(3))/9 $
Quindi la mia equazione sarà $ xy=(16sqrt(3))/9 $
Ho fatto il grafico con geogebra e mi risulta che sono tangenti!
Voi cosa ne dite
Grazie mille!
Il punto della parabola $y=4-x^2$ di ascissa $2/sqrt(3)$ ha ordinata $y=4-(2/sqrt(3))^2=4-4/3=8/3$.
L'iperbole equilatera, per passare per quel punto, deve avere equazione
$x*y=2/sqrt(3)*8/3=16/(3sqrt(3))=16/9sqrt(3)$.
Un modo per verificare se le due curve sono tangenti, è quello di controllare se hanno due intersezioni coincidenti.
Un altro sarebbe quello di calcolare separatamente le tangenti alle due curve nel presunto punto di tangenza e verificare che le due tangenti coincidono.
Seguendo il primo metodo si deve fare un sistema delle equazioni delle due curve
${(x*y=16/9sqrt(3)), (y=4-x^2):}->{(x*y=16/9sqrt(3)), (x*y=x*(4-x^2)):}->16/9sqrt(3)=x*(4-x^2)->$
$x^3-4x+16/9sqrt(3)=0->(x-2/3sqrt(3))^2*(x+4/3sqrt(3))=0$.
La soluzione $x=2/3sqrt(3)$ è doppia e quindi le curve sono tangenti in $(2/3sqrt(3),8/3)$.
L'iperbole equilatera, per passare per quel punto, deve avere equazione
$x*y=2/sqrt(3)*8/3=16/(3sqrt(3))=16/9sqrt(3)$.
Un modo per verificare se le due curve sono tangenti, è quello di controllare se hanno due intersezioni coincidenti.
Un altro sarebbe quello di calcolare separatamente le tangenti alle due curve nel presunto punto di tangenza e verificare che le due tangenti coincidono.
Seguendo il primo metodo si deve fare un sistema delle equazioni delle due curve
${(x*y=16/9sqrt(3)), (y=4-x^2):}->{(x*y=16/9sqrt(3)), (x*y=x*(4-x^2)):}->16/9sqrt(3)=x*(4-x^2)->$
$x^3-4x+16/9sqrt(3)=0->(x-2/3sqrt(3))^2*(x+4/3sqrt(3))=0$.
La soluzione $x=2/3sqrt(3)$ è doppia e quindi le curve sono tangenti in $(2/3sqrt(3),8/3)$.
Il significato della parola: "Risolvere analiticamente", qual'è?
Esempio, se mi viene detto di risolvere un sistema graficamente e analiticamente, significa che devo risolvere analiticamente, cioè fare i calcoli, e graficamente che devo dimostrare graficamente ciò che ho fatto con i calcoli
Esempio, se mi viene detto di risolvere un sistema graficamente e analiticamente, significa che devo risolvere analiticamente, cioè fare i calcoli, e graficamente che devo dimostrare graficamente ciò che ho fatto con i calcoli
Esercizio 32
Identificare e disegnare le curve rappresentate dalle seguenti equazioni:
a) $ y=2/3(sqrt(x^2-9)) $
b) $ x=-4/3(sqrt(y^2+9)) $
Ma come si fa? Insomma, come faccio ad identificare di cosa si tratta e poi a rappresentarle graficamente?
Per la a), ho pensato di fare questo:
$ y=2/3(sqrt(x^2-9))=> y=(2sqrt(x^2-9))/3=>9y^2=4(x^2-9) $
Si tratta quindi di una iperbole avente equazione $ 4x^2-9y^2-36=0 $, ma data l'equazione data dalla traccia $ y=2/3(sqrt(x^2-9)) $ , non essendo $ y^2=..... $ ma $ y=..... $ , allora posso dire che si tratta di un ramo dell'iperbole, giusto
Ovviamente Idem per il punto b)
Ho detto bene?
Grazie mille!
Identificare e disegnare le curve rappresentate dalle seguenti equazioni:
a) $ y=2/3(sqrt(x^2-9)) $
b) $ x=-4/3(sqrt(y^2+9)) $
Ma come si fa? Insomma, come faccio ad identificare di cosa si tratta e poi a rappresentarle graficamente?
Per la a), ho pensato di fare questo:
$ y=2/3(sqrt(x^2-9))=> y=(2sqrt(x^2-9))/3=>9y^2=4(x^2-9) $
Si tratta quindi di una iperbole avente equazione $ 4x^2-9y^2-36=0 $, ma data l'equazione data dalla traccia $ y=2/3(sqrt(x^2-9)) $ , non essendo $ y^2=..... $ ma $ y=..... $ , allora posso dire che si tratta di un ramo dell'iperbole, giusto
Ovviamente Idem per il punto b)
Ho detto bene?
Grazie mille!
Esercizio 32
Provare che la distanza di un fuoco dell'iperbole $ x^2/a^2-y^2/b^2=1 $ dai suoi asintoti è uguale a $ b $ .
Ma come devo fare
Provare che la distanza di un fuoco dell'iperbole $ x^2/a^2-y^2/b^2=1 $ dai suoi asintoti è uguale a $ b $ .
Ma come devo fare
a) $ y=2/3(sqrt(x^2-9)) ->{(y>=0), (x^2/9-y^2/4=1):}$.
E' l'intersezione tra l'iperbole $x^2/9-y^2/4=1$ e il semipiano delle $y>=0$.
b) $ x=-4/3(sqrt(y^2+9)) ->{(x<=0), (x^2/16-y^2/9=1):}$.
E' l'intersezione tra l'iperbole $x^2/16-y^2/9=1$ e il semipiano delle $x<=0$.
E' l'intersezione tra l'iperbole $x^2/9-y^2/4=1$ e il semipiano delle $y>=0$.
b) $ x=-4/3(sqrt(y^2+9)) ->{(x<=0), (x^2/16-y^2/9=1):}$.
E' l'intersezione tra l'iperbole $x^2/16-y^2/9=1$ e il semipiano delle $x<=0$.
Ok, ti ringrazio! 
Adesso mi sto imbattendo con l' Esercizio 32.
Adesso mi sto imbattendo con l' Esercizio 32.
"chiaraotta":
b) $ x=-4/3(sqrt(y^2+9)) ->{(x<=0), (x^2/16-y^2/9=1):}$.
E' l'intersezione tra l'iperbole $x^2/16-y^2/9=1$ e il semipiano delle $x<=0$.
Ma cosa è che ti fa capire questo? $x<=0$
"Bad90":
Esercizio 32
...
Per esempio dimostriamo questa proprietà per il fuoco $F(c, 0)$ e l'asintoto $y=b/a*x$.
Basta calcolare la distanza $d$ di $F$ dall'asintoto $b*x-a*y=0$, usando la formula della distanza punto-retta:
$d=(|Ax_0+By_0+C|)/sqrt(A^2+B^2)=(|b*c-a*0+0|)/sqrt(b^2+a^2)=(b*c)/sqrt(c^2)=(b*c)/c=b$.
Se cerchi di capire il significato geometrico di questa proprietà, ti accorgi che è questo. Se si proietta un fuoco $F$ su un asintoto in un punto $H$, si costruisce un triangolo rettangolo $OFH$ in cui l'ipotenusa $OF$ è lunga $c$, il cateto $FH$ è lungo $b$ e quindi il cateto $OH$ è lungo $a$.
"Bad90":
....
Ma cosa è che ti fa capire questo? $x<=0$
$x=$-$4/3sqrt(y^2+9)$
A secondo membro c'è una radice quadrata, sicuramente $>=0$, moltiplicata per un numero negativo (-$4/3$). Quindi una grandezza che è $<=0$. Perciò anche $x$ deve essere $<=0$.
La curva è quella parte dell'iperbole che sta nel secondo e terzo quadrante, cioè il ramo "di sinistra"....
Ti ringrazio, sei stata chiarissima!
Esercizio 33
Data l'ellisse $ x^2/169+y^2/25=1 $ scrivere l'equazione dell'iperbole che ha i vertici nei fuochi dell'ellisse, ed i fuochi nei vertici dell'ellisse stessa.
Allora, ricavo i fuochi dell'ellisse dalla $ a^2=b^2+c^2 $ quindi $ c^2=a^2-b^2 $, quindi $ c=12 $.
I punti che mi interessano sono $ (-12,0)^^(12,0) $.
Quindi il vertice dell'iperbole, corrisponde ad $ a=12 $ che sarà $ a^2=144 $.
Adesso non sto capendo quando dice ed i fuochi nei vertici dell'ellisse stessa, questo perchè nell'ellisse, vi sono quattro vertici, quali saranno i vertici che mi interessano?
Io sono riuscito a scrivere questa iperbole:
$ x^2/144-y^2/b^2=1 $
Come faccio a ricavare la $ b^2 $
Grazie mille!
Data l'ellisse $ x^2/169+y^2/25=1 $ scrivere l'equazione dell'iperbole che ha i vertici nei fuochi dell'ellisse, ed i fuochi nei vertici dell'ellisse stessa.
Allora, ricavo i fuochi dell'ellisse dalla $ a^2=b^2+c^2 $ quindi $ c^2=a^2-b^2 $, quindi $ c=12 $.
I punti che mi interessano sono $ (-12,0)^^(12,0) $.
Quindi il vertice dell'iperbole, corrisponde ad $ a=12 $ che sarà $ a^2=144 $.
Adesso non sto capendo quando dice ed i fuochi nei vertici dell'ellisse stessa
, questo perchè nell'ellisse, vi sono quattro vertici, quali saranno i vertici che mi interessano? Io sono riuscito a scrivere questa iperbole:
$ x^2/144-y^2/b^2=1 $
Come faccio a ricavare la $ b^2 $
Grazie mille!
"Bad90":
Esercizio 33
.....vi sono quattro vertici, quali saranno i vertici che mi interessano? ....
$(+-13,0)$
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio 33
.....vi sono quattro vertici, quali saranno i vertici che mi interessano? ....
$(+-13,0)$[/quote]
Ok, allora se il mio obbiettivo è ricavare il $ b^2 $ dell'iperbole, devo partire sempre da questa $ c^2=a^2+b^2 $
Quindi: $ a^2+b^2=169 $
Conoscendo il valore di $ a^2=144 $ allora devo fare così?
$ b^2=169-144=25 $
Non sono sicuro se è corretto, perchè sono riuscito ad arrivare a quel risultato, con passaggi algebrici, in base ai valori che possiedo, arrivo a dire questo....
Non ho capito il filo logico, anche se ho compreso il fatto che ciò che mi interessava erano $(+-13,0)$...
Oppure in questi casi il valore di $ b^2 $ è identico per ellisse e iperbole?
Facendo uno schizzo con carta e penna, sono arrivato a dire che secondo me, il valore di $ b^2 $ è identico per entrambi!
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