Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
"Bad90":
Fin la ci sono arrivato, ma poi mi sono bloccato!
Comunque rifacendo tutti i calcoli, grazie al tuo consiglio, ci sono riuscito, stavo sbagliando un passaggio! Ho fatto così:
$ { (a=6-b) ,( 3b^2-18b+24=0):} $
$ 3b^2-18b+24=0 $ con le soluzioni $ b_1=4^^b_2=2 $ , segue:
$ x^2/4+y^2/16=1 $
Ti ringrazio!
Sostituendo hai dovuto fare po di più di calcoli immagino
potevi fare più velocemente cosi . Per quanto detto $a!=0^^b!=0$
${ (a+b=6) ,( a+b=3/4*(ab)):} <=>{ (a+b=6) ,( 6=3/4*(ab)):} <=> { (a+b=6) ,( ab=8):} <=> { (a+b=6) ,( a=8/b):} <=> { (8/b+b=6) ,( a=8/b):}$
Consideriamo $8/b+b=6 <=> b^2-6b+8=0 <=> b_2=1 vv b_2=4$
Per l' Esercizio 12 ho rifatto più volte i calcoli e non riesco a capire l'errore .....
$ { ( 1/a^2+(5sqrt(3))^2/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} =>{ ( 1/a^2+75/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} $
$ { (4b^2+75a^2=4a^2b^2 ),( b^2-a^2=25 ):} $
Fin quì dovrebbe essere tutto apposto, giusto?
Al passaggio che ha come risultato $4a^4+96a^2-100=0$, non ci sto riuscendo ad arrivare!
Scusate, se ho:
$ { (4b^2-4a^2b^2+75a^2=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4(a^2+25)-4a^2(a^2+25)+75a^2=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4a^2+100-4a^4-100a^2+75a^2=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (-21a^2+100-4a^4=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4a^4+21a^2-100=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
Arrivo sempre a questo risultato, non sto riuscendo ad arrivare a $4a^4+96a^2-100=0$, dove sto sbagliando
HELP
..... $ { ( 1/a^2+(5sqrt(3))^2/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} =>{ ( 1/a^2+75/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} $
$ { (4b^2+75a^2=4a^2b^2 ),( b^2-a^2=25 ):} $
Fin quì dovrebbe essere tutto apposto, giusto?
Al passaggio che ha come risultato $4a^4+96a^2-100=0$, non ci sto riuscendo ad arrivare!
Scusate, se ho:
$ { (4b^2-4a^2b^2+75a^2=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4(a^2+25)-4a^2(a^2+25)+75a^2=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4a^2+100-4a^4-100a^2+75a^2=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (-21a^2+100-4a^4=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4a^4+21a^2-100=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
Arrivo sempre a questo risultato, non sto riuscendo ad arrivare a $4a^4+96a^2-100=0$, dove sto sbagliando
HELP
Hai tutte le ragioni; io avevo saltato il $+75a^2$. Probabilmente c'è un errore di stampa; se mi dici il risultato del libro forse riesco ad individuarlo.
"giammaria":
Hai tutte le ragioni; io avevo saltato il $+75a^2$. Probabilmente c'è un errore di stampa; se mi dici il risultato del libro forse riesco ad individuarlo.
Ok, il risultato del libro è:
$ x^2/4+y^2/25=1 $
Ma come fai a fare la verifica?
Spero che sia un errore del testo, questo esercizio mi sta dannando
Controllo semplicemente che i dati concordino col risultato e così facendo ho notato che in realtà non ci sono errori ma solo un enunciato che induce a fraintendere: non vuole dire che la distanza focale è 10, ma che l'asse principale è 10 e sta sull'asse y: in altre parole, $2b=10$. Non ho controllato l'altro dato.
Esercizio 12
Adesso verifico nuovamente i calcoli!
Quindi si tratta di avere il seguente caso, $ bar(PF')+bar(PF)=2b $, grazie al tuo aiuto sono arrivato alla conclusione
, ecco quì:
$ { ( 1/a^2+75/(4b^2)=1 ),( b^2=25 ):} $
$ { ( 25a^2-100=0 ),( b^2=25 ):} $
$ { ( a^2=4 ),( b^2=25 ):} $
Segue $ x^2/4+y^2/25=1 $
"giammaria":
Controllo semplicemente che i dati concordino col risultato e così facendo ho notato che in realtà non ci sono errori ma solo un enunciato che induce a fraintendere: non vuole dire che la distanza focale è 10, ma che l'asse principale è 10 e sta sull'asse y: in altre parole, $2b=10$. Non ho controllato l'altro dato.
Adesso verifico nuovamente i calcoli!
Quindi si tratta di avere il seguente caso, $ bar(PF')+bar(PF)=2b $, grazie al tuo aiuto sono arrivato alla conclusione
, ecco quì: $ { ( 1/a^2+75/(4b^2)=1 ),( b^2=25 ):} $
$ { ( 25a^2-100=0 ),( b^2=25 ):} $
$ { ( a^2=4 ),( b^2=25 ):} $
Segue $ x^2/4+y^2/25=1 $
Esercizio 14
Trovare le intersezioni dell'ellisse $ 3x^2+5y^2=32 $ con le bisettrici dei quadranti.
Ovviamente si tratta di mettere a sistema l'ellisse $ 3x^2+5y^2=32 $ con le bisettrici $ x=y^^x=-y $ , è semplice, ma ho qualche dubbio..
Imposto il primo sistema:
$ { ( 3x^2+5y^2=32 ),( x=y ):} $
Arrivo a
$ { ( y^2=4 ),( x=y ):} => { ( y=+-2 ),( x=y ):}=> { ( y=+-2 ),( x=+-2 ):}$
Quindi i primi due punti di intersezione sono $ A(2,2)^^B(-2,-2) $
Imposto il secondo sistema:
$ { ( 3x^2+5y^2=32 ),( x=-y ):} $
$ { ( y=+-2 ),( x=-(+-2) ):} $
Quindi i secondi due punti di intersezione sono $ C(-2,2)^^B(2,-2) $! Ho fatto il grafico e mi ha dato conferma!
Ma perchè il testo mi dice che $ A(2,2)^^B(-2,-2) $^^$ C(2,2)^^B(2,-2) $
Quel punto $ C $ non conferma i miei calcoli, secondo me gli manca un segno $ - $, dite che è un errore di stampa
Grazie mille!
Trovare le intersezioni dell'ellisse $ 3x^2+5y^2=32 $ con le bisettrici dei quadranti.
Ovviamente si tratta di mettere a sistema l'ellisse $ 3x^2+5y^2=32 $ con le bisettrici $ x=y^^x=-y $ , è semplice, ma ho qualche dubbio..
Imposto il primo sistema:
$ { ( 3x^2+5y^2=32 ),( x=y ):} $
Arrivo a
$ { ( y^2=4 ),( x=y ):} => { ( y=+-2 ),( x=y ):}=> { ( y=+-2 ),( x=+-2 ):}$
Quindi i primi due punti di intersezione sono $ A(2,2)^^B(-2,-2) $
Imposto il secondo sistema:
$ { ( 3x^2+5y^2=32 ),( x=-y ):} $
$ { ( y=+-2 ),( x=-(+-2) ):} $
Quindi i secondi due punti di intersezione sono $ C(-2,2)^^B(2,-2) $! Ho fatto il grafico e mi ha dato conferma!
Ma perchè il testo mi dice che $ A(2,2)^^B(-2,-2) $^^$ C(2,2)^^B(2,-2) $
Quel punto $ C $ non conferma i miei calcoli, secondo me gli manca un segno $ - $, dite che è un errore di stampa
Grazie mille!
Piccola nota , le bisettrici sono date da $y=+-x$ .
Comunque sembra tutto corretto
Comunque sembra tutto corretto
"Kashaman":
Piccola nota , le bisettrici sono date da $y=+-x$ .
Comunque sembra tutto corretto
E cosa cambia da $x=+-y$, a me sembra sia lo stesso!
"Bad90":
[quote="Kashaman"]Piccola nota , le bisettrici sono date da $y=+-x$ .
Comunque sembra tutto corretto
E cosa cambia da $x=+-y$, a me sembra sia lo stesso!
[/quote]Dire $y=x ^^ x=-y$ è abbastanza ambiguo. Nel primo stai dicendo che $y$ varia rispetto a $x$.
Nel secondo stai dicendo che $x$ varia rispetto a $-y$.
Detto in altri termini non si capisce chi è l'ordinata e chi la coordinata.
A livello di calcolo non cambia granché , è più una precisazione
Ok, grazie per la precisazione,
Esercizio 15
Trovare le equazioni delle tangenti all'ellisse di equazione:
$ ( x^2+4y^2=9) $
Condotte per il punto $ P(9,0) $
Io ho impostato il seguente sistema:
$ { ( x^2+4y^2=9),( y=xm-9m ):} $
Sono arrivato ad avere giustamente $ m=+-4sqrt(2) $ , ma quando sono andato a sostituire nell'equazione della retta, per determinare le due rette tra le tante del fascio di rette, mi sono accorto che qualcosa non va, ma non sto capendo cosa
Insomma, ho dato per scontato che le rette tangenti fossero date dalle seguenti:
$ y=xm-9m=>y=x(4sqrt(2))-9(4sqrt(2)) $
Ma così non è
Perchè questa mia retta ricavata non è soluzione? Il testo mi dice che
$ x+-4sqrt(2)y-9=0 $
Perchè?
Grazie mille!
Trovare le equazioni delle tangenti all'ellisse di equazione:
$ ( x^2+4y^2=9) $
Condotte per il punto $ P(9,0) $
Io ho impostato il seguente sistema:
$ { ( x^2+4y^2=9),( y=xm-9m ):} $
Sono arrivato ad avere giustamente $ m=+-4sqrt(2) $ , ma quando sono andato a sostituire nell'equazione della retta, per determinare le due rette tra le tante del fascio di rette, mi sono accorto che qualcosa non va, ma non sto capendo cosa
Insomma, ho dato per scontato che le rette tangenti fossero date dalle seguenti:
$ y=xm-9m=>y=x(4sqrt(2))-9(4sqrt(2)) $
Ma così non è
Perchè questa mia retta ricavata non è soluzione? Il testo mi dice che
$ x+-4sqrt(2)y-9=0 $
Perchè?
Grazie mille!
Io trovo
$m=+-sqrt(2)/8$.
Se lo sostituisci nel fascio di rette
$y=m(x-9)$,
ottieni
$y=+-sqrt(2)/8(x-9)$.
Se dividi l'equazione per
$+-sqrt(2)/8$
arrivi a
$+-8/sqrt(2)y=x-9->+-8sqrt(2)/2y=x-9->x+-4sqrt(2)y-9=0$
$m=+-sqrt(2)/8$.
Se lo sostituisci nel fascio di rette
$y=m(x-9)$,
ottieni
$y=+-sqrt(2)/8(x-9)$.
Se dividi l'equazione per
$+-sqrt(2)/8$
arrivi a
$+-8/sqrt(2)y=x-9->+-8sqrt(2)/2y=x-9->x+-4sqrt(2)y-9=0$
Ho rifatto i calcoli, avevo fatto un errore dovuto alla stanchezza, nel ricavare $ m $ .
Scusa, ma per quale motivo il testo ha diviso per il valore di $ m $
Non si poteva lasciare in questo modo?
$ y=+-sqrt(2)/8(x-9) =>y=+-sqrt(2)/8x-(9sqrt(2))/8$
Il testo mi fa fare una serie di esercizi in cui divide per il valore di $ m $ , penso che lo scopo sia farmi tenere in mente questo metodo del dividere per ......
Secondo voi ho intuito bene?
Scusa, ma per quale motivo il testo ha diviso per il valore di $ m $
Non si poteva lasciare in questo modo?
$ y=+-sqrt(2)/8(x-9) =>y=+-sqrt(2)/8x-(9sqrt(2))/8$
Il testo mi fa fare una serie di esercizi in cui divide per il valore di $ m $ , penso che lo scopo sia farmi tenere in mente questo metodo del dividere per ......
Secondo voi ho intuito bene?
"Bad90":
Ho rifatto i calcoli, avevo fatto un errore dovuto alla stanchezza
Riposati, il cervello deve distendersi un po
"Kashaman":
[quote="Bad90"]Ho rifatto i calcoli, avevo fatto un errore dovuto alla stanchezza
Riposati, il cervello deve distendersi un po
[/quote]Infatti, questa sera vedo di staccare prima, poi esco un pò e cercherò di non fare calcoli.......
Esercizio 16
Trovare le equazioni delle tangenti all'ellissi di equazione:
$ x^2+4y^2=9 $ nel suo punto $ P(1,sqrt(2)) $
Sto cercando di risolverlo, ho impostato il seguente schema:
$ { ( x^2+4y^2=9),( y-sqrt(2)=m(x-1) ):} $
Così come è impostato lo schema, dalla prima equazione sono arrivato alla seguente:
$ 128m^2+32sqrt(2)m+4=0 $
Trovare le equazioni delle tangenti all'ellissi di equazione:
$ x^2+4y^2=9 $ nel suo punto $ P(1,sqrt(2)) $
Sto cercando di risolverlo, ho impostato il seguente schema:
$ { ( x^2+4y^2=9),( y-sqrt(2)=m(x-1) ):} $
Così come è impostato lo schema, dalla prima equazione sono arrivato alla seguente:
$ 128m^2+32sqrt(2)m+4=0 $
Stai confondendo due $Delta$ diversi. La condizione di tangenza chiede che sia $Delta=0$ nell'equazione con l'incognita $x$ ed imponendo questa condizione ottieni la tua equazione con l'incognita $m$; la risolvi normalmente trovando il valore di $m$: i tuoi calcoli non sono inutili. Capita che anche questa equazione abbia $Delta=0$ e succede tutte le volte che il punto sta sulla curva ma non preoccupartene e continua tranquillamente. Non sto a spiegarti perché capita: sarebbe abbastanza lungo e quasi completamente inutile.
Ok, continuando ho ottenuto $ m=-sqrt(2)/8 $
Adesso devo risolvere la seguente:
$ y-sqrt(2)=-sqrt(2)/8(x-1) $
Non capisco perchè il risultato del testo mi porta sempre a dividere per lo stesso valore di $ m=-sqrt(2)/8 $
Infatti dividendo per $ m $ ,sono arrivato alla giusta conclusione:
$ x+4sqrt(2)y-9=0 $
Adesso devo risolvere la seguente:
$ y-sqrt(2)=-sqrt(2)/8(x-1) $
Non capisco perchè il risultato del testo mi porta sempre a dividere per lo stesso valore di $ m=-sqrt(2)/8 $
Infatti dividendo per $ m $ ,sono arrivato alla giusta conclusione:
$ x+4sqrt(2)y-9=0 $
Secondo me il testo ha semplificato $m$: notando che $8=4*sqrt2*sqrt2$ ottieni $m=-1/(4sqrt2)$. Sostituendo nell'equazione della retta e dando denominatore comune il risultato risulta scritto nella sua forma.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo