Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
"giammaria":
Bene il 22. Per il 23 puoi fare così: indichi con $P(x,y)$ il generico punto del luogo, calcoli le due distanze ed imponi che il rapporto abbia quel valore. Così:
$(sqrt((x-4)^2+y^2))/(|x-7/4|)=4/(sqrt7)$
$sqrt7*sqrt((x-4)^2+y^2)=|4x-7|$
Eleva a quadrato, ricordando che $(|a|)^2=a^2$, completa i calcoli e troverai un'iperbole.
Non sto ricordando a cosa ti riferisci con $(|a|)^2=a^2$
Allora, ho fatto i calcoli, nel seguente modo:
$ (sqrt(7)*sqrt((x-4)^2+y^2))^2=(|4x-7|)^2 $
$ 7*((x-4)^2+y^2)=(4x-7)^2 $
$ 7*((x^2-8x+16)+y^2)=(16x^2-56x+49) $
$ 7x^2-56x+112+7y^2=16x^2-56x+49 $
$ -9x^2+63+7y^2=0 $
$ 9x^2-7y^2-63=0 $
$ 9x^2-7y^2=63 $
$ x^2/7-y^2/9=1 $
"Bad90":
Non sto ricordando a cosa ti riferisci con $(|a|)^2=a^2$
Mi riferisco proprio a quello che hai fatto: quando si eleva a quadrato un valore assoluto, possiamo trascurare il segno di valore assoluto.
Il resto va bene; non ho controllato i calcoli ma se il risultato è giusto probabilmente lo sono anche loro.
Si il risultato è giusto, era solo quello punto sul valore assoluto che non stavo capendo!
Esercizio 24
Determinare il valore di $ b^2 $ in modo tale che l'iperbole $ x^2/30-y^2/b^2=1 $ risulti tangente alla retta di equazione $ x-y-5=0 $ .
Sto provando più volte a risolverlo, ma sicuramente sto sbagliando qualche passaggio algebrico!
E' giusto iniziare con questo sistema?
$ { ( x^2/30-y^2/b^2=1 ),( x=y+5 ):} $
$ { ( b^2x^2-30y^2-30b^2=0 ),( x=y+5 ):} $
$ { ( b^2( y+5 )^2-30y^2-30b^2=0 ),( x=y+5 ):} $
$ { ( y^2(b^2-30)+y(10b^2)-5b^2=0 ),( x=y+5 ):} $
Ponendo il $ Delta=0 $ allora:
$ 120b^4-600b^2=0 $
$ b^4-5b^2=0 $
Con due soluzioni:
$ b^2(b^2-5)=0=>(b^2=0^^b^2=5) $
E posso dire che $ b^2=0 $ non è soluzione in quanto annullerebbe la frazione $ y^2/b^2 $
Determinare il valore di $ b^2 $ in modo tale che l'iperbole $ x^2/30-y^2/b^2=1 $ risulti tangente alla retta di equazione $ x-y-5=0 $ .
Sto provando più volte a risolverlo, ma sicuramente sto sbagliando qualche passaggio algebrico!
E' giusto iniziare con questo sistema?
$ { ( x^2/30-y^2/b^2=1 ),( x=y+5 ):} $
$ { ( b^2x^2-30y^2-30b^2=0 ),( x=y+5 ):} $
$ { ( b^2( y+5 )^2-30y^2-30b^2=0 ),( x=y+5 ):} $
$ { ( y^2(b^2-30)+y(10b^2)-5b^2=0 ),( x=y+5 ):} $
Ponendo il $ Delta=0 $ allora:
$ 120b^4-600b^2=0 $
$ b^4-5b^2=0 $
Con due soluzioni:
$ b^2(b^2-5)=0=>(b^2=0^^b^2=5) $
E posso dire che $ b^2=0 $ non è soluzione in quanto annullerebbe la frazione $ y^2/b^2 $
La frase esatta non è "annullerebbe la frazione" ma "renderebbe senza significato la frazione". Tutto il resto va bene.
Ho risolto il seguente sistema:
$ { ( 5x^2-7y^2=17 ),( y+2=m(x+3) ):} $
Ho risolto il tutto per determinare l'equazione della retta tangente all'iperbole e sono arrivato alla seguente soluzione:
$ 105x-98y+119=0 $
Il testo mi da la seguente soluzione:
$ 15x-14y+17=0 $
Ho introdotto le due equazioni in geogebra e mi da la stessa e identica retta, ma come devo fare per scriverla nello stesso modo del testo?
$ { ( 5x^2-7y^2=17 ),( y+2=m(x+3) ):} $
Ho risolto il tutto per determinare l'equazione della retta tangente all'iperbole e sono arrivato alla seguente soluzione:
$ 105x-98y+119=0 $
Il testo mi da la seguente soluzione:
$ 15x-14y+17=0 $
Ho introdotto le due equazioni in geogebra e mi da la stessa e identica retta, ma come devo fare per scriverla nello stesso modo del testo?
dividi tutto per 7
"piero_":
dividi tutto per 7
Non mi ero accorto che la calcolatrice si era rotta!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
, il tasto dividi lo prende come se fosse il tasto meno! 
Mi è caduta per terra e adesso sta dando i numeri 
, solo che detta così non è sbagliato, in quanto lei è abituata a dare i numeri! Ti ringrazio!
Esercizio 25
Determinare l'equazione della tangente all'iperbole:
$ x^2/4-y^2/9=1 $
Nel suo punto $ P(-3,(3sqrt(5))/2) $
Sto avendo problemi con quel radicale, sarà che sto sbagliando qualche passaggio algebrico! Se la retta e':
$ y-(3sqrt(5))/2=m(x+3) $
E l'iperbole e'
$ 9x^2-4y^2-36=0 $
Determinare l'equazione della tangente all'iperbole:
$ x^2/4-y^2/9=1 $
Nel suo punto $ P(-3,(3sqrt(5))/2) $
Sto avendo problemi con quel radicale, sarà che sto sbagliando qualche passaggio algebrico! Se la retta e':
$ y-(3sqrt(5))/2=m(x+3) $
E l'iperbole e'
$ 9x^2-4y^2-36=0 $
In calcoli di questo genere gli errori di distrazione sono abbastanza probabili. Per facilitarti il controllo di quanto hai fatto ti do qualche passaggio intermedio: l'equazione in $x$ è
$x^2(9-4m^2)-12mx(2m+sqrt5)-9(4m^2+4msqrt5 +9)=0$
e quella che si ottiene da $Delta/4=0$, semplificata per 9, è
$20m^2+36msqrt5+81=0$
da cui ricavi un'unica soluzione, cioè $m=-9/(2sqrt5)$.
$x^2(9-4m^2)-12mx(2m+sqrt5)-9(4m^2+4msqrt5 +9)=0$
e quella che si ottiene da $Delta/4=0$, semplificata per 9, è
$20m^2+36msqrt5+81=0$
da cui ricavi un'unica soluzione, cioè $m=-9/(2sqrt5)$.
Adesso rivedo i calcoli, questa sera sto facendo molti errori dovuti alla distrazione, sarà la stanchezza! Ti ringrazio!
Mi chiedevo, perchè hai portato al denominatore il radicale $m=-9/(2sqrt5)$
Inizialmente ho ottenuto che $m=-(9sqrt(5))/10$, per quale motivo si deve portare al denominatore il radicale Spesso mi è capitato di dover portare il radicale al numeratore, mentre quì mi capita il contrario!
Perchè
Mi chiedevo, perchè hai portato al denominatore il radicale
$m=-9/(2sqrt5)$ Inizialmente ho ottenuto che $m=-(9sqrt(5))/10$, per quale motivo si deve portare al denominatore il radicale
Spesso mi è capitato di dover portare il radicale al numeratore, mentre quì mi capita il contrario! Perchè
Esercizio 26
Determinare i valori di $ a^^b $ in modo tale che l'iperbole di equazione $ x^2/a^2-y^2/b^2=1 $ passi per il punto $ P(6,4) $ e abbia come asintoti le rette $ y=+-(2sqrt(2))/3x $ . Trovare successivamente le coordinate dei punti di intersezione della curva con la retta $ y=-x-2 $ .
Risoluzione
$ +-(2sqrt(2))/3x=+-b/ax $
$ b=+-(2sqrt(2))/3a$
$ x^2/a^2-y^2/(+-(2sqrt(2))/3a)^2=1 => 36/a^2-16/(+-(2sqrt(2))/3a)^2=1 $
Quindi $ a^2=18^^b^2=16 $
I punti di intersezione sono dati da:
$ { ( x^2/18-y^2/16=1 ),( y=-x-2 ):} $
Non scrivo tutti i passaggi, per risparmiare spazio, ma i punti di intersezione sono $ (-30,28)^^(-6,4) $ .
Determinare i valori di $ a^^b $ in modo tale che l'iperbole di equazione $ x^2/a^2-y^2/b^2=1 $ passi per il punto $ P(6,4) $ e abbia come asintoti le rette $ y=+-(2sqrt(2))/3x $ . Trovare successivamente le coordinate dei punti di intersezione della curva con la retta $ y=-x-2 $ .
Risoluzione
$ +-(2sqrt(2))/3x=+-b/ax $
$ b=+-(2sqrt(2))/3a$
$ x^2/a^2-y^2/(+-(2sqrt(2))/3a)^2=1 => 36/a^2-16/(+-(2sqrt(2))/3a)^2=1 $
Quindi $ a^2=18^^b^2=16 $
I punti di intersezione sono dati da:
$ { ( x^2/18-y^2/16=1 ),( y=-x-2 ):} $
Non scrivo tutti i passaggi, per risparmiare spazio, ma i punti di intersezione sono $ (-30,28)^^(-6,4) $ .
Mi chiedo perchè il mio testo di geometria analitica, accenna con sole 10 riga la legge dello sdoppiamento! Sono dei libri a moduli, l'unica cosa che mi viene di pensare è che parlerà in modo più approfondito nel modulo successivo! Il modulo che sto per finire è Geometria Analitica, il modulo che fra poco devo iniziare è Trigonometria Vettori e numeri complessi! Voi cosa ne dite?
Vorrei capire meglio il concetto che in una equazione dell'iperbole riferita agli asisntoti, $ xy=k $
Come si può spiegare questo?
$ xy=k $
Grazie mille!
Come si può spiegare questo?
$ xy=k $
Grazie mille!
Esercizio 27
Determinare l'equazione, riferita agli assi, dell'iperbole equilatera che passa per il punto $ P(5,4) $ . Calcolare poi le coordinate dei vertici, dei fuochi l'eccentricità e le equazioni degli asintoti.
Bene, sapendo che $ a=b $ allora l'equazione dell'iperbole sarà:
$ x^2-y^2=a^2 $
$ a^2=9 $
$ x^2-y^2=9 $
I vertici sono $ V'(-3,0)^^V(3,0) $
Correggetemi se sbaglio, ma i fuochi sono dati dalla $ c^2=a^2+b^2 $
Se così è, allora sarà:
$ c^2=2a^2 $
$ c^2=2*9=>c=+-3sqrt(2)$
E' giusta la seguente eccentricità?
$ e=c/a=>(3sqrt(2))/9=>(sqrt(2))/3 $
Sono giuste le equazioni degli asintoti?
$ y=+-x $
Determinare l'equazione, riferita agli assi, dell'iperbole equilatera che passa per il punto $ P(5,4) $ . Calcolare poi le coordinate dei vertici, dei fuochi l'eccentricità e le equazioni degli asintoti.
Bene, sapendo che $ a=b $ allora l'equazione dell'iperbole sarà:
$ x^2-y^2=a^2 $
$ a^2=9 $
$ x^2-y^2=9 $
I vertici sono $ V'(-3,0)^^V(3,0) $
Correggetemi se sbaglio, ma i fuochi sono dati dalla $ c^2=a^2+b^2 $
Se così è, allora sarà:
$ c^2=2a^2 $
$ c^2=2*9=>c=+-3sqrt(2)$
E' giusta la seguente eccentricità?
$ e=c/a=>(3sqrt(2))/9=>(sqrt(2))/3 $
Sono giuste le equazioni degli asintoti?
$ y=+-x $
Esercizio 28
Scrivere l'equazione, riferita agli assi, dell'iperbole equilatera che stacca sulla retta di equazione $ y=1/2x $ il segmento di misura $ 2/3sqrt(15) $ .
Non sto capendo la traccia!
Scrivere l'equazione, riferita agli assi, dell'iperbole equilatera che stacca sulla retta di equazione $ y=1/2x $ il segmento di misura $ 2/3sqrt(15) $ .
Non sto capendo la traccia!
"Bad90":
Esercizio 27
....
$c^2=2*9=>c=3sqrt(2)$,
I fuochi sono $ F'(-3sqrt(2),0)^^F(3sqrt(2),0) $,
$ e=c/a=(3sqrt(2))/3=sqrt(2)$.
Grazie, non ho fatto caso e ho fatto errori banalissimi!
"Bad90":
Esercizio 28
...
Per trovare le coordinate di $A$ nel primo quadrante, in funzione di $a$, interseco retta $y=1/2x$ e generica iperbole equilatera $x^2-y^2=a^2$:
${(y=1/2x), (x^2-y^2=a^2):}->A(2/3sqrt(3)a, 1/3sqrt(3)a)$.
Se il segmento $AB$ è lungo $2/3sqrt(15)$, allora $bar(OA)=1/2bar(AB)=1/3sqrt(15)$ e $bar(OA)^2=15/9=5/3$.
A questo punto posso calcolare $bar(OA)^2$ attraverso le coordinate di $A$ ($bar(OA)^2=x_A^2+y_A^2=4/9*3a^2+1/9*3a^2=5/3a^2$) e uguagliare al valore precedente:
$5/3a^2=5/3->a^2=1->x^2-y^2=1$.
Ti ringrazio, adesso memorizzo questi passaggi!
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