Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
Mi sono reso conto che ottenendo $ m=-sqrt(2)/8 $ , lo sostituisco nell'equazione della retta, poi divido primo membro e secondo membro per $ m=-sqrt(2)/8 $ , e alla fine arrivo alla conclusione che ho scritto nel messaggio precedente!
La mia curiosità sta nel fatto di fare tutti questi artifizi, quanto a mio parere l'equazione delle rette, si potrebbero lasciare scritte sostituendo solo la $ m=-sqrt(2)/8 $, lasciando l'equazione in questo modo:
$ y-sqrt(2)=-sqrt(2)/8(x-1) $
Alla fine vuol dire la stessa cosa di:
$ x+4sqrt(2)y-9=0 $
La mia curiosità sta nel fatto di fare tutti questi artifizi, quanto a mio parere l'equazione delle rette, si potrebbero lasciare scritte sostituendo solo la $ m=-sqrt(2)/8 $, lasciando l'equazione in questo modo:
$ y-sqrt(2)=-sqrt(2)/8(x-1) $
Alla fine vuol dire la stessa cosa di:
$ x+4sqrt(2)y-9=0 $
Non si tratta di fare volutamente degli artifizi; spesso si tratta solo di un diverso metodo nei calcoli (ad esempio, semplificare la tua $m$ nel modo che ho indicato o non farlo). In altri casi è poi discutibile quale sia il miglior modo di scrivere le soluzioni: ad esempio è preferibile $y=-1/2(x-3)$ che evidenzia il significato geometrico oppure $x+2y-3=0$ che ha una scrittura più semplice? Il modo che tu proponi (sostituendo solo $m$) è sconsigliabile perché non riduce i termini simili. Comunque non preoccuparti di queste minuzie ma solo di aver ottenuto il giusto risultato; al più, chiediti se il libro ha scritto il risultato in modo preferibile al tuo.
Esercizio 17
Trovare le equazioni delle tangenti all'ellissi di equazione:
$ 16x^2+25y^2=400 $ nel suo punto $ P(5,0) $
Impostando il seguente sistema:
$ { ( 16x^2+25y^2=400 ),( y=m(x-5) ):} $
Sono arrivato alla seguente equazione in $ m $ :
$ 62500m^4-62500m^4+25600=0 $
Ovviamente è una equazione impossibile, in quanto $ 25600=0 $ , quindi il valore di $ m $ quale sarà
Il testo mi dice il seguente risultato $ x-5=0 $ , ma non sto capendo come devo fare per arrivare al giusto risultato, mediante questi passaggi algebrici che ho fatto!
Insomma, vedendo il grafico, mi rendo conto subito che la retta è parallela all'asse delle $ y $ , quindi $ m $ non ha senso, solo che io voglio dimostrarlo con i calcoli !
Anche se mi è venuto in mente che l'equazione per le rette parallele agli assi è $ y=(x-5) $,
Trovare le equazioni delle tangenti all'ellissi di equazione:
$ 16x^2+25y^2=400 $ nel suo punto $ P(5,0) $
Impostando il seguente sistema:
$ { ( 16x^2+25y^2=400 ),( y=m(x-5) ):} $
Sono arrivato alla seguente equazione in $ m $ :
$ 62500m^4-62500m^4+25600=0 $
Ovviamente è una equazione impossibile, in quanto $ 25600=0 $ , quindi il valore di $ m $ quale sarà
Il testo mi dice il seguente risultato $ x-5=0 $ , ma non sto capendo come devo fare per arrivare al giusto risultato, mediante questi passaggi algebrici che ho fatto!
Insomma, vedendo il grafico, mi rendo conto subito che la retta è parallela all'asse delle $ y $ , quindi $ m $ non ha senso, solo che io voglio dimostrarlo con i calcoli
! Anche se mi è venuto in mente che l'equazione per le rette parallele agli assi è $ y=(x-5) $,
Con i passaggi algebrici che hai fatto NON PUOI arrivare al giusto risultato: nell'istante stesso in cui tu scrivi una formula con la $m$ escludi dalla considerazione le rette parallele all'asse y, che quindi non troverai. Bisogna sempre ricordare che anche queste possono essere soluzioni e cercale a parte. Di solito ci si limita ad osservare la figura ma se proprio vuoi dei calcoli, allora scrivi l'equazione della retta parallela all'asse y e passante per P (nel tuo caso $x=5$), la intersechi con l'ellisse e verifichi che si ha $Delta=0$.
Attento:$y=x-5$ non è parallela agli assi ma alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Attento:$y=x-5$ non è parallela agli assi ma alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Quindi se avessi guardato il grafico, non avrei avuto tutti questi dubbi, vero?
Vero.
Ellisse traslata
Nel paragrafo che parla dell'ellisse traslata, ho incontrato la seguente equazione:
$ b^2x^2+a^2y^2-2b^2gammax-2a^2betay+b^2gamma^2+a^2beta^2-a^2b^2=0 $
Ho compreso che quando si ha una ellisse traslata, si ha un sistema di riferimento $ O'(gamma,beta) $ ma poi mi viene scritta direttamente l'equazione che ho riportato sopra, insomma il paragrafo dice poco e aimè negli esercizi vado in palla!
Nel paragrafo che parla dell'ellisse traslata, ho incontrato la seguente equazione:
$ b^2x^2+a^2y^2-2b^2gammax-2a^2betay+b^2gamma^2+a^2beta^2-a^2b^2=0 $
Ho compreso che quando si ha una ellisse traslata, si ha un sistema di riferimento $ O'(gamma,beta) $ ma poi mi viene scritta direttamente l'equazione che ho riportato sopra, insomma il paragrafo dice poco e aimè negli esercizi vado in palla!
L'equazione risulta da questa:
$(x-gamma)^2/a^2+(y-beta)^2/b^2=1$
$(x-gamma)^2/a^2+(y-beta)^2/b^2=1$
Esercizio 18
Scrivere l'equazione, riferita agli assi, della seguente ellisse:
$ 3x^2+4y^2+30x+63=0 $
Con quello che viene detto nel paragrafo, non riesco a risolverlo, adesso sto cercando qua e la per trovare qualcosa che parla più dettagliatamente dell'argomento!
Correggetemi se sbaglio! Sapendo che la traslazione può essere esposta dal seguente sistema:
$ { ( x=X+x_0 ),( y=Y+y_0 ):} $
Sostituisco nell'equazione data dalla traccia:
$ 3(X+x_0)^2+4(Y+y_0)^2+30(X+x_0)+63=0 $
Sviluppando i quadrati e riordinando si arriva alla seguente:
$ 3X^2+4Y^2+X(6x_0+30)+Y(8y_0)+(3x_0+30x_0+63)=0$
Dato che nell'equazione dell'ellisse avente l’origine nel centro del sistema di assi $ x=0^^y=0 $, l’equazione manca dei termini di primo grado in $X$ e in $Y$ , posso quindi eliminarli nel seguente modo:
$ { ( 6x_0+30=0 ),( 8y_0=0 ):} =>{ ( x_0=-5 ),( y_0=0 ):} $
Sostituisco nella seguente:
$ 3X^2+4Y^2+X(6x_0+30)+Y(8y_0)+(3x_0+30x_0+63)=0$
ed ho:
$ 3X^2+4Y^2+75-150+63=0 $
$ 3X^2+4Y^2=12$
Scrivere l'equazione, riferita agli assi, della seguente ellisse:
$ 3x^2+4y^2+30x+63=0 $
Con quello che viene detto nel paragrafo, non riesco a risolverlo, adesso sto cercando qua e la per trovare qualcosa che parla più dettagliatamente dell'argomento!
Correggetemi se sbaglio! Sapendo che la traslazione può essere esposta dal seguente sistema:
$ { ( x=X+x_0 ),( y=Y+y_0 ):} $
Sostituisco nell'equazione data dalla traccia:
$ 3(X+x_0)^2+4(Y+y_0)^2+30(X+x_0)+63=0 $
Sviluppando i quadrati e riordinando si arriva alla seguente:
$ 3X^2+4Y^2+X(6x_0+30)+Y(8y_0)+(3x_0+30x_0+63)=0$
Dato che nell'equazione dell'ellisse avente l’origine nel centro del sistema di assi $ x=0^^y=0 $, l’equazione manca dei termini di primo grado in $X$ e in $Y$ , posso quindi eliminarli nel seguente modo:
$ { ( 6x_0+30=0 ),( 8y_0=0 ):} =>{ ( x_0=-5 ),( y_0=0 ):} $
Sostituisco nella seguente:
$ 3X^2+4Y^2+X(6x_0+30)+Y(8y_0)+(3x_0+30x_0+63)=0$
ed ho:
$ 3X^2+4Y^2+75-150+63=0 $
$ 3X^2+4Y^2=12$
Se confronti l'equazione dell'ellisse traslata che hai
$3x^2+4y^2+30x+63=0$
con quella di una generica ellisse traslata
$b^2x^2+a^2y^2-2b^2gammax-2a^2betay+b^2gamma^2+a^2beta^2-a^2b^2=0$
vedi che
$b^2=3$
e
$a^2=4$.
Per cui l'equazione che cerchi si può scrivere immediatamente ed è
$x^2/4+y^2/3=1$.
$3x^2+4y^2+30x+63=0$
con quella di una generica ellisse traslata
$b^2x^2+a^2y^2-2b^2gammax-2a^2betay+b^2gamma^2+a^2beta^2-a^2b^2=0$
vedi che
$b^2=3$
e
$a^2=4$.
Per cui l'equazione che cerchi si può scrivere immediatamente ed è
$x^2/4+y^2/3=1$.
"chiaraotta":
Se confronti l'equazione dell'ellisse traslata che hai
$3x^2+4y^2+30x+63=0$
con quella di una generica ellisse traslata
$b^2x^2+a^2y^2-2b^2gammax-2a^2betay+b^2gamma^2+a^2beta^2-a^2b^2=0$
vedi che
$b^2=3$ e $a^2=4$.
E perchè in questa non sta funzionando? L'equazione è:
$2x^2+4y^2-4x-4y-3=0$
Se $b^2=2$ e $a^2=4$, dovrebbe essere $x^2/4+y^2/2=1=>x^2+2y^2=4$, perchè il testo mi dice $x^2+2y^2=3$
Cosa sto trascurando
Non sempre funziona; nell'altro esercizio chiaraotta ha avuto un colpo di genio o forse solo fortuna. Il metodo che avevi seguito nell'altro esercizio va invece sempre bene; un altro metodo è raccogliere il coefficiente di $x^2$ fra i termini che contengono $x$; idem per $y$. Così:
$2(x^2-2x)+4(y^2-y)-3=0$
Ora facciamo in modo di ottenere dei quadrati, come hai fatto in altri esercizi:
$2(x^2-2x+1-1)+4(y^2-2*1/2y+1/4-1/4)-3=0$
$2[(x-1)^2-1]+4[(y-1/2)^2-1/4]-3=0$
e fai quindi la traslazione
${(X=x-1),(Y=y-1/2):}$
ottenendo
$2(X^2-1)+4(Y^2-1/4)-3=0=>2X^2-2+4Y^2-1-3=0=>2X^2+4Y^2=6=>X^2+2Y^2=3$
$2(x^2-2x)+4(y^2-y)-3=0$
Ora facciamo in modo di ottenere dei quadrati, come hai fatto in altri esercizi:
$2(x^2-2x+1-1)+4(y^2-2*1/2y+1/4-1/4)-3=0$
$2[(x-1)^2-1]+4[(y-1/2)^2-1/4]-3=0$
e fai quindi la traslazione
${(X=x-1),(Y=y-1/2):}$
ottenendo
$2(X^2-1)+4(Y^2-1/4)-3=0=>2X^2-2+4Y^2-1-3=0=>2X^2+4Y^2=6=>X^2+2Y^2=3$
Questo ultimo metodo che mi hai fatto vedere, mi sembra più rapido!
Vero?
Vero?
Nel caso di prima l'equazione
$3x^2+4y^2+30x+63=0$
si poteva scrivere come
$3(x+5)^2-75+4(y+0)^2+63=0$
oppure
$3(x+5)^2+4(y+0)^2-12=0$
o anche
$(x+5)^2/4+(y-0)^2/3=1$.
Quindi
l'ellisse aveva
$a^2=4$,
$b^2=3$.
L'equazione riferita ai suoi assi era
$x^2/4+y^2/3=1$
oppure
$3x^2+4y^2=12$.
Analogamente l'equazione
$2x^2+4y^2-4x-4y-3=0$
si può scrivere come
$2(x^2-2x+1)-2+4(y^2-y+1/4)-1-3=0$
o anche
$2(x-1)^2+4(y-1/2)^2-6=0$
e cioè
$(x-1)^2/3+(y-1/2)^2/(3/2)=1$
Quindi
$a^2=3$,
$b^2=3/2$.
L'equazione riferita ai suoi assi è
$x^2/3+y^2/(3/2)=1$
oppure
$x^2+2y^2=6$.
Come vedi, questa strategia utilizza soltanto il fatto che, come da un'equazione del tipo
$(x-gamma)^2/a^2+(y-beta)^2/b^2=1$
si può passare a
$b^2x^2+a^2y^2-2b^2gammax-2a^2betay+b^2gamma^2+a^2beta^2-a^2b^2=0$,
così, invertendo i passaggi, si può fare viceversa.
In questo modo si riescono a identificare facilmente $a^2$ e $b^2$.
Noti questi, si può scrivere immmediatamente l'equazione canonica dell'ellisse, riferita ai suoi assi
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$.
E' evidente che questo metodo è del tutto generale; ma naturalmente, se ti senti più padrone di altre tecniche risolutive, fai benissimo a usare quelle.
$3x^2+4y^2+30x+63=0$
si poteva scrivere come
$3(x+5)^2-75+4(y+0)^2+63=0$
oppure
$3(x+5)^2+4(y+0)^2-12=0$
o anche
$(x+5)^2/4+(y-0)^2/3=1$.
Quindi
l'ellisse aveva
$a^2=4$,
$b^2=3$.
L'equazione riferita ai suoi assi era
$x^2/4+y^2/3=1$
oppure
$3x^2+4y^2=12$.
Analogamente l'equazione
$2x^2+4y^2-4x-4y-3=0$
si può scrivere come
$2(x^2-2x+1)-2+4(y^2-y+1/4)-1-3=0$
o anche
$2(x-1)^2+4(y-1/2)^2-6=0$
e cioè
$(x-1)^2/3+(y-1/2)^2/(3/2)=1$
Quindi
$a^2=3$,
$b^2=3/2$.
L'equazione riferita ai suoi assi è
$x^2/3+y^2/(3/2)=1$
oppure
$x^2+2y^2=6$.
Come vedi, questa strategia utilizza soltanto il fatto che, come da un'equazione del tipo
$(x-gamma)^2/a^2+(y-beta)^2/b^2=1$
si può passare a
$b^2x^2+a^2y^2-2b^2gammax-2a^2betay+b^2gamma^2+a^2beta^2-a^2b^2=0$,
così, invertendo i passaggi, si può fare viceversa.
In questo modo si riescono a identificare facilmente $a^2$ e $b^2$.
Noti questi, si può scrivere immmediatamente l'equazione canonica dell'ellisse, riferita ai suoi assi
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$.
E' evidente che questo metodo è del tutto generale; ma naturalmente, se ti senti più padrone di altre tecniche risolutive, fai benissimo a usare quelle.
Adesso mi chiedo, vedendo una equazione dell'ellisse traslata tipo:
$2x^2+4y^2-4x-4y-3=0$
A colpo d'occhio, ciò che rappresenta la traslazione è $-4x-4y $, vero?
$2x^2+4y^2-4x-4y-3=0$
A colpo d'occhio, ciò che rappresenta la traslazione è $-4x-4y $, vero?
Se ho l'equazione dell'ellisse scritta in questo modo:
$ 4X^2+3Y^2=48 $
Come faccio a determinare il valore di $ a^2^^b^2 $
Se faccio l'operazione inversa in questo modo:
$ (4X^2+3Y^2)/48=1 $
Poi faccio $ 48/4=12 $ che è $ a^2 $
Poi faccio $ 48/3=16 $ che è $ b^2 $
Va bene così?
Poi non sto capendo una cosa, se voglio determinare il valore di $ c^2 $ in questa equazione, io faccio in questo modo:
$ c^2=a^2-b^2 $
$ c^2=12-16 $
Questo mi porta ad avere un valore di $ c^2=-4 $ , e come può essere un quadrato $ =-4 $
$ 4X^2+3Y^2=48 $
Come faccio a determinare il valore di $ a^2^^b^2 $
Se faccio l'operazione inversa in questo modo:
$ (4X^2+3Y^2)/48=1 $
Poi faccio $ 48/4=12 $ che è $ a^2 $
Poi faccio $ 48/3=16 $ che è $ b^2 $
Va bene così?
Poi non sto capendo una cosa, se voglio determinare il valore di $ c^2 $ in questa equazione, io faccio in questo modo:
$ c^2=a^2-b^2 $
$ c^2=12-16 $
Questo mi porta ad avere un valore di $ c^2=-4 $ , e come può essere un quadrato $ =-4 $
Se $b^2>a^2$, allora i fuochi stanno sull'asse $y$ e la somma delle distanze dei punti dell'ellisse dai fuochi è $2b$. In questo caso si pone $a^2=b^2-c^2$, per cui $c^2=b^2-a^2=16-12=4$.
I tuoi calcoli vanno bene, ma mi sembra più spontaneo scriverli come
$(4X^2)/48+(3Y^2)/48=1$
e poi semplificare le singole frazioni. In questo caso non restano coefficienti a numeratore, ma supponiamo che, in un altro problema, tu abbia ottenuto
$(2x^2)/9+(3y^2)/4=1$
Per togliere quei coefficienti divido numeratore e denominatore delle frazioni per uno stesso numero: 2 per la prima frazione e 3 per la seconda. Ottengo
$x^2/(9/2)+y^2/(4/3)=1$
e quindi $a^2=9/2$ e $b^2=4/3$. In questo caso ho $a^2>b^2$, quindi i fuochi sono sull'asse x.
$(4X^2)/48+(3Y^2)/48=1$
e poi semplificare le singole frazioni. In questo caso non restano coefficienti a numeratore, ma supponiamo che, in un altro problema, tu abbia ottenuto
$(2x^2)/9+(3y^2)/4=1$
Per togliere quei coefficienti divido numeratore e denominatore delle frazioni per uno stesso numero: 2 per la prima frazione e 3 per la seconda. Ottengo
$x^2/(9/2)+y^2/(4/3)=1$
e quindi $a^2=9/2$ e $b^2=4/3$. In questo caso ho $a^2>b^2$, quindi i fuochi sono sull'asse x.
Domanda 6
Se mi viene chiesto, di riconoscere se le seguenti quazione rappresenta un'ellissi, come faccio a decifrare....
$ x^2+2y^2-x-y+24=0 $
Se faccio tutti i calcoli, arrivo a:
$ 4X^2+8Y^2+99=0 $
Ho provato con geogebra ed ho visto che non si tratta di un ellissi, il testo mi dice che non è un ellisse, ma non sto capendo cosa è che ti fa capire che quella equazione non è una ellisse!
Se mi viene chiesto, di riconoscere se le seguenti quazione rappresenta un'ellissi, come faccio a decifrare....
$ x^2+2y^2-x-y+24=0 $
Se faccio tutti i calcoli, arrivo a:
$ 4X^2+8Y^2+99=0 $
Ho provato con geogebra ed ho visto che non si tratta di un ellissi, il testo mi dice che non è un ellisse, ma non sto capendo cosa è che ti fa capire che quella equazione non è una ellisse!
Io risolverei così .....
L'equazione
$ x^2+2y^2-x-y+24=0 $
si può scrivere come
$(x^2 -x +1/4) -1/4 +2(y^2-1/2y+1/16) -1/8+24=0$
oppure
$(x-1/2)^2 -1/4+2(y-1/4)^2-1/8+24=0$
e quindi
$(x-1/2)^2 +2(y-1/4)^2+189/8=0$.
A primo membro c'è la somma di due grandezze $>=0$ ($(x-1/2)^2 +2(y-1/4)^2$) con un numero $>0$ ($189/8$). Quindi c'è un numero sicuramente $>0$ e quindi non può essere $=0$.
Perciò l'equazione non ha soluzioni e non può rappresentare un'ellisse.
L'equazione
$ x^2+2y^2-x-y+24=0 $
si può scrivere come
$(x^2 -x +1/4) -1/4 +2(y^2-1/2y+1/16) -1/8+24=0$
oppure
$(x-1/2)^2 -1/4+2(y-1/4)^2-1/8+24=0$
e quindi
$(x-1/2)^2 +2(y-1/4)^2+189/8=0$.
A primo membro c'è la somma di due grandezze $>=0$ ($(x-1/2)^2 +2(y-1/4)^2$) con un numero $>0$ ($189/8$). Quindi c'è un numero sicuramente $>0$ e quindi non può essere $=0$.
Perciò l'equazione non ha soluzioni e non può rappresentare un'ellisse.
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