Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
Esercizio 3
Scrivere l'equazione dell'ellisse, noti:
$ F(0,4) $ e $ b=6 $
Non sto capendo il perchè non mi viene fuori il risultato corretto.
Se voglio ricavare la $ c $ parto da $ F(0,4) $, la $ c $ si trova sull'asse $ y $, quindi so che:
$ c=4^^b=6 $
Se voglio ricavare la $ a $, parto dalla:
$ c^2=a^2-b^2 $
Quindi la $ a $ sarà:
$ a=sqrt(c^2+b^2) => sqrt(16+36) => sqrt(52) $
Restando alla $ a $ ricavata da me, mi viene fuori l'equazione dell'ellissi che è:
$ x^2/52+y^2/36=1 $
Mentre il testo mi dice che l'equazione dell'ellissi, deve essere:
$ x^2/20+y^2/36=1 $
Non sto riuscendo a capire dove sto sbagliando a calcolare la $ a $
Scrivere l'equazione dell'ellisse, noti:
$ F(0,4) $ e $ b=6 $
Non sto capendo il perchè non mi viene fuori il risultato corretto.
Se voglio ricavare la $ c $ parto da $ F(0,4) $, la $ c $ si trova sull'asse $ y $, quindi so che:
$ c=4^^b=6 $
Se voglio ricavare la $ a $, parto dalla:
$ c^2=a^2-b^2 $
Quindi la $ a $ sarà:
$ a=sqrt(c^2+b^2) => sqrt(16+36) => sqrt(52) $
Restando alla $ a $ ricavata da me, mi viene fuori l'equazione dell'ellissi che è:
$ x^2/52+y^2/36=1 $
Mentre il testo mi dice che l'equazione dell'ellissi, deve essere:
$ x^2/20+y^2/36=1 $
Non sto riuscendo a capire dove sto sbagliando a calcolare la $ a $
Se i fuochi stanno sull'asse $y$, allora è $b^2-c^2=a^2$. Quindi, nel tuo caso, $a^2=36-16=20$ e l'equazione è $x^2/20+y^2/36=1$.
"chiaraotta":
Se i fuochi stanno sull'asse $y$, allora è $b^2-c^2=a^2$. Quindi, nel tuo caso, $a^2=36-16=20$ e l'equazione è $x^2/20+y^2/36=1$.
Quindi significa che nel caso in cui i fuochi si trovano sull'asse $ y $ la $ c $ prende il valore negativo? Cioe' in questo caso e' $ -c $ ?
"Bad90":
...nel caso in cui i fuochi si trovano sull'asse $ y $ la $ c $ prende il valore negativo? Cioe' in questo caso e' $ -c $ ?
No, cosa c'entra? $2c$ è sempre la distanza fra i fuochi e quindi è una grandezza positiva. E' che l'asse maggiore in questo caso è lungo $2b$ e sta sull'asse $y$.
Hai perfettamente ragione, e' $ b^2-c^2=a^2 $ .
Adesso mi chiedo il perché se i fuochi si trovano sull'asse $ x $ la formula e' $ b^2+c^2=a^2 $ , mentre se i fuochi si trovano sull'asse $ y $ la formula diventa $ b^2-c^2=a^2 $
Cosa cambia?
Grazie mille!
Adesso mi chiedo il perché se i fuochi si trovano sull'asse $ x $ la formula e' $ b^2+c^2=a^2 $ , mentre se i fuochi si trovano sull'asse $ y $ la formula diventa $ b^2-c^2=a^2 $
Cosa cambia?
Grazie mille!
"Bad90":
[...] ma se mi trovo in altre circostanze in cui l'ellissi si trova in un quadrante senza intersecare gli assi, come faccio a determinare le coordinate del vertice
L'equazione si presenterà in forma un po' diversa, rispetto alla canonica:
L'equazione di una ellisse traslata rispetto all'origine, con centro \(O'(x_o, y_o )\) è del tipo:
\( \displaystyle \frac {(x-x_o)^2}{a^2} + \frac {(y-y_o)^2}{b^2}=1 \)
se non è data in questa forma, si utilizza il metodo di completamento dei quadrati.
"Bad90":
Adesso mi chiedo il perché se i fuochi si trovano sull'asse $ x $ la formula e' [...] Cosa cambia?
teorema di Pitagora : \(a^2=b^2+c^2 \Rightarrow c^2=a^2-b^2\)
teorema di Pitagora : \(b^2=a^2+c^2 \Rightarrow c^2=b^2-a^2\)
Quindi si basa sul teorema di pitagora! Ok!
Io invece stavo cercando di fare i calcoli ma non sto riuscendo ad arrivare alla formula voluta, starò sbagliando qualche passaggio, ecco quì:
$ sqrt(x^2+(y+c)^2)+sqrt(x^2+(y-c)^2)=2b $
$ sqrt(x^2+(y+c)^2)=2b-sqrt(x^2+(y-c)^2) $
$ x^2+(y+c)^2=4b^2-4bsqrt(x^2+(y-c)^2)+x^2+(y-c)^2 $
$ (y+c)^2=4b^2-4bsqrt(x^2+(y-c)^2)+(y-c)^2 $
$ y^2+2yc+c^2=4b^2-4bsqrt(x^2+(y-c)^2)+y^2-2yc+c^2 $
$ 4yc-4b^2=-4bsqrt(x^2+(y-c)^2) $
$ yc-b^2=-bsqrt(x^2+(y-c)^2) $
$ (yc-b^2)^2=(-bsqrt(x^2+(y-c)^2))^2 $
$ y^2c^2-2b^2yc+b^4=b^2(x^2+(y-c)^2) $
$ y^2c^2-2b^2yc+b^4=b^2(x^2+y^2-2yc+c^2) $
$ y^2c^2-2b^2yc+b^4=b^2x^2+b^2y^2-2b^2yc+b^2c^2 $
$ y^2c^2+b^4=b^2x^2+b^2y^2+b^2c^2 $
E adesso come devo continuare In sostanza, adesso, cosa devo cercare
Come faccio ad arrivare a $ b^2-c^2=a^2 $
Io invece stavo cercando di fare i calcoli ma non sto riuscendo ad arrivare alla formula voluta, starò sbagliando qualche passaggio, ecco quì:
$ sqrt(x^2+(y+c)^2)+sqrt(x^2+(y-c)^2)=2b $
$ sqrt(x^2+(y+c)^2)=2b-sqrt(x^2+(y-c)^2) $
$ x^2+(y+c)^2=4b^2-4bsqrt(x^2+(y-c)^2)+x^2+(y-c)^2 $
$ (y+c)^2=4b^2-4bsqrt(x^2+(y-c)^2)+(y-c)^2 $
$ y^2+2yc+c^2=4b^2-4bsqrt(x^2+(y-c)^2)+y^2-2yc+c^2 $
$ 4yc-4b^2=-4bsqrt(x^2+(y-c)^2) $
$ yc-b^2=-bsqrt(x^2+(y-c)^2) $
$ (yc-b^2)^2=(-bsqrt(x^2+(y-c)^2))^2 $
$ y^2c^2-2b^2yc+b^4=b^2(x^2+(y-c)^2) $
$ y^2c^2-2b^2yc+b^4=b^2(x^2+y^2-2yc+c^2) $
$ y^2c^2-2b^2yc+b^4=b^2x^2+b^2y^2-2b^2yc+b^2c^2 $
$ y^2c^2+b^4=b^2x^2+b^2y^2+b^2c^2 $
E adesso come devo continuare
In sostanza, adesso, cosa devo cercare Come faccio ad arrivare a $ b^2-c^2=a^2 $
$ y^2c^2+b^4=b^2x^2+b^2y^2+b^2c^2 $
$b^4-b^2c^2 =b^2x^2+y^2(b^2-c^2)$
$b^2(b^2-c^2)=b^2x^2+y^2(b^2-c^2)$
Poiché nel triangolo $PFF'$ la somma dei due lati $PF$ e $PF'$ è maggiore del terzo $FF'$, e inoltre $PF+PF'=2b$ mentre $FF'=2c$, allora $2b>2c->b>c->b^2>c^2->b^2-c^2>0$.
Quindi la grandezza $b^2-c^2$ che è $>0$ può essere posta uguale a $a^2$.
Di conseguenza l'equazione
$b^2(b^2-c^2)=b^2x^2+y^2(b^2-c^2)$
può essere riscritta come
$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$
o anche (dividendola per $a^2b^2$)
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$,
dove $a^2=b^2-c^2$.
$b^4-b^2c^2 =b^2x^2+y^2(b^2-c^2)$
$b^2(b^2-c^2)=b^2x^2+y^2(b^2-c^2)$
Poiché nel triangolo $PFF'$ la somma dei due lati $PF$ e $PF'$ è maggiore del terzo $FF'$, e inoltre $PF+PF'=2b$ mentre $FF'=2c$, allora $2b>2c->b>c->b^2>c^2->b^2-c^2>0$.
Quindi la grandezza $b^2-c^2$ che è $>0$ può essere posta uguale a $a^2$.
Di conseguenza l'equazione
$b^2(b^2-c^2)=b^2x^2+y^2(b^2-c^2)$
può essere riscritta come
$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$
o anche (dividendola per $a^2b^2$)
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$,
dove $a^2=b^2-c^2$.
Grazie mille chiaraotta! 
Quindi si può confermare che con il teorema di pitagora, ci si sbriga prima a dimostrare lo stesso concetto?
Quindi si può confermare che con il teorema di pitagora, ci si sbriga prima a dimostrare lo stesso concetto?
Esercizio 4
Determinare l'equazione dell'ellissi, con i fuochi sull'asse $ x $ , noti:
$ b=2^^e=sqrt(3)/3 $
Allora $ b=2 $ , mentre $ c=sqrt(3) $ e $ a=3 $ , giusto
Ma ci deve essere qualche errore che sto commettendo, perchè se questi sono le condizioni note, avrò:
$ x^2/9+y^2/4=1 $
Vedendo il risultato errato della mia equazione con quella corretta del libro, ho pensato che la $ a=sqrt(3) $ , perchè:
$ e=sqrt(3)/3 $
Allora:
$ e=1/sqrt(3)$
E quindi dovrebbe essere:
$ x^2/3+y^2/4=1 $
Ma questa mi porta a:
$ 4x^2+3y^2=12 $
Mentre il mio testo ha come risultato $ 2x^2+3y^2=12 $
Dove sto sbagliando
HELP!
Determinare l'equazione dell'ellissi, con i fuochi sull'asse $ x $ , noti:
$ b=2^^e=sqrt(3)/3 $
Allora $ b=2 $ , mentre $ c=sqrt(3) $ e $ a=3 $ , giusto
Ma ci deve essere qualche errore che sto commettendo, perchè se questi sono le condizioni note, avrò:
$ x^2/9+y^2/4=1 $
Vedendo il risultato errato della mia equazione con quella corretta del libro, ho pensato che la $ a=sqrt(3) $ , perchè:
$ e=sqrt(3)/3 $
Allora:
$ e=1/sqrt(3)$
E quindi dovrebbe essere:
$ x^2/3+y^2/4=1 $
Ma questa mi porta a:
$ 4x^2+3y^2=12 $
Mentre il mio testo ha come risultato $ 2x^2+3y^2=12 $
Dove sto sbagliando
HELP!
Invece nell'esercizio che segue non ho avuto problemi, ecco cosa ho fatto.....
Esercizio 5
Determinare l'equazione dell'ellisse, con fuochi sull'asse $ x $ , noti:
$ c=6 $ e $ e=3/5 $
Risoluzione
Se $ e=c/a $ e $ c=6 $, allora sarà:
$ e=(3*2)/(5*2) $
Quindi la $ a=10 $, quindi la $b^2=a^2-c^2 $, quindi $b=sqrt(100-36)=>sqrt(64)$
Quindi l'equazione sarà:
$ x^2/100+y^2/64=1 $
P.S. Ma come devo fare a risolvere l'esercizio 4
Esercizio 5
Determinare l'equazione dell'ellisse, con fuochi sull'asse $ x $ , noti:
$ c=6 $ e $ e=3/5 $
Risoluzione
Se $ e=c/a $ e $ c=6 $, allora sarà:
$ e=(3*2)/(5*2) $
Quindi la $ a=10 $, quindi la $b^2=a^2-c^2 $, quindi $b=sqrt(100-36)=>sqrt(64)$
Quindi l'equazione sarà:
$ x^2/100+y^2/64=1 $
P.S. Ma come devo fare a risolvere l'esercizio 4
"Bad90":
Esercizio 4
Determinare l'equazione dell'ellissi, con i fuochi sull'asse $ x $ , noti:
$ b=2^^e=sqrt(3)/3 $
Allora $ b=2 $ , mentre $ c=sqrt(3) $ e $ a=3 $ , giusto
...
No!! Non è vero che, se $c/a=sqrt(3)/3$, allora $c=sqrt(3)$ e $a=3$.
Invece devi risolvere il sistema
${(b=2), (c/a=1/sqrt(3)), (a^2=b^2+c^2):}->{(b=2), (c=a/sqrt(3)), (a^2=2^2+c^2):}->$
${(b=2), (c^2=a^2/3), (a^2=4+1/3a^2):}->2/3a^2=4->a^2=6$.
Per cui l'equazione è
$x^2/6+y^2/4=1$
oppure
$2x^2+3y^2=12$.
E tu come hai fatto a dedurre che $ c/a=1/sqrt(3) $
Io se no avessi visto il risultato finale del testo, non avrei mai dedotto che fosse $ c/a=1/sqrt(3) $
Come hai fatto
Ho pensato a questi passaggi:
$ c/a=sqrt(3)/3 => (sqrt(3)a)/3 =>(sqrt(3)a*sqrt(3))/(3*sqrt(3)) =>(a*3)/(3*sqrt(3)) $
$ c=(a)/(sqrt(3)) $
Ma questo mi è venuto in mente, perchè ho visto che tu hai scritto $ c/a=1/sqrt(3) $, altrimenti non ci sarei arrivato, perchè avrei dato per scontato che un radicale al denominatore, non ci sarebbe dovuto essere!
Certo che se avessi pensato che avrei dovuto risolvere il sistema, per ricavare $ c $ allora si, ci sarei arrivato!
P.S Non immaginavo proprio che bisognava impostare un sistema!
Grazie mille!
Io se no avessi visto il risultato finale del testo, non avrei mai dedotto che fosse $ c/a=1/sqrt(3) $
Come hai fatto
Ho pensato a questi passaggi:
$ c/a=sqrt(3)/3 => (sqrt(3)a)/3 =>(sqrt(3)a*sqrt(3))/(3*sqrt(3)) =>(a*3)/(3*sqrt(3)) $
$ c=(a)/(sqrt(3)) $
Ma questo mi è venuto in mente, perchè ho visto che tu hai scritto $ c/a=1/sqrt(3) $, altrimenti non ci sarei arrivato, perchè avrei dato per scontato che un radicale al denominatore, non ci sarebbe dovuto essere!
Certo che se avessi pensato che avrei dovuto risolvere il sistema, per ricavare $ c $ allora si, ci sarei arrivato!
P.S Non immaginavo proprio che bisognava impostare un sistema!
Grazie mille!
$c/a=sqrt(3)/3=sqrt(3)/(sqrt(3)*sqrt(3))=1/sqrt(3)$
"chiaraotta":
$c/a=sqrt(3)/3=sqrt(3)/(sqrt(3)*sqrt(3))=1/sqrt(3)$
Ok! Ma penso sia lo stesso fare così?
$c/a=sqrt(3)/3=(sqrt(3)*sqrt(3))/(3*sqrt(3))=(3)/(3*sqrt(3))=1/sqrt(3)$
Giusto?
Esercizio 6
Scrivere l'equazione dell'ellissi che ha come assi di simmetria gli assi cartesiani e passa per i punti:
$ C(1/2,2)^^D(3,2/3) $
Scrivere l'equazione dell'ellissi che ha come assi di simmetria gli assi cartesiani e passa per i punti:
$ C(1/2,2)^^D(3,2/3) $
Se sostituisci nell'equazione canonica dell'ellisse le coordinate dei due punti, hai un sistema di due equazioni nelle due incognite $1/a^2$ e $1/b^2$.
"chiaraotta":
Se sostituisci nell'equazione canonica dell'ellisse le coordinate dei due punti, hai un sistema di due equazioni nelle due incognite $1/a^2$ e $1/b^2$.
Allora, ci sono riuscito!
Ecco quì..... $ 1/a^2=f $ mentre $ 1/b^2=g $
$ { ( 1/4f+4g=1 ),( 9f+4/9g=1 ):} => { ( f+16g=4 ),( 81f+4g=9 ):} => { ( f=32/323 ),( g=315/1292 ):} $
Sapendo che $ 1/a^2=f=>32/323 $ mentre $ 1/b^2=g=>315/1292 $, l'equazione dell'ellissi sarà:
$ (32x^2)/323+(315y^2)/1292=1 $
$ 128x^2+315y^2=1292 $
Esercizio 7
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che ha uno dei fuochi nel punto $ F(1,0) $ e passa per il punto
$ P(1,sqrt(2)/2) $ .
Ho pensato di impostare il seguente sistema:
$ { ( 1/a^2+1/(2b^2)=1 ),( a^2+b^2=1 ):} $
Ma non sono sicuro, perchè non sto riuscendo a risolverlo!
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che ha uno dei fuochi nel punto $ F(1,0) $ e passa per il punto
$ P(1,sqrt(2)/2) $ .
Ho pensato di impostare il seguente sistema:
$ { ( 1/a^2+1/(2b^2)=1 ),( a^2+b^2=1 ):} $
Ma non sono sicuro, perchè non sto riuscendo a risolverlo!
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