Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
"Bad90":
Esercizio 7
.....
Se un fuoco è in $(1, 0)$, allora $c=1$.
Ma $b^2=a^2-c^2$, da cui $a^2-b^2=c^2=1$.....
Scusa ho sbagliato a digitare, ma volevo giustamente scrivere:
$ { ( 1/a^2+1/(2b^2)=1 ),( a^2-b^2=1 ):} $
Adesso mi conviene continuare così?
$ { ( 1/a^2+1/(2b^2)=1 ),( a^2=b^2+1 ):} => { ( 2b^2+a^2=2a^2b^2 ),( a^2=b^2+1 ):} $
$ { ( 2b^2+b^2+1=2b^2(b^2+1) ),( a^2=b^2+1 ):} => { ( 3b^2+1=2b^2(b^2+1) ),( a^2=b^2+1 ):} $
Ma poi nella prima equazione, al secondo membro, mi viene fuori una equazione di quarto grado!
Come mi conviene continuare?
$ { ( 1/a^2+1/(2b^2)=1 ),( a^2-b^2=1 ):} $
Adesso mi conviene continuare così?
$ { ( 1/a^2+1/(2b^2)=1 ),( a^2=b^2+1 ):} => { ( 2b^2+a^2=2a^2b^2 ),( a^2=b^2+1 ):} $
$ { ( 2b^2+b^2+1=2b^2(b^2+1) ),( a^2=b^2+1 ):} => { ( 3b^2+1=2b^2(b^2+1) ),( a^2=b^2+1 ):} $
Ma poi nella prima equazione, al secondo membro, mi viene fuori una equazione di quarto grado!
Come mi conviene continuare?
$ { ( 3b^2+1=2b^2(b^2+1) ),( a^2=b^2+1 ):} ->{(2b^4-b^2-1=0), ( a^2=b^2+1):}->$
${((2b^2+1)(b^2-1)=0), ( a^2=b^2+1):}->{(2b^2+1=0), (a^2=b^2+1):} vv {(b^2-1=0), (a^2=b^2+1):}->$
${(b^2=-1/2 text( impossibile)), (a^2=b^2+1):} vv {(b^2=1), (a^2=2):}$.
${((2b^2+1)(b^2-1)=0), ( a^2=b^2+1):}->{(2b^2+1=0), (a^2=b^2+1):} vv {(b^2-1=0), (a^2=b^2+1):}->$
${(b^2=-1/2 text( impossibile)), (a^2=b^2+1):} vv {(b^2=1), (a^2=2):}$.
"chiaraotta":
$ { ( 3b^2+1=2b^2(b^2+1) ),( a^2=b^2+1 ):} ->{(2b^4-b^2-1=0), ( a^2=b^2+1):}->$
${((2b^2+1)(b^2-1)=0), ( a^2=b^2+1):}->{(2b^2+1=0), (a^2=b^2+1):} vv {(b^2-1=0), (a^2=b^2+1):}->$
${(b^2=-1/2 text( impossibile)), (a^2=b^2+1):} vv {(b^2=1), (a^2=2):}$.
Ho fatto un "cita", perché si sovrapponevano le formule!
Non mi veniva in mente il prodotto dei polinomi in questa:
$ 2b^4-b^2-1=0 $
Ho utilizzato la formula delle equazioni di secondo grado che mi hai consigliato qualche giorno fa, ed e' andato tutto apposto.
$ b^2_1,_2=(1+-3)/4 $
Esercizio 8
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
Passa per $ A(3,1) $ , ha eccentricità $ e=(2sqrt(2))/3 $ e l'asse maggiore sull'asse $ x $
Non sto riuscendo a risolverlo, mi è però, venuto in mente di fare in questo modo:
Sapendo che $ e=(2sqrt(2))/3 $, allora $ c=2sqrt(2) $ e $ a=3 $, quindi se $ a^2=b^2+c^2 $ , avrò $ b^2=1 $.
E' simile all' Esercizio guidato 2, basta impostare il sistema:
$ { ( sqrt(a^2-b^2)/a = (2sqrt(2))/3 ),( 9/a^2+1/b^2=1 ):} $
Senza replicare tutti i passaggi, sono arrivato alla conclusione corretta, ma ho un dubbio....
$ { ( a^2=9b^2),( b^4-2b^2=0 ):} $
Se dalla seconda equazione del sistema $ b^4-2b^2=0 $ ottengo $ b^2(b^2-2)=0 $ quindi:
$ b^2=0^^b^2=2 $
So perfettamente che $ b^2=2 $ mi porta alla soluzione voluta, $ x^2+9y^2=18 $ , ma per quanto riguarda $ b^2=0 $, posso dire che non è soluzione perchè $ b^2=0 $ annullerebbe l'equazione?
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
Passa per $ A(3,1) $ , ha eccentricità $ e=(2sqrt(2))/3 $ e l'asse maggiore sull'asse $ x $
Non sto riuscendo a risolverlo, mi è però, venuto in mente di fare in questo modo:
Sapendo che $ e=(2sqrt(2))/3 $, allora $ c=2sqrt(2) $ e $ a=3 $, quindi se $ a^2=b^2+c^2 $ , avrò $ b^2=1 $.
E' simile all' Esercizio guidato 2, basta impostare il sistema:
$ { ( sqrt(a^2-b^2)/a = (2sqrt(2))/3 ),( 9/a^2+1/b^2=1 ):} $
Senza replicare tutti i passaggi, sono arrivato alla conclusione corretta, ma ho un dubbio....
$ { ( a^2=9b^2),( b^4-2b^2=0 ):} $
Se dalla seconda equazione del sistema $ b^4-2b^2=0 $ ottengo $ b^2(b^2-2)=0 $ quindi:
$ b^2=0^^b^2=2 $
So perfettamente che $ b^2=2 $ mi porta alla soluzione voluta, $ x^2+9y^2=18 $ , ma per quanto riguarda $ b^2=0 $, posso dire che non è soluzione perchè $ b^2=0 $ annullerebbe l'equazione?
"Bad90":
Esercizio 8
....
Sapendo che $ e=(2sqrt(2))/3 $, allora $ c=2sqrt(2) $ e $ a=3 $
....
Non è vero che, se $c/a=(2sqrt(2))/3$, debba necessariamente essere $c=2sqrt(2)$ e $a=3$.
"Bad90":
.... per quanto riguarda $ b^2=0 $, posso dire che non è soluzione perchè $ b^2=0 $ annullerebbe l'equazione?
Se $b^2$ fosse $0$, si annullerebbe un denominatore, il che è impossibile.
"chiaraotta":
Non è vero che, se $c/a=(2sqrt(2))/3$, debba necessariamente essere $c=2sqrt(2)$ e $a=3$.
Perchè non necessariamente deve essere ..................
Esercizio 9
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
Interseca la retta $ x+y-3=0 $ nei suoi punti di ascissa $ 1^^3 $
Per determinare i punti appartenenti all'ellissi, ho messo a sistema retta e ascissa:
$ { ( x+y-3=0 ),( x=1 ):}^^{ ( x+y-3=0 ),( x=3 ):} $
Da questi due sistemi ho ricavato i punti appartenenti all'ellissi, $ A(1,2)^^B(3,0) $.
Adesso posso impostare il sistema imponendo all'ellissi il passaggio per i due punti nelle incognite $ 1/a^2^^1/b^2 $ per determinare l'equazione finale!
Iniziando con il sistema:
$ { ( u+4v=1 ),( 9u=1 ):}$
Si arriva a:
$ x^2+2y^2=9 $
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
Interseca la retta $ x+y-3=0 $ nei suoi punti di ascissa $ 1^^3 $
Per determinare i punti appartenenti all'ellissi, ho messo a sistema retta e ascissa:
$ { ( x+y-3=0 ),( x=1 ):}^^{ ( x+y-3=0 ),( x=3 ):} $
Da questi due sistemi ho ricavato i punti appartenenti all'ellissi, $ A(1,2)^^B(3,0) $.
Adesso posso impostare il sistema imponendo all'ellissi il passaggio per i due punti nelle incognite $ 1/a^2^^1/b^2 $ per determinare l'equazione finale!
Iniziando con il sistema:
$ { ( u+4v=1 ),( 9u=1 ):}$
Si arriva a:
$ x^2+2y^2=9 $
"Bad90":
[quote="chiaraotta"]
Non è vero che, se $c/a=(2sqrt(2))/3$, debba necessariamente essere $c=2sqrt(2)$ e $a=3$.
Perchè non necessariamente deve essere ..................
[/quote]Ci sono infinite coppie di numeri $(c, a)$ il cui rapporto è $(2sqrt(2))/3$.
Per dirne una $c=4$ e $a=3sqrt(2)$, che è il risultato dell'esercizio....
"Bad90":
Esercizio 9
....
Se ti sei accorto che l'ellisse passa per $(3, 0)$, puoi dire subito che $a=3$ ....
"chiaraotta":
Ci sono infinite coppie di numeri $(c, a)$ il cui rapporto è $(2sqrt(2))/3$.
Per dirne una $c=4$ e $a=3sqrt(2)$, che è il risultato dell'esercizio....
Hai pienamente ragione, ma restando nel contesto dell'esercizio, dove ho sbagliato?
Avrei dovuto dire che $ c/a=(2sqrt(2))/3 $ , ma non necessariamente deve essere $ c/a=(2sqrt(2))/3 $
Ti ringrazio!
Esercizio 10
Scrivere l'equazione dell'ellissi, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
La somma dei suoi semiassi è $ 8 $ e la semidistanza focale è $ 4 $.
Il problema è che non sto capendo in modo chiaro il significato della traccia....
Sul mio testo, sono riuscito a trovare che il semiasse maggiore si chiama $ a $ ed il semiasse minore si chiama $ b $, ma come mai vengono chiamati $ a^^b $ Così mi creano confusione perchè, es. quando faccio i calcoli per determinare $ a^2^^b^2^^c^2 $ , anche quì vengono chiamati nello stesso modo, e quindi io, conoscendo $ c^2 $ , che è il fuoco, pensavo che le lettere $ a^^b $, si riferissero solo in quei casi..., non immaginavo che centrasse con i semiassi che vengono chiamati $ a^^b $ !
Quando dice la somma dei suoi semiassi, si riferisce all'asse maggiore più l'asse minore?
Se non erro, ho $ c=4 $ mentre $ b $ devo ricavarlo dalla somma dei semiassi, giusto?
Quindi devo impostare la seguente equazione, $ a+b=8 $, allora, $ b=8-a => b^2=8-a =>b=(8-a)^2 $
Segue
$ a^2=(8-a)^2+16 $
$ a^2=64-16a+a^2+16 =>64-16a+16=0 => -16a+80=0 => a=5 $
Dove $ a^2=25^^b^2=9 $
$ x^2/25+y^2/9=1 $
Scrivere l'equazione dell'ellissi, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
La somma dei suoi semiassi è $ 8 $ e la semidistanza focale è $ 4 $.
Il problema è che non sto capendo in modo chiaro il significato della traccia....
Sul mio testo, sono riuscito a trovare che il semiasse maggiore si chiama $ a $ ed il semiasse minore si chiama $ b $, ma come mai vengono chiamati $ a^^b $
Così mi creano confusione perchè, es. quando faccio i calcoli per determinare $ a^2^^b^2^^c^2 $ , anche quì vengono chiamati nello stesso modo, e quindi io, conoscendo $ c^2 $ , che è il fuoco, pensavo che le lettere $ a^^b $, si riferissero solo in quei casi..., non immaginavo che centrasse con i semiassi che vengono chiamati $ a^^b $ ! Quando dice la somma dei suoi semiassi, si riferisce all'asse maggiore più l'asse minore?
Se non erro, ho $ c=4 $ mentre $ b $ devo ricavarlo dalla somma dei semiassi, giusto?
Quindi devo impostare la seguente equazione, $ a+b=8 $, allora, $ b=8-a => b^2=8-a =>b=(8-a)^2 $
Segue
$ a^2=(8-a)^2+16 $
$ a^2=64-16a+a^2+16 =>64-16a+16=0 => -16a+80=0 => a=5 $
Dove $ a^2=25^^b^2=9 $
$ x^2/25+y^2/9=1 $
Esercizio 11
Scrivere l'equazione del luogo dei punti di un piano per i quali la somma delle distanze dai punti $ F(6,0) $ , $ F'(-6,0) $ vale $ 18 $ .
Non sto capendo cosa chiede la traccia!
Insomma, so benissimo la definizione dell'ellissi che è il luogo geometrico dei punti .................
Penso che centra questa
$ bar(PF')+bar(PF)=2a => bar(PF')+bar(PF)=18 $
Quindi $ 2a=18=>a=9=>a^2=81 $
Ecco
, la conclusione è che sapendo $ c^2=36 $ quindi $ b^2=45 $, perciò l'equazione del luogo dei punti è:
$ x^2/81+y^2/45=1 $
Scrivere l'equazione del luogo dei punti di un piano per i quali la somma delle distanze dai punti $ F(6,0) $ , $ F'(-6,0) $ vale $ 18 $ .
Non sto capendo cosa chiede la traccia!
Insomma, so benissimo la definizione dell'ellissi che è il luogo geometrico dei punti .................
Penso che centra questa
$ bar(PF')+bar(PF)=2a => bar(PF')+bar(PF)=18 $
Quindi $ 2a=18=>a=9=>a^2=81 $
Ecco
, la conclusione è che sapendo $ c^2=36 $ quindi $ b^2=45 $, perciò l'equazione del luogo dei punti è: $ x^2/81+y^2/45=1 $
Esercizio 12
Scrivere l'equazione dell'ellissi, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
Ha l'asse focale sull'asse $ y $ di misura $ 10 $ e passa per $ P(1,5/2sqrt(3)) $ .
Sto trovando problemi, ma sono sicuro che è dovuto a passaggi algebrici che sto sbagliando, solo che faccio e rifaccio e mi perdo in un bicchier d'acqua.
Sapendo che $ b^2-a^2=25 $ e che l'equazione passante per il punto $ P(1,5/2sqrt(3)) $ è $ 1/a^2+(5sqrt(3))/2b^2=1 $ , devo impostare il seguente sistema!
$ { ( 1/a^2+(5sqrt(3))^2/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} =>{ ( 1/a^2+75/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} $
$ { (4b^2+75a^2=4a^2b^2 ),( b^2-a^2=25 ):} => { (4b^2+75a^2=4a^2b^2 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4a^4+21a^2-100=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
HELP!
Non sto proprio riuscendo, sto cercando di risolvere l'equazione di secondo grado ma ho quella radice che mi sta dannando....](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
$ a^2=(-21+-sqrt(2041))/8 $
P.S. Non sto riuscendo!
Scrivere l'equazione dell'ellissi, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
Ha l'asse focale sull'asse $ y $ di misura $ 10 $ e passa per $ P(1,5/2sqrt(3)) $ .
Sto trovando problemi, ma sono sicuro che è dovuto a passaggi algebrici che sto sbagliando, solo che faccio e rifaccio e mi perdo in un bicchier d'acqua.
Sapendo che $ b^2-a^2=25 $ e che l'equazione passante per il punto $ P(1,5/2sqrt(3)) $ è $ 1/a^2+(5sqrt(3))/2b^2=1 $ , devo impostare il seguente sistema!
$ { ( 1/a^2+(5sqrt(3))^2/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} =>{ ( 1/a^2+75/(4b^2)=1 ),( b^2-a^2=25 ):} $
$ { (4b^2+75a^2=4a^2b^2 ),( b^2-a^2=25 ):} => { (4b^2+75a^2=4a^2b^2 ),( b^2=a^2+25 ):} $
$ { (4a^4+21a^2-100=0 ),( b^2=a^2+25 ):} $
HELP!
Non sto proprio riuscendo, sto cercando di risolvere l'equazione di secondo grado ma ho quella radice che mi sta dannando....
$ a^2=(-21+-sqrt(2041))/8 $
P.S. Non sto riuscendo!
Esercizio 13
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
La somma dei suoi semiassi è $ 6 $ e la somma dei loro reciproci è $ 3/4 $ .
Ho provato ad impostare il sistema ma anche in questo esercizio sto avendo prolemi, questi due esercizi mi stanno bloccando.
$ { ( a+b=6 ),( 1/a+1/b=3/4 ):} $
HELP
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
La somma dei suoi semiassi è $ 6 $ e la somma dei loro reciproci è $ 3/4 $ .
Ho provato ad impostare il sistema ma anche in questo esercizio sto avendo prolemi, questi due esercizi mi stanno bloccando.
$ { ( a+b=6 ),( 1/a+1/b=3/4 ):} $
HELP
"Bad90":
Esercizio 13
Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita ai propri assi, che soddisfa le condizioni indicate.
La somma dei suoi semiassi è $ 6 $ e la somma dei loro reciproci è $ 3/4 $ .
Ho provato ad impostare il sistema ma anche in questo esercizio sto avendo prolemi, questi due esercizi mi stanno bloccando.
$ { ( a+b=6 ),( 1/a+1/b=3/4 ):} $
HELP
$ { ( a+b=6 ),( 1/a+1/b=3/4 ):} <=> { ( a+b=6 ),( (a+b)/(ab)=3/4 ):} <=> { (a+b=6) ,( a+b=3/4*(ab)):} ^^ ab!=0=>a!=b!=0$ sai continuare ora?
Fin la ci sono arrivato, ma poi mi sono bloccato!
Comunque rifacendo tutti i calcoli, grazie al tuo consiglio, ci sono riuscito, stavo sbagliando un passaggio! Ho fatto così:
$ { (a=6-b) ,( 3b^2-18b+24=0):} $
$ 3b^2-18b+24=0 $ con le soluzioni $ b_1=4^^b_2=2 $ , segue:
$ x^2/4+y^2/16=1 $
Ti ringrazio!
Comunque rifacendo tutti i calcoli, grazie al tuo consiglio, ci sono riuscito, stavo sbagliando un passaggio! Ho fatto così:
$ { (a=6-b) ,( 3b^2-18b+24=0):} $
$ 3b^2-18b+24=0 $ con le soluzioni $ b_1=4^^b_2=2 $ , segue:
$ x^2/4+y^2/16=1 $
Ti ringrazio!
L' Esercizio 12 mi sta dannando, ancora non sono riuscito a risolverlo!
Nell'esercizio 12 hai sbagliato il calcolo dal penultimo all'ultimo sistema: viene $4a^4+96a^2-100=0$. Rifallo con calma.
Per l'esercizio 8 vedo che le spiegazioni che hai ricevuto non hanno chiarito i tuoi dubbi; provo a farlo io. Sai che $c/a=(2sqrt2)/3$: questo risultato potrebbe essere stato ottenuto semplificando sia $c$ che $a$ per uno stesso numero $k$ (anche frazionario o irrazionale) e quindi puoi solo dire che $c=2sqrt2 k$ e $a=3k$, da cui deduci $b=sqrt((3k)^2-(2sqrt2 k)^2)=k$. Estraendo la radice non ho messo il valore assoluto perché $k$ è positivo in quanto $c$ ed $a$ lo sono. Ovviamente $k$ è un'incognita e occorre calcolarla con gli altri dati dell'esercizio; questo metodo può essere usato in alternativa a quello dell'esercizio 2, di cui hai seguito la falsariga.
Per l'esercizio 8 vedo che le spiegazioni che hai ricevuto non hanno chiarito i tuoi dubbi; provo a farlo io. Sai che $c/a=(2sqrt2)/3$: questo risultato potrebbe essere stato ottenuto semplificando sia $c$ che $a$ per uno stesso numero $k$ (anche frazionario o irrazionale) e quindi puoi solo dire che $c=2sqrt2 k$ e $a=3k$, da cui deduci $b=sqrt((3k)^2-(2sqrt2 k)^2)=k$. Estraendo la radice non ho messo il valore assoluto perché $k$ è positivo in quanto $c$ ed $a$ lo sono. Ovviamente $k$ è un'incognita e occorre calcolarla con gli altri dati dell'esercizio; questo metodo può essere usato in alternativa a quello dell'esercizio 2, di cui hai seguito la falsariga.
Adesso rivedo gli errori che ho fatto! 
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
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