Derivate
Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
Risposte
Attento, Bad90: il denominatore era $xsinx$ e quindi la sua derivata non è $cosx$.
Inoltre si può spezzare in due limiti solo quando si ha la certezza che non sia una forma indeterminata e non è il tuo caso: la prima parentesi è la somma di due infiniti con lo stesso segno e quindi tende ad infinito con quel segno; per spezzare dovresti avere la certezza che la seconda non tenda a zero perché allora sarebbe $oo*0$ (per inciso, la seconda parentesi tende proprio a zero).
Devi invece fare il prodotto e poi dare denominatore comune:
$=lim_(x->0)(1/x^2-1/(sin^2x))=lim_(x->0)(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)$
Con due applicazioni della regola di De l'Hospital (lascio a te i calcoli) arrivi a
$=lim_(x->0)(cos^2x-sin^2x-1)/(sin^2x+4xsinxcosx+x^2(cos^2x-sin^2x))$
Si può continuare con la stessa regola ma diventa lungo; meglio notare che il numeratore è uguale a $-2sin^2x$, avendo usato $cos^2x=1-sin^2x$. A denominatore invece metti in evidenza $x^2$; separa il tutto in due frazioni:
$=lim_(x->0)((sin^2x)/x^2*(-2)/((sin^2x)/x^2+4(sinx)/xcosx+cos^2x-sin^2x))$
e non ti è difficile concludere.
Una persona esperta dopo la mia prima riga avrebbe continuato così:
$=lim_(x->0)(x^2/(sin^2x)*(sin^2x-x^2)/x^4)=1*lim_(x->0)(sin^2x-x^2)/x^4$
Occorrevano sempre due applicazioni della regola ed i calcoli a numeratore non cambiavano, ma quelli a denominatore erano MOLTO più facili.
In generale, quando $sinx$ è un fattore dell'intero numeratore o denominatore conviene fare questo giochetto. Ho sottolineato la parola intero, perché non è lecito farlo riferendosi solo ad un loro addendo.
Inoltre si può spezzare in due limiti solo quando si ha la certezza che non sia una forma indeterminata e non è il tuo caso: la prima parentesi è la somma di due infiniti con lo stesso segno e quindi tende ad infinito con quel segno; per spezzare dovresti avere la certezza che la seconda non tenda a zero perché allora sarebbe $oo*0$ (per inciso, la seconda parentesi tende proprio a zero).
Devi invece fare il prodotto e poi dare denominatore comune:
$=lim_(x->0)(1/x^2-1/(sin^2x))=lim_(x->0)(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)$
Con due applicazioni della regola di De l'Hospital (lascio a te i calcoli) arrivi a
$=lim_(x->0)(cos^2x-sin^2x-1)/(sin^2x+4xsinxcosx+x^2(cos^2x-sin^2x))$
Si può continuare con la stessa regola ma diventa lungo; meglio notare che il numeratore è uguale a $-2sin^2x$, avendo usato $cos^2x=1-sin^2x$. A denominatore invece metti in evidenza $x^2$; separa il tutto in due frazioni:
$=lim_(x->0)((sin^2x)/x^2*(-2)/((sin^2x)/x^2+4(sinx)/xcosx+cos^2x-sin^2x))$
e non ti è difficile concludere.
Una persona esperta dopo la mia prima riga avrebbe continuato così:
$=lim_(x->0)(x^2/(sin^2x)*(sin^2x-x^2)/x^4)=1*lim_(x->0)(sin^2x-x^2)/x^4$
Occorrevano sempre due applicazioni della regola ed i calcoli a numeratore non cambiavano, ma quelli a denominatore erano MOLTO più facili.
In generale, quando $sinx$ è un fattore dell'intero numeratore o denominatore conviene fare questo giochetto. Ho sottolineato la parola intero, perché non è lecito farlo riferendosi solo ad un loro addendo.
"giammaria":
Con due applicazioni della regola di De l'Hospital (lascio a te i calcoli) arrivi a
$=lim_(x->0)(cos^2x-sin^2x-1)/(sin^2x+4xsinxcosx+x^2(cos^2x+sin^2x))$.
Vediamo se ho fatto bene i passaggi di derivazione....
Da questa:
$lim_(x->0)(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)$
Il primo passaggio è:
$ lim_(x->0)(senx *cos^2x - 2x)/(xsen^2x + x^2 senx*cos^2x) $
Va bene la prima derivazione
Se ho fatto bene il primo passaggio di derivazione, adesso sto trovando problemi nello svolgere il secondo passaggio di derivazione, come devo fare
No. Il primo passaggio è
$lim_(x->0)(2sinxcosx-2x)/(2xsin^2x+x^2*2sinxcosx)$
Ragionamento per derivare $sin^2x$: la funzione più esterna è l'elevazione a quadrato, quindi scrivo $2sinx$ e lo moltiplico per la derivata del seno, cioè per $cosx$.
$lim_(x->0)(2sinxcosx-2x)/(2xsin^2x+x^2*2sinxcosx)$
Ragionamento per derivare $sin^2x$: la funzione più esterna è l'elevazione a quadrato, quindi scrivo $2sinx$ e lo moltiplico per la derivata del seno, cioè per $cosx$.
"giammaria":
No. Il primo passaggio è
$lim_(x->0)(2sinxcosx-2x)/(2xsin^2x+x^2*2sinxcosx)$
Continuando a derivare, io arrivo alla seguente:
$lim_(x->0)(cos^2 x - sen^x - 1)/(sin^2x+2xsenxcosx + x^2(cos^2x - sen^2x)$
Come fai ad avere al denominatore $....(cos^2x + sen^2x)$, io mi trovo che deve essere $....(cos^2x - sen^2x)$
Dove sto sbagliando?
Non stai sbagliando: l'ho fatto io nel digitare un più al posto del meno. Chiedo scusa e corro a modificare (nella riga successiva il segno è però giusto).
Non sto ricordando cone calcolare la derivata della seguente funzione:
$y = e^x + e^(-x) $
Come si calcola la sua derivata???
$y = e^x + e^(-x) $
Come si calcola la sua derivata???
$y'=e^x+e^(-x)*(-1)$.
"burm87":
$y'=e^x+e^x*(-1)$.
Ok, e adesso provo a risolvere la seguente:
$y=e^(x^2) - e^(-x^2)$
$y'=e^(2x)*(2x) - e^(2x)*(-2x)$
$y'=e^(2x)*(2x) + e^(2x)*(2x)$
No, $e^(x^2)*(2x)-e^(-x^2)*(-2x)$.
"Bad90":
Non sto ricordando cone calcolare la derivata della seguente funzione:
$y = e^x + e^(-x) $
Come si calcola la sua derivata???
"burm87":
$y'=e^x+e^x*(-1)$.
Quindi $y'=0$?
Ok! 
"Gi8":
[quote="Bad90"]Non sto ricordando cone calcolare la derivata della seguente funzione:
$y = e^x + e^(-x) $
Come si calcola la sua derivata???
"burm87":
$y'=e^x+e^x*(-1)$.
Quindi $y'=0$?[/quote]Errore di battitura.
Quindi come si sarebbe dovuto scrivere???
$ y'= e^x - e^-x $ Credo sia la derivata giusta
Non sto riuscendo a ricavare la derivata seconda della seguente funzione:
$ y= e^(-2x^2 +2x)$
La derivata prima e':
$ y'= 2(1-x)*e^(-2x^2 +2x)$
Ma quanto fa la derivata seconda?
$ y= e^(-2x^2 +2x)$
La derivata prima e':
$ y'= 2(1-x)*e^(-2x^2 +2x)$
Ma quanto fa la derivata seconda?
Mi sembra che sia
$y'= 2(1-2x)*e^(-2x^2 +2x)$
$y'= 2(1-2x)*e^(-2x^2 +2x)$
E invece quanto vale la derivata della seguente funzione?
$y = e^(-1/x^3)$
Ho pensato di fare in questo modo:
$y' = 3/x^4 *e^(-1/x^3)$
$y = e^(-1/x^3)$
Ho pensato di fare in questo modo:
$y' = 3/x^4 *e^(-1/x^3)$
Mi pare corretta.
"burm87":
Mi pare corretta.
La derivata prima della seguente funzione e' :
$ y=ln(x-1)/(x) $
$ y=(x/(x-1)-ln(x-1))/(x)^2 $
Accipicchia, ma sto trovonado difficolta' nel ricavare la derivata seconda!
Help!!!!!!!!!!!!
Come conviene fare per ricavare la derivata seconda?????
$ y=ln(x-1)/(x) $
$ y=(x/(x-1)-ln(x-1))/(x)^2 $
Accipicchia, ma sto trovonado difficolta' nel ricavare la derivata seconda!
Help!!!!!!!!!!!!
Come conviene fare per ricavare la derivata seconda?????
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