Derivate
Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
Risposte
Dovresti averla studiata: il limite di una somma è la somma dei limiti. Un esempio banalissimo:
$lim_(x->2)(x^2+3x)=lim_(x->2)x^2+lim_(x->2)3x=2^2+3*2=10$
$lim_(x->2)(x^2+3x)=lim_(x->2)x^2+lim_(x->2)3x=2^2+3*2=10$
"giammaria":
Dovresti averla studiata: il limite di una somma è la somma dei limiti. Un esempio banalissimo:
$lim_(x->2)(x^2+3x)=lim_(x->2)x^2+lim_(x->2)3x=2^2+3*2=10$
E' vero, adesso ricordo!
Pensavo che ci fosse qualcosa che stavo trascurando in merito all'ultimo argomento e volevo essere sicuro che non si trattasse di un caso simile, ma invece è proprio quella proprietà.....
Non sto riuscendo a capire gli step che fa il mio testo nel derivare la seguente funzione:
$ y = ctgln((5+senx)/(1+x^2)) $
Il testo mi fa i seguenti passaggi:
$ y = -[1+ctg^2ln((5+senx)/(1+x^2))]*(1+x^2)/(5+senx)*(cosx(1+x^2)-2x*(5+senx))/(1+x^2)^2 $
IO sinceramente non sto capendo i passaggi che ha fatto?!?!?!
Come ha fatto a trovarsi quel segno meno prima della parentesi quadra e quel $ 1+ctg^2x $
$ y = ctgln((5+senx)/(1+x^2)) $
Il testo mi fa i seguenti passaggi:
$ y = -[1+ctg^2ln((5+senx)/(1+x^2))]*(1+x^2)/(5+senx)*(cosx(1+x^2)-2x*(5+senx))/(1+x^2)^2 $
IO sinceramente non sto capendo i passaggi che ha fatto?!?!?!
Come ha fatto a trovarsi quel segno meno prima della parentesi quadra e quel $ 1+ctg^2x $
Se guardi la tabella delle derivate (o se la calcoli direttamente) noti che $Dcotgx=-(1+cotg^2 x)=-1/(sin^2x)$: il tuo libro ha usato la prima di queste formule e quindi ha ottenuto la quadra. Le altre frazioni sono le derivate delle funzioni più interne.
Help, non sto capendo la derivata logaritmica!
"Bad90":
Non sto riuscendo a capire gli step che fa il mio testo nel derivare la seguente funzione:
$ y = ctgln((5+senx)/(1+x^2)) $
il mio professore di Analisi 1, chiamava la derivazione di queste funzioni composte "derivazione a cipolla", prima faccio l'esterno e poi l'interno
Come ti ha già fatto notare il modelatore giammaria, la derivata di $D(\cot x)=-(1+\cot^2 )=-(1)/(\sin^2 x)$
il tuo libro come ti ha già detto lei, la scelto il primo uguale!
Ok, deriviamo a cipolla, prima l'esterno e poi l'interno, perchè qui è come se hai
$D(\cot(f(x)))=D (\cot (f(x)))\cdot f'(x)$
$y'=-[1+\cot^2(\ln((5+\sin x)/(1+x^2)))]\cdot D(\ln((5+\sin x)/(1+x^2)))$
e la derivata di un logartimo è $\ln(f(x))=(1)/(f(x))\cdot f'(x)$
in questo caso per te è $f(x)=\ln((5+\sin x)/(1+x^2))$
ti ricordo la derivata $D(f/g)=(f'\cdot g-f\cdot g')/(g^2)$
Sarà per i simboli o non so per cosa, ma non sto capendo i passaggi che vengono fatti nella seguente:
$ [f(x)]^(g(x)) = e^(g(x)lnf(x)) $ (Questo passaggio l'ho capito)
Poi fa ciò che non sto capendo:
$ D[f(x)]^(g(x)) = e^(g(x)lnf(x))* [ g'(x)lnf(x)+g(x)(f'(x))/(f(x))]=.... $
E poi continua ancora:
$ ....= f(x)^(g(x)) * [ g'(x)lnf(x)+(g(x)f'(x))/(f(x))]$
Aiutooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo!
Ma cosa ha fatto????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Potreste per favore aiutarmi a decifrare ciò che ha fatto?????
$ [f(x)]^(g(x)) = e^(g(x)lnf(x)) $ (Questo passaggio l'ho capito)
Poi fa ciò che non sto capendo:
$ D[f(x)]^(g(x)) = e^(g(x)lnf(x))* [ g'(x)lnf(x)+g(x)(f'(x))/(f(x))]=.... $
E poi continua ancora:
$ ....= f(x)^(g(x)) * [ g'(x)lnf(x)+(g(x)f'(x))/(f(x))]$
Aiutooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo!
Ma cosa ha fatto????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Potreste per favore aiutarmi a decifrare ciò che ha fatto?????
$De^(g(x)lnf(x))=e^(g(x)lnf(x))*D[g(x)lnf(x)]$
$g(x)lnf(x)$ è un prodotto, quindi
$D[g(x)lnf(x)]=g'(x)lnf(x)+g(x)*D[lnf(x)]=g'(x)lnf(x)+g(x)*1/(f(x))*f'(x)$
$g(x)lnf(x)$ è un prodotto, quindi
$D[g(x)lnf(x)]=g'(x)lnf(x)+g(x)*D[lnf(x)]=g'(x)lnf(x)+g(x)*1/(f(x))*f'(x)$
Avevi chiesto spiegazioni sulla derivata logaritmica; te le do facendo in altro modo la precedente dimostrazione. Si ha
$y=f(x)^(g(x))$, quindi $lny=g(x)lnf(x)$
Deriviamo entrambi i membri: il primo dipende da $x$ tramite $y$, quindi è una funzione composta e la sua derivata è $1/y*y'=(y')/y$ e trovi la derivata del secondo nel post precedente. Abbiamo perciò
$(y')/y=g'(x)lnf(x)+g(x)*(f'(x))/(f(x))$
Moltiplicando entrambi i membri per $y$ ricaviamo $y'$; ricordando che era $y=f(x)^(g(x))$ otteniamo
$y'=f(x)^(g(x))[g'(x)lnf(x)+g(x)*(f'(x))/(f(x))]$
$y=f(x)^(g(x))$, quindi $lny=g(x)lnf(x)$
Deriviamo entrambi i membri: il primo dipende da $x$ tramite $y$, quindi è una funzione composta e la sua derivata è $1/y*y'=(y')/y$ e trovi la derivata del secondo nel post precedente. Abbiamo perciò
$(y')/y=g'(x)lnf(x)+g(x)*(f'(x))/(f(x))$
Moltiplicando entrambi i membri per $y$ ricaviamo $y'$; ricordando che era $y=f(x)^(g(x))$ otteniamo
$y'=f(x)^(g(x))[g'(x)lnf(x)+g(x)*(f'(x))/(f(x))]$
"giammaria":
$De^(g(x)lnf(x))=e^(g(x)lnf(x))*D[g(x)lnf(x)]$
$g(x)lnf(x)$ è un prodotto, quindi
$D[g(x)lnf(x)]=g'(x)lnf(x)+g(x)*D[lnf(x)]=g'(x)lnf(x)+g(x)*1/(f(x))*f'(x)$
Adesso ho compreso perfettamente
"giammaria":
Deriviamo entrambi i membri: il primo dipende da $x$ tramite $y$, quindi è una funzione composta e la sua derivata è $1/y*y'=(y')/y$
Non sto capendo tanto questo punto!
Insomma, io so che $ lny = 1/y $ , ma poi come si a pensare che ci deve essere la $ y' $
Stai derivando rispetto ad $x$ e non ad $y$, quindi devi moltiplicare per la derivata della funzione più interna, cioè per $y'$. Ad esempio, se $y=sinx$, allora
$Dlny=Dlnsinx=1/(sinx)*(sinx)'=1/y*y'$
$Dlny=Dlnsinx=1/(sinx)*(sinx)'=1/y*y'$
"giammaria":
Stai derivando rispetto ad $x$ e non ad $y$, quindi devi moltiplicare per la derivata della funzione più interna, cioè per $y'$. Ad esempio, se $y=sinx$, allora
$Dlny=Dlnsinx=1/(sinx)*(sinx)'=1/y*y'$
Ok, si tratta del metodo a cipolla che mi e' stato detto qualche giorno fa!
Ma inquesto caso, non sarebbe corretto dire che :
$Dlny=Dlnsinx=1/(sinx)*(sinx)'=1/y*y'= 1/(sinx)*cosx$
È corretto.
Esercizio 1
Non sto capendo il seguente esercizio:
Calcolare, usando la definizione, la derivata della funzione $ f(x) = x^2 + 2x $ nei punti $ x_0 = 0 $ e $ x_0 = 2 $
Ma quali sono gli step risolutivi
Helpppppppppppppppppppppppppppp!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
Non sto capendo il seguente esercizio:
Calcolare, usando la definizione, la derivata della funzione $ f(x) = x^2 + 2x $ nei punti $ x_0 = 0 $ e $ x_0 = 2 $
Ma quali sono gli step risolutivi
Helpppppppppppppppppppppppppppp!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
Te li mostro per $x_0=2$:
$f(2+h)-f(2)=(2+h)^2+2(2+h)-(2^2+2*2)=4+4h+h^2+4+2h-4-4=6h+h^2$
$f'(2)=lim_(h-0)(f(2+h)-f(2))/h=lim_(h-0)(h(6+h))/h=6$
$f(2+h)-f(2)=(2+h)^2+2(2+h)-(2^2+2*2)=4+4h+h^2+4+2h-4-4=6h+h^2$
$f'(2)=lim_(h-0)(f(2+h)-f(2))/h=lim_(h-0)(h(6+h))/h=6$
"giammaria":
Te li mostro per .....
Ok, adesso sono riuscito a capire, il mio problema e che mi incasino quando vado a trascrivere la funzione che mi viene data nella formula della derivata
Ti ringrazio!
Esercizio 2
Adesso vedo di risolvere il seguente:
$ f(x) = 3x^2 + 5 $ per $ x_0 = 0 $
La formula di derivazione è $ (f(x_0 +h) - f(x_0))/(h) $ .
Per $ x_0 = 0 $ Si ha $ f(x_0 +h) = (0 + h) $ e quindi $ f(0 + h) = 3(0+h)^2 + 5 = 3h^2 + 5 $ (Questo per il primo membro del numeratore)
Per $ x_0 = 0 $ Si ha $ f(x_0) = 3(0^2)+ 5$ e quindi $ f(x_0) = 5$ (Questo per il secondo membro del numeratore)
Quindi riprendendo la formula di derivazione iniziale:
$ (f(x_0 +h) - f(x_0))/(h) $
Avrò:
$ (f( 3h^2 + 5 ) - f(5))/(h) = (3h^2)/h = 3h$
Scusate, ma se adesso considero il limite di $ h->0 $ , il limite non dovrebbe essere $ 0 $
Però la traccia mi chiede di :
Scrivere il rapporto incrementale della funzione f relativo all'incremento $ h!= 0 $ e al punto $ x_0 = 0 $.
E quindi penso sia corretto il risultato che ho ottenuto, mentre se non mi avesse imposto il $ h!= 0 $ allora avrei dovuto dare per scontato che il limite sarebbe stato zero, giusto????
Adesso vedo di risolvere il seguente:
$ f(x) = 3x^2 + 5 $ per $ x_0 = 0 $
La formula di derivazione è $ (f(x_0 +h) - f(x_0))/(h) $ .
Per $ x_0 = 0 $ Si ha $ f(x_0 +h) = (0 + h) $ e quindi $ f(0 + h) = 3(0+h)^2 + 5 = 3h^2 + 5 $ (Questo per il primo membro del numeratore)
Per $ x_0 = 0 $ Si ha $ f(x_0) = 3(0^2)+ 5$ e quindi $ f(x_0) = 5$ (Questo per il secondo membro del numeratore)
Quindi riprendendo la formula di derivazione iniziale:
$ (f(x_0 +h) - f(x_0))/(h) $
Avrò:
$ (f( 3h^2 + 5 ) - f(5))/(h) = (3h^2)/h = 3h$
Scusate, ma se adesso considero il limite di $ h->0 $ , il limite non dovrebbe essere $ 0 $
Però la traccia mi chiede di :
Scrivere il rapporto incrementale della funzione f relativo all'incremento $ h!= 0 $ e al punto $ x_0 = 0 $.
E quindi penso sia corretto il risultato che ho ottenuto, mentre se non mi avesse imposto il $ h!= 0 $ allora avrei dovuto dare per scontato che il limite sarebbe stato zero, giusto????
E infatti è $0$. Hai scritto qualche $f$ di troppo: l'ultima riga dovrebbe essere
$f'(0)=lim_(h->0)(3h^2+5-5)/h=lim_(h->0)(3h^2)/h=0$
Non capisco la tua ultima osservazione: se calcoli un limite per $h->0$, in esso è sottinteso $h!=0$.
$f'(0)=lim_(h->0)(3h^2+5-5)/h=lim_(h->0)(3h^2)/h=0$
Non capisco la tua ultima osservazione: se calcoli un limite per $h->0$, in esso è sottinteso $h!=0$.
"giammaria":
E infatti è $0$. Hai scritto qualche $f$ di troppo: l'ultima riga dovrebbe essere
$f'(0)=lim_(h->0)(3h^2+5-5)/h=lim_(h->0)(3h^2)/h=0$
E perchè il testo mi scrive che il risultato deve essere:
$ (Deltaf)/h = 3h $
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