Derivate
Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
Risposte
"Uomo dalle sette stelle":
Ho anche io un problema con le derivate. Visto che c'è il topic di bad sull'argomento ne approfitto per scrivere qui, se però ciò causa problemi al titolare provvederò in altro modo.
Nessun problema, anzi, mi fa piacere
E poi il forum è di tutti
Vediamo pezzo per pezzo, indicando con $N/D$ la frazione. Si ha
$N'=D(1-x^2)=-2x$
$D'=D(x^2+1)^2=2(x^2+1)*2x=4x(x^2+1)$
e la tua derivata è data da
$(N'D-ND')/D^2=(-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)*4x(x^2+1))/((x^2+1)^4)=$
$=(-2x(x^2+1)-4x(1-x^2))/((x^2+1)^3)=(2x^3-6x)/((x^2+1)^3$
$N'=D(1-x^2)=-2x$
$D'=D(x^2+1)^2=2(x^2+1)*2x=4x(x^2+1)$
e la tua derivata è data da
$(N'D-ND')/D^2=(-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)*4x(x^2+1))/((x^2+1)^4)=$
$=(-2x(x^2+1)-4x(1-x^2))/((x^2+1)^3)=(2x^3-6x)/((x^2+1)^3$
Vi ringrazio infinitamente per le risposte. Ora ho chiaro dove sbagliavo.
Ok, benissimo Bad.
Ok, benissimo Bad.
Non sto riuscendo a derivare correttamente la seguente:
$d(e^x +e^(-x))$
Ho provato a pensarla in questo modo:
$d(e^x +1/e^x)$ derivando sarà $d(e^x +1/e^x)= e^x -1/(e^x)^2$
Cosa ne dite???
$d(e^x +e^(-x))$
Ho provato a pensarla in questo modo:
$d(e^x +1/e^x)$ derivando sarà $d(e^x +1/e^x)= e^x -1/(e^x)^2$
Cosa ne dite???
Per $e^x$ non credo ti serva aiuto. Per quanto riguarda $e^(-x)$ hai $e^(-x)*(-1)$. Anche esprimendola come $1/e^x$ devi arrivare allo stesso risultato quindi hai commesso qualche errore nella derivata del quoziente.
"burm87":
Per $e^x$ non credo ti serva aiuto. Per quanto riguarda $e^(-x)$ hai $e^(-x)*(-1)$. Anche esprimendola come $1/e^x$ devi arrivare allo stesso risultato quindi hai commesso qualche errore nella derivata del quoziente.
Hai ragione, mi sono incasinato.....
Allora, sarà:
$d(e^x+e^(-x)) = e^x + e^(-x)*-1 = e^x-e^(-x)$
Che ovviamente potrebbe essere anche scritta in questo modo:
$e^x-e^(-x)=e^x-1/e^x$
Ma come si risolve la seguente derivata?
$ln^3(x-2)^2$
Provo a dire qualcosa....
E' una funzione composta, devo derivare la funzione più esterna e allora ho qull'integrlae che se non avesse quella potenza, risolverei subito in questo modo:
$D[ln^3(x-2)^2]=1/(x-2)^2*2(x-2)*1$
Ma con quella potenza in $ln^3$, come si risolve??
Si può fare così???
$D[ln^3(x-2)^2]=[3ln^2(x-2)^2*1/(x-2)^2*2(x-2)*1]+[(ln^3*2(x-2)*1)]$
HElpppppppp!
$ln^3(x-2)^2$
Provo a dire qualcosa....
E' una funzione composta, devo derivare la funzione più esterna e allora ho qull'integrlae che se non avesse quella potenza, risolverei subito in questo modo:
$D[ln^3(x-2)^2]=1/(x-2)^2*2(x-2)*1$
Ma con quella potenza in $ln^3$, come si risolve??
Si può fare così???
$D[ln^3(x-2)^2]=[3ln^2(x-2)^2*1/(x-2)^2*2(x-2)*1]+[(ln^3*2(x-2)*1)]$
HElpppppppp!
La prima parte dell'ultima derivata mi sembra corretta, non capisco cosa sia la parte dopo il $+$.
Ho utilizzato la regola di derivazione di un prodotto:
$(f*g)' = f'g+fg'$
Ho sbagliato?
Come avrei dovuto derivare?
$(f*g)' = f'g+fg'$
Ho sbagliato?
Come avrei dovuto derivare?
Hai solamente un logaritmo, cosa centra il prodotto? Non vedo prodotti io.
Allora se cancello la parte dopo il piu', la soluzione va bene?
Ecco come avrei divuto fare:
$D[ln^3(x-2)^2]=[3ln^2(x-2)^2*1/(x-2)^2*2(x-2)*1] =6ln^2(x-2) $
Va bene adesso?
Ecco come avrei divuto fare:
$D[ln^3(x-2)^2]=[3ln^2(x-2)^2*1/(x-2)^2*2(x-2)*1] =6ln^2(x-2) $
Va bene adesso?
Salvo errori che non vedo, la parte prima del $+$ del post di prima mi pareva corretta.
E' però sbagliata la conclusione che ne trai ora perché la $(x-2)^2$ interna al logaritmo non può essere semplificata con fattori esterni e quindi il risultato è
$=(6ln^2(x-2)^2)/(x-2)$
Ricordando che $ln(x-2)^2=2ln(x-2)$ lo si può anche scrivere come
$=(6[2ln(x-2)]^2)/(x-2)=(24ln^2(x-2))/(x-2)$
Io avrei preferito fare un calcolo simile prima di derivare:
$f(x)=[2ln(x-2)]^3=8ln^3(x-2)$
e quindi $f'(x)=8*3ln^2(x-2)*1/(x-2)=(24ln^2(x-2))/(x-2)$
$=(6ln^2(x-2)^2)/(x-2)$
Ricordando che $ln(x-2)^2=2ln(x-2)$ lo si può anche scrivere come
$=(6[2ln(x-2)]^2)/(x-2)=(24ln^2(x-2))/(x-2)$
Io avrei preferito fare un calcolo simile prima di derivare:
$f(x)=[2ln(x-2)]^3=8ln^3(x-2)$
e quindi $f'(x)=8*3ln^2(x-2)*1/(x-2)=(24ln^2(x-2))/(x-2)$
E questo errore è collegato al fatto che inizialmente avevi usato la derivata del prodotto.
Accipicchia!
Vi ringrazio! Ecco perchè ogni tanto mi vado a calcolare qualche derivata, per rinfrescare la memoria
Vi ringrazio! Ecco perchè ogni tanto mi vado a calcolare qualche derivata, per rinfrescare la memoria
Non mi riesce di calcolare questa derivata (seconda)
$y'=(2x+1)/(3root3((x^2+x)^2))$
Il risultato del libro.
$y''=2/9(-x^2-x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))$
I miei passaggi
$(2*3root3((x^2+x)^2)-(2x+1)3*2/3(x^2+x)^(-1/3)(2x+1))/(9*(root3((x^2+x)^2))^2)$
$(6root3((x^2+x)^2)-2(2x+1)^2)/(9root3(x^2+x)root3((x^2+x)^4))$
A questo punto per quanto riguarda il numeratore mi blocco lì.
Per il denominatore ho azzardato dei passaggi, ma non ho proprio sicurezza che siano giusti.
den:$9*root3((x^2+x)^5)$ -> $9(x^2+x)root3((x^2+x)^2)$
Ho anche un quesito a proposito di un altro esercizio. Questo sono anche riuscito a seguirlo, ma sempre col metodo canonico, invece il testo da qui
$y=(3x-x^2)/(x-4)$
arriva qui $y'=-((x-2)(x-6))/((x-4)^2)$
Il testo Ha usato una scomposizione. Posto che io ho trovato una espressione di secondo grado e poi ho replicato il risultato del testo (passaggio un po' oscuro ma non è questo che vorrei chiarire). non ho trovato particolarmente impegnativo e gravoso calcolare la derivata seconda ($y''=(-8)/((x-4)^3)$ partendo dall'espressione di secondo grado piuttosto che dal prodotto del testo. Cioè a me è sembrato che la difficoltà fosse proprio la stessa.
Perciò vorrei capire dove il testo vuole andare a parare. Mi viene da pensare che è un tentativo di allargare la mente dello studente mostrandogli che si può andare avanti e risolvere anche così. Che ne pensate?
$y'=(2x+1)/(3root3((x^2+x)^2))$
Il risultato del libro.
$y''=2/9(-x^2-x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))$
I miei passaggi
$(2*3root3((x^2+x)^2)-(2x+1)3*2/3(x^2+x)^(-1/3)(2x+1))/(9*(root3((x^2+x)^2))^2)$
$(6root3((x^2+x)^2)-2(2x+1)^2)/(9root3(x^2+x)root3((x^2+x)^4))$
A questo punto per quanto riguarda il numeratore mi blocco lì.
Per il denominatore ho azzardato dei passaggi, ma non ho proprio sicurezza che siano giusti.
den:$9*root3((x^2+x)^5)$ -> $9(x^2+x)root3((x^2+x)^2)$
Ho anche un quesito a proposito di un altro esercizio. Questo sono anche riuscito a seguirlo, ma sempre col metodo canonico, invece il testo da qui
$y=(3x-x^2)/(x-4)$
arriva qui $y'=-((x-2)(x-6))/((x-4)^2)$
Il testo Ha usato una scomposizione. Posto che io ho trovato una espressione di secondo grado e poi ho replicato il risultato del testo (passaggio un po' oscuro ma non è questo che vorrei chiarire). non ho trovato particolarmente impegnativo e gravoso calcolare la derivata seconda ($y''=(-8)/((x-4)^3)$ partendo dall'espressione di secondo grado piuttosto che dal prodotto del testo. Cioè a me è sembrato che la difficoltà fosse proprio la stessa.
Perciò vorrei capire dove il testo vuole andare a parare. Mi viene da pensare che è un tentativo di allargare la mente dello studente mostrandogli che si può andare avanti e risolvere anche così. Che ne pensate?
"Uomo dalle sette stelle":
Non mi riesce di calcolare questa derivata (seconda)
$y'=(2x+1)/(3root3((x^2+x)^2))$
Il risultato del libro.
$y''=2/9(-x^2-x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))$
I miei passaggi
$(2*3root3((x^2+x)^2)-(2x+1)3*2/3(x^2+x)^(-1/3)(2x+1))/(9*(root3((x^2+x)^2))^2)$
Se vedi al numeratore, hai gia' sbagliato al primo passaggio, la derivata della radice e'$2/3-1= -1/3$ e la devi derivare subito, mentre tu hai hai scritto la radice $2/3$ non derivandola, mentre poi hai derivato la sua funzione interna, quindi non hai derivato la funIone piu' esterna! Rivedi questo punto, derivando la funzione piu' esterna e poi quella piu' interna e vedrai che i calcoli ritorneranno! Adesso non ho tempo per farti i calcoli, falli tu e poi li rivediamo insieme!
Se
$y'=(2x+1)/(3root3((x^2+x)^2))$,
allora
$y''=$
$(2*3root3((x^2+x)^2)-(2x+1)*3*2/3(x^2+x)^(- 1/3)(2x+1))/(9*(root3((x^2+x)^2))^2)=$
$(2*3root3((x^2+x)^2)-2((2x+1)^2)/(root3(x^2+x)))/(9*(x^2+x)^(4/3))=$
$2/9*(3(x^2+x)-(2x+1)^2)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))=$
$2/9*(3x^2+3x-4x^2-4x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))=$
$2/9*(-x^2-x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))$.
$y'=(2x+1)/(3root3((x^2+x)^2))$,
allora
$y''=$
$(2*3root3((x^2+x)^2)-(2x+1)*3*2/3(x^2+x)^(- 1/3)(2x+1))/(9*(root3((x^2+x)^2))^2)=$
$(2*3root3((x^2+x)^2)-2((2x+1)^2)/(root3(x^2+x)))/(9*(x^2+x)^(4/3))=$
$2/9*(3(x^2+x)-(2x+1)^2)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))=$
$2/9*(3x^2+3x-4x^2-4x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))=$
$2/9*(-x^2-x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))$.
"Bad90":
[quote="Uomo dalle sette stelle"]Non mi riesce di calcolare questa derivata (seconda)
$y'=(2x+1)/(3root3((x^2+x)^2))$
Il risultato del libro.
$y''=2/9(-x^2-x-1)/((x^2+x)root3((x^2+x)^2))$
I miei passaggi
$(2*3root3((x^2+x)^2)-(2x+1)3*2/3(x^2+x)^(-1/3)(2x+1))/(9*(root3((x^2+x)^2))^2)$
Se vedi al numeratore, hai gia' sbagliato al primo passaggio, la derivata della radice e'$2/3-1= -1/3$ e la devi derivare subito, mentre tu hai hai scritto la radice $2/3$ non derivandola, mentre poi hai derivato la sua funzione interna, quindi non hai derivato la funIone piu' esterna! Rivedi questo punto, derivando la funzione piu' esterna e poi quella piu' interna e vedrai che i calcoli ritorneranno! Adesso non ho tempo per farti i calcoli, falli tu e poi li rivediamo insieme!
[/quote]Secondo me invece il primo passaggio è corretto. Ad ogni modo chiaraotta ha già sanato ogni dubbio.
"burm87":
Secondo me invece il primo passaggio è corretto. Ad ogni modo chiaraotta ha già sanato ogni dubbio.
Ok, non avevo visto bene, ho risposto mentre stavo prendendo un caffè, dopo aver fatto un'ora di corsetta in mezzo alle campagne, la mia mente ha dato i numeri
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