Derivate
Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
Risposte
La derivata seconda è la derivata del quoziente, quindi la solita formula. Potresti forse fare un denominatore comune al numeratore:
$((x-xln(x-1)+ln(x-1))/(x-1))/x^2$
$(x-xln(x-1)+ln(x-1))/(x^2(x-1))$
$(x-xln(x-1)+ln(x-1))/(x^3-x^2)$
Da qui non dovresti avere problemi, spero di non aver fatto errori di calcolo.
$((x-xln(x-1)+ln(x-1))/(x-1))/x^2$
$(x-xln(x-1)+ln(x-1))/(x^2(x-1))$
$(x-xln(x-1)+ln(x-1))/(x^3-x^2)$
Da qui non dovresti avere problemi, spero di non aver fatto errori di calcolo.
Sinceramente non sto proprio capendo cosa hai fatto 
Scusami, ma mi sembra che i tuoi passaggi non sono corretti!!
Scusami, ma mi sembra che i tuoi passaggi non sono corretti!!
Dove ho sbagliato? Ho solo fatto denominatore comune al numeratore.
Usa una notazione che ti permetta di ordinare bene le espressioni con le derivate, la mia preferita è questa
\(\displaystyle \frac{d}{dx} f(x) \)
Così per calcolare la tua derivata puoi scrivere
\(\displaystyle y''=\frac{d}{dx} \left(\frac{\frac{x}{x-1}-\ln (x-1)}{x^2}\right)=\frac{x^2 \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)-\left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right) \cdot \frac{d}{dx} x^2}{x^4} \)
Pian piano calcoli le regole che conosci e risolvi fino ad arrivare alla conclusione finale:
\(\displaystyle y''=\frac{x^2 \cdot \left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{x-1}\right)-\frac{d}{dx} \ln (x-1)\right)-2x \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)}{x^4}=\frac{x \cdot \left(\frac{(x-1) \frac{d}{dx} x-x \frac{d}{dx} (x-1)}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}\right)-2 \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln (x-1)\right)}{x^3} \)
A questo punto applichi le due ultime derivate che sono semplici e fai i passaggi algebrici
\(\displaystyle y''=\frac{x \cdot \left(\frac{x-1-x}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}\right)-2 \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)}{x^3}=\frac{x \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{x-1}{(x-1)^2}\right)-2 \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)}{x^3}=\frac{x \cdot \frac{-1-x+1}{(x-1)^2}-\frac{2x \cdot (x-1)}{(x-1)^2}+2\ln(x-1)}{x^3}=\frac{\frac{-x^2-2x^2+2x}{(x-1)^2}+2\ln(x-1)}{x^3}\)
Ottieni alla fine
\(\displaystyle y''=\frac{x \cdot \frac{2-3x}{(x-1)^2}+2\ln(x-1)}{x^3} \)
Forse ho esagerato nel mostrare tutti i calcoli, ma è per mostrarti che ti viene più semplice utilizzare una notazione, se non fai confusione puoi anche passare direttamente ai risultati.
\(\displaystyle \frac{d}{dx} f(x) \)
Così per calcolare la tua derivata puoi scrivere
\(\displaystyle y''=\frac{d}{dx} \left(\frac{\frac{x}{x-1}-\ln (x-1)}{x^2}\right)=\frac{x^2 \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)-\left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right) \cdot \frac{d}{dx} x^2}{x^4} \)
Pian piano calcoli le regole che conosci e risolvi fino ad arrivare alla conclusione finale:
\(\displaystyle y''=\frac{x^2 \cdot \left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{x-1}\right)-\frac{d}{dx} \ln (x-1)\right)-2x \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)}{x^4}=\frac{x \cdot \left(\frac{(x-1) \frac{d}{dx} x-x \frac{d}{dx} (x-1)}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}\right)-2 \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln (x-1)\right)}{x^3} \)
A questo punto applichi le due ultime derivate che sono semplici e fai i passaggi algebrici
\(\displaystyle y''=\frac{x \cdot \left(\frac{x-1-x}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}\right)-2 \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)}{x^3}=\frac{x \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{x-1}{(x-1)^2}\right)-2 \cdot \left(\frac{x}{x-1}-\ln(x-1)\right)}{x^3}=\frac{x \cdot \frac{-1-x+1}{(x-1)^2}-\frac{2x \cdot (x-1)}{(x-1)^2}+2\ln(x-1)}{x^3}=\frac{\frac{-x^2-2x^2+2x}{(x-1)^2}+2\ln(x-1)}{x^3}\)
Ottieni alla fine
\(\displaystyle y''=\frac{x \cdot \frac{2-3x}{(x-1)^2}+2\ln(x-1)}{x^3} \)
Forse ho esagerato nel mostrare tutti i calcoli, ma è per mostrarti che ti viene più semplice utilizzare una notazione, se non fai confusione puoi anche passare direttamente ai risultati.
Scusate ma ho un dubbio sulla derivata seconda che ho ricavato:
$f'(x) = 4(x^2-6x+5)^3 *(2x-6) $
La derivata seconda, è corretta in questo modo?
$f''(x) = 3(4x^2-36x+36)^3 +2(x^2 - 6x+5) $
$f'(x) = 4(x^2-6x+5)^3 *(2x-6) $
La derivata seconda, è corretta in questo modo?
$f''(x) = 3(4x^2-36x+36)^3 +2(x^2 - 6x+5) $
Se
$f'(x) = 4(x^2-6x+5)^3 *(2x-6) $,
allora
$f''(x)=8D[(x^2-6x+5)^3 (x-3)]=$
$8{D[(x^2-6x+5)^3](x-3)+(x^2-6x+5)^3D[x-3]}=$
$8[3(x^2-6x+5)^2(2x-6)(x-3)+(x^2-6x+5)^3]=$
$8(x^2-6x+5)^2[3(2x-6)(x-3)+x^2-6x+5]=$
$8(x^2-6x+5)^2[6(x-3)^2+x^2-6x+5]=$
$8(x^2-6x+5)^2(6x^2-36x+54+x^2-6x+5)=$
$8(x^2 - 6x + 5)^2(7x^2 - 42x + 59)$
$f'(x) = 4(x^2-6x+5)^3 *(2x-6) $,
allora
$f''(x)=8D[(x^2-6x+5)^3 (x-3)]=$
$8{D[(x^2-6x+5)^3](x-3)+(x^2-6x+5)^3D[x-3]}=$
$8[3(x^2-6x+5)^2(2x-6)(x-3)+(x^2-6x+5)^3]=$
$8(x^2-6x+5)^2[3(2x-6)(x-3)+x^2-6x+5]=$
$8(x^2-6x+5)^2[6(x-3)^2+x^2-6x+5]=$
$8(x^2-6x+5)^2(6x^2-36x+54+x^2-6x+5)=$
$8(x^2 - 6x + 5)^2(7x^2 - 42x + 59)$
Non sto riuscendo a ricavare la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = (x+1)^3/(x^2)$
Io ottengo che:
$f'(x) = ((x +1)^2(2x-1))/(x^3)$
Perche' non mi trovo con il risultato del testo che deve essere :
$f'(x) = ((x +1)^2(x-2))/(x^3)$
$f(x) = (x+1)^3/(x^2)$
Io ottengo che:
$f'(x) = ((x +1)^2(2x-1))/(x^3)$
Perche' non mi trovo con il risultato del testo che deve essere :
$f'(x) = ((x +1)^2(x-2))/(x^3)$
"Bad90":
Non sto riuscendo a ricavare la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = (x+1)^3/(x^2)$
Io ottengo che:
$f'(x) = ((x +1)^2(2x-1))/(x^3)$
Perche' non mi trovo con il risultato del testo che deve essere :
$f'(x) = ((x +1)^2(x-2))/(x^3)$
$f'(x)=(3(x+1)^2x^2-(x+1)^(3)2x)/(x^4)=(x(x+1)^2(3x-2(x+1)))/(x^4)=(x(x+1)^2(3x-2x-2))/(x^4)=((x+1)^2(x-2))/(x^3)$
E' quel raccoglimento che mi frega ogni volta
Ti ringrazio
Ti ringrazio
"burm87":
$f'(x)=(3(x+1)^2x^2-(x+1)^(3)2x)/(x^4)=(x(x+1)^2(3x-2(x+1)))/(x^4)=(x(x+1)^2(3x-2x-2))/(x^4)=((x+1)^2(x-2))/(x^3)$
Adesso sto cercando di ricavare la derivata seconda e io arrivo alla seguente:
$ f''(x) = (6(x+1))/x^3 $
Pehe' il testo mi dice che deve essere:
$ f''(x) = (6(x+1))/x^4 $
Dove sto sbagliando?
Ho la seguente funzione:
$f(x)=(x-x^2)/(x+1)$
Ho ricavato la derivata prima, secondo coi e' corretta?
$f'(x)=(-x^2-2x)/(x+1)^2$
Poi non sono sicuro nemmeno della derivata seconda:
$f''(x)=(-4x-2)/(x+1)^2$
Secondo voi, le derivate che ho trovato, sono corrette?????
Help!
$f(x)=(x-x^2)/(x+1)$
Ho ricavato la derivata prima, secondo coi e' corretta?
$f'(x)=(-x^2-2x)/(x+1)^2$
Poi non sono sicuro nemmeno della derivata seconda:
$f''(x)=(-4x-2)/(x+1)^2$
Secondo voi, le derivate che ho trovato, sono corrette?????
Help!
Ciao, data la funzione $$f(x) = \frac{x-x^2}{x+1}$$ la sua derivata prima è $$
f'(x) = \frac{\left(1-2x\right)\left(x+1\right) - x + x^2}{\left(x+1\right)^2} =
$$$$= \frac{x+1-2x^2-2x-x+x^2}{\left(x+1\right)^2} = \frac{-x^2-2x+1}{\left(x+1\right)^2} = -\frac{x^2+2x-1}{\left(x+1\right)^2}.$$
Ora prova a fare la derivata seconda...
f'(x) = \frac{\left(1-2x\right)\left(x+1\right) - x + x^2}{\left(x+1\right)^2} =
$$$$= \frac{x+1-2x^2-2x-x+x^2}{\left(x+1\right)^2} = \frac{-x^2-2x+1}{\left(x+1\right)^2} = -\frac{x^2+2x-1}{\left(x+1\right)^2}.$$
Ora prova a fare la derivata seconda...
Ok, la derivata seconda e':
$f''(x) = -4/(x+1)^3$ A te viene lo stesso?
$f''(x) = -4/(x+1)^3$ A te viene lo stesso?
Sì è giusta.
Ok, ti ringrazio!
"Bad90":
[quote="burm87"]
$f'(x)=(3(x+1)^2x^2-(x+1)^(3)2x)/(x^4)=(x(x+1)^2(3x-2(x+1)))/(x^4)=(x(x+1)^2(3x-2x-2))/(x^4)=((x+1)^2(x-2))/(x^3)$
Adesso sto cercando di ricavare la derivata seconda e io arrivo alla seguente:
$ f''(x) = (6(x+1))/x^3 $
Pehe' il testo mi dice che deve essere:
$ f''(x) = (6(x+1))/x^4 $
Dove sto sbagliando?[/quote]
$(x^3(2(x+1)*(x-2)+(x+1)^2)-(x+1)^2(x-2)*3x^2)/(x^6)=(2x^3(x+1)*(x-2)+x^3(x+1)^2-(x+1)^2(x-2)*3x^2)/(x^6)=(x^2(x+1)(2x(x-2)+x(x+1)-3(x+1)(x-2)))/(x^6)=(x^2(x+1)(2x^2-4x+x^2+x-3(x^2-2x+x-2)))/(x^6)=(x^2(x+1)(2x^2-4x+x^2+x-3x^2+6x-3x+6))/(x^6)=((x+1)(6))/(x^4)=(6(x+1))/(x^4)$
Mi sto incasinando con il trovare la derivata prima della seguente funzione:
$ f(x) = 1/x^4 + 10/x^2 + 25 - 8/x^3 $
Io arrivo alla seguente:
$ f'(x) = (25x^4 -10x^2 + 16x - 3)/(x^5) $
Ma non e' lo stesso risultato del testo!
Come devo fare ?
$ f(x) = 1/x^4 + 10/x^2 + 25 - 8/x^3 $
Io arrivo alla seguente:
$ f'(x) = (25x^4 -10x^2 + 16x - 3)/(x^5) $
Ma non e' lo stesso risultato del testo!
Come devo fare ?
Per prima cosa ricordiamo che la derivata di una somma è la somma delle derivate.
Quindi riscriviamo la funzione nella forma seguente: $$f\left(x\right)=x^{-4} + 10x^{-2} + 25 - 8x^{-3}$$
Quindi deriviamo seguendo la regola $$D\left[f\left(x\right)^{\alpha}\right] = \alpha \cdot f\left(x\right)^{\alpha-1}$$ e otteniamo $$f'\left(x\right) = -4x^{-5} - 20 x^{-3} + 0 + 24x^{-4}$$
che si può riscrivere come $$f'\left(x\right) = -\frac{4}{x^5} - \frac{20}{x^3} + \frac{24}{x^4}.$$
Quindi riscriviamo la funzione nella forma seguente: $$f\left(x\right)=x^{-4} + 10x^{-2} + 25 - 8x^{-3}$$
Quindi deriviamo seguendo la regola $$D\left[f\left(x\right)^{\alpha}\right] = \alpha \cdot f\left(x\right)^{\alpha-1}$$ e otteniamo $$f'\left(x\right) = -4x^{-5} - 20 x^{-3} + 0 + 24x^{-4}$$
che si può riscrivere come $$f'\left(x\right) = -\frac{4}{x^5} - \frac{20}{x^3} + \frac{24}{x^4}.$$
Ho anche io un problema con le derivate. Visto che c'è il topic di bad sull'argomento ne approfitto per scrivere qui, se però ciò causa problemi al titolare provvederò in altro modo.
Ho questa $ (1-x^2 )/(x^2+1)^2 $
Provo a svolgere $(-2x(x^2+1)^2 - 2(x^2+1)(1-x^2))(2x)/(x^2+1)^4 $
$(-2x(x^2+1) - 2(1-x^2))(2x)/(x^2+1)^3 $
$(-2x^3-2x -2+2x^2)(2x)/(x^2+1)^3 $
$(-4x^4-4x^2-4x+4x^3)/(x^2+1)$
Ho provato altri esercizi e bene o male sono riuscito a capirli,questo no.
Ho provato anche a trasformarla in una derivata di prodotto, ma niente, stesso risultato.
Il testo dice che deve venire
$(2x^3 - 6x)/(x^2+1)^3$
Ho questa $ (1-x^2 )/(x^2+1)^2 $
Provo a svolgere $(-2x(x^2+1)^2 - 2(x^2+1)(1-x^2))(2x)/(x^2+1)^4 $
$(-2x(x^2+1) - 2(1-x^2))(2x)/(x^2+1)^3 $
$(-2x^3-2x -2+2x^2)(2x)/(x^2+1)^3 $
$(-4x^4-4x^2-4x+4x^3)/(x^2+1)$
Ho provato altri esercizi e bene o male sono riuscito a capirli,questo no.
Ho provato anche a trasformarla in una derivata di prodotto, ma niente, stesso risultato.
Il testo dice che deve venire
$(2x^3 - 6x)/(x^2+1)^3$
$D[ (1-x^2 )/((x^2+1)^2)]=$
$(D[1-x^2](x^2+1)^2-(1-x^2 )D[(x^2+1)^2])/((x^2+1)^4)=$
$(-2x(x^2+1)^2-(1-x^2 )2(x^2+1)2x)/((x^2+1)^4)=$
$2x(x^2+1)(-(x^2+1)-(1-x^2 )2)/((x^2+1)^4)=$
$2x(-x^2-1-2+2x^2)/((x^2+1)^3)=$
$2x(x^2-3)/((x^2+1)^3)=(2x^3-6x)/((x^2+1)^3)$.
$(D[1-x^2](x^2+1)^2-(1-x^2 )D[(x^2+1)^2])/((x^2+1)^4)=$
$(-2x(x^2+1)^2-(1-x^2 )2(x^2+1)2x)/((x^2+1)^4)=$
$2x(x^2+1)(-(x^2+1)-(1-x^2 )2)/((x^2+1)^4)=$
$2x(-x^2-1-2+2x^2)/((x^2+1)^3)=$
$2x(x^2-3)/((x^2+1)^3)=(2x^3-6x)/((x^2+1)^3)$.
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