Derivate
Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $
Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:
$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $
Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti
Risposte
Esercizio 18
Non sto riuscendo a risolvere il seguente esercizio.
Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto indicato.
$ y = 3x^2 -x + 1 $ con punto $ P (1,3) $
Il testo mi fa vedere qualche esempio, ma io non riesco a trarre le conclusioni per rispondere alla traccia che mi viene chiesta.
Provo a dire qualcosa, ma non sono sicuro se sono arrivato alla corretta conclusione per una casualità...
In questo tipo di esercizi, si opera in questo modo:
Ho la retta $ y = 3x^2 -x + 1 $
Ho un punto $ P (1,3) $
Per iniziare gli step risolutivi, scelgo il primo punto $x_0 = 1$ presente nel punto $ P (1,3) $, e allora le considerazioni da fare sono in $[x_0 , f(x_0)]$, quindi:
$f(x_0) = f(1) = 3 - 1 + 1 = 3$
La derivata di $f(x_0)$ sara' $f'(x_0) = 6x - 1$ e per arrivare al coefficiente angolare, prendo in considerazione l'ascissa $x_0 = 1$ e allora avrò $f'(x_0) = 6x - 1 = 5$
Possiamo pensare a due equazioni, una tangente e una normale, io le scriverò entrambi.
Tangente:
$ y - y_1 = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) (x - x_1) $ scritta anche come:
$ y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) $
L'equazione cercata sarà:
$ y - 3 = 5 (x - 1) $
$ y - 3 = 5x - 5 $
$ y = 5x - 2 $
Poi però non capisco perchè bisogna porla uguale a zero e scriverla in questo modo:
$ 0 = 5x -y -2 $
Perchè?
Normale:
$ y - f(x_0) = -1/(f'(x_0)) (x - x_0) $
$ 0 = x+3y-10$
Non sto riuscendo a risolvere il seguente esercizio.
Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto indicato.
$ y = 3x^2 -x + 1 $ con punto $ P (1,3) $
Il testo mi fa vedere qualche esempio, ma io non riesco a trarre le conclusioni per rispondere alla traccia che mi viene chiesta.
Provo a dire qualcosa, ma non sono sicuro se sono arrivato alla corretta conclusione per una casualità...
In questo tipo di esercizi, si opera in questo modo:
Ho la retta $ y = 3x^2 -x + 1 $
Ho un punto $ P (1,3) $
Per iniziare gli step risolutivi, scelgo il primo punto $x_0 = 1$ presente nel punto $ P (1,3) $, e allora le considerazioni da fare sono in $[x_0 , f(x_0)]$, quindi:
$f(x_0) = f(1) = 3 - 1 + 1 = 3$
La derivata di $f(x_0)$ sara' $f'(x_0) = 6x - 1$ e per arrivare al coefficiente angolare, prendo in considerazione l'ascissa $x_0 = 1$ e allora avrò $f'(x_0) = 6x - 1 = 5$
Possiamo pensare a due equazioni, una tangente e una normale, io le scriverò entrambi.
Tangente:
$ y - y_1 = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) (x - x_1) $ scritta anche come:
$ y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) $
L'equazione cercata sarà:
$ y - 3 = 5 (x - 1) $
$ y - 3 = 5x - 5 $
$ y = 5x - 2 $
Poi però non capisco perchè bisogna porla uguale a zero e scriverla in questo modo:
$ 0 = 5x -y -2 $
Perchè?
Normale:
$ y - f(x_0) = -1/(f'(x_0)) (x - x_0) $
$ 0 = x+3y-10$
"Bad90":
Poi però non capisco perchè bisogna porla uguale a zero e scriverla in questo modo:
$ 0 = 5x -y -2 $
Perchè?
Puoi tranquillamente lasciarla come l'hai scritta tu ed è in forma esplicita; il tuo libro si limita a scrivere tutto allo stesso membro, ottenendola in forma implicita. A volte la forma implicita è più comoda dell'esplicita; più spesso accade il contrario, e non è male abituarsi ad entrambe.
Qualche riga prima hai scritto
$ y - y_1 = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) (x - x_1) $
che in questo caso non ha senso perché il punto $(x_2, y_2)$ non esiste; avresti dovuto scrivere
$ y - y_1 = m (x - x_1) $
La riga successiva va bene; volendo, potevi scrivere solo quella.
A parte queste mini-osservazioni, l'esercizio è giusto.
Esercizio 20
In un esercizio, mi viene chiesto di ricavare la derivata n-esima della seguente funzione:
$y = log x$
Sinceramente non mi è tanto chiaro il perchè del risultato del testo......
Comunque, a me verrebbe di risolverla in questo modo:
$Dy = D(log x) = 1/x$
Mentre il testo mi dice che deve essere:
$(-1)^(n-1) ((n-1)!)/(x^n)$
Non sto capendo cosa vuole dire con questa formula
In un esercizio, mi viene chiesto di ricavare la derivata n-esima della seguente funzione:
$y = log x$
Sinceramente non mi è tanto chiaro il perchè del risultato del testo......
Comunque, a me verrebbe di risolverla in questo modo:
$Dy = D(log x) = 1/x$
Mentre il testo mi dice che deve essere:
$(-1)^(n-1) ((n-1)!)/(x^n)$
Non sto capendo cosa vuole dire con questa formula
Esercizio 21
Verificare che:
$D^n senx = sen(x+(npi)/2)$
A me viene di rispondere immediatamente che è l'uguaglianza è vera, in quanto la funzione seno e coseno hanno una periodicità di $pi/2$, quindi una derivata n-esima, esisterà sempre fino a che ci sia una periodicità tale, anche perchè $C.E. : x!= 0 ^^ x!= pi$.
Non saprei cosa altro dire
Verificare che:
$D^n senx = sen(x+(npi)/2)$
A me viene di rispondere immediatamente che è l'uguaglianza è vera, in quanto la funzione seno e coseno hanno una periodicità di $pi/2$, quindi una derivata n-esima, esisterà sempre fino a che ci sia una periodicità tale, anche perchè $C.E. : x!= 0 ^^ x!= pi$.
Non saprei cosa altro dire
Non hanno periodicità di $pi/2$, bensì di $2pi$ se non mi sbaglio.
"burm87":
Non hanno periodicità di $pi/2$, bensì di $2pi$ se non mi sbaglio.
Hops
Hai ragione!
Allora mi viene di dire che centra qualcosa con il fatto che $D sen x= cosx$ e che $Dcosx = -senx$
Tra la funzione seno e coseno, c'è un sbalzo di $pi/2$
Non sto riuscendo a calcolare la derivata della seguente funzione:
$f(x) = xe^(-x^2)$
Se vado a calcolare la derivata, mi viene di fare i seguenti calcoli:
$f'(x) = 1*e^(-x^2) +xe^(-x^2) * ....$
Dove o scritto i puntini, non riesco a calcolare la derivata della funzione $e^(-x^2)$
Come devo fare? il Testo mi dice che deve essere $-2x$, ma non sto riuscendo ad arrivarci
Correggetemi se sbaglio, ma forse bisogna calcolare la derivata della funzione potenza e allora riesco ad arrivare alla soluzione del testo:
$f'(x) = 1*e^(-x^2) +xe^(-x^2) * (-2x)$
Giusto
$f(x) = xe^(-x^2)$
Se vado a calcolare la derivata, mi viene di fare i seguenti calcoli:
$f'(x) = 1*e^(-x^2) +xe^(-x^2) * ....$
Dove o scritto i puntini, non riesco a calcolare la derivata della funzione $e^(-x^2)$
Come devo fare? il Testo mi dice che deve essere $-2x$, ma non sto riuscendo ad arrivarci
Correggetemi se sbaglio, ma forse bisogna calcolare la derivata della funzione potenza e allora riesco ad arrivare alla soluzione del testo:
$f'(x) = 1*e^(-x^2) +xe^(-x^2) * (-2x)$
Giusto
Devi usare la derivata della funzione esponenziale $y=e^f(x)$ che è $y'=e^f(x)*f'(x)$.
Nel tuo caso ti manca la derivata dell'esponente $-x^2$ che è appunto $-2x$.
Nel tuo caso ti manca la derivata dell'esponente $-x^2$ che è appunto $-2x$.
"burm87":
Devi usare la derivata della funzione esponenziale $y=e^f(x)$ che è $y'=e^f(x)*f'(x)$.
Nel tuo caso ti manca la derivata dell'esponente $-x^2$ che è appunto $-2x$.
Ok, infatti avevo modificato il messaggio postato in precedenza, grazie per la conferma
Devo derivare il seguente limite con L'Hopital, ma non sto riuscendo a farlo correttamente:
$ lim_(x -> 0^+) (log|sen2x|)/(log|sen3x|) $
Help!
$ lim_(x -> 0^+) (log|sen2x|)/(log|sen3x|) $
Help!
Ho derivato il seguente limite, ma non sono sicuro se ho fatto bene e chiedo a voi una conferma....
$ lim_(x -> 0) ((x+1)/(x) - (1)/(log(x+1))) $
Ho fatto nel seguente modo:
$ lim_(x -> 0) ((x+1)log(x+1) -x)/(xlog(x+1)) $
Poi ho derivato il numeratore nel seguente modo:
$ (x+1)log(x+1) -x = (1*log(x+1)+(x+1)*1/(x+1))-x $
$ (log(x+1)+1)-x $
$ (log(x+1)+1)-1 $
$ log(x+1) $
E' corretto aver fatto così?
$ lim_(x -> 0) ((x+1)/(x) - (1)/(log(x+1))) $
Ho fatto nel seguente modo:
$ lim_(x -> 0) ((x+1)log(x+1) -x)/(xlog(x+1)) $
Poi ho derivato il numeratore nel seguente modo:
$ (x+1)log(x+1) -x = (1*log(x+1)+(x+1)*1/(x+1))-x $
$ (log(x+1)+1)-x $
$ (log(x+1)+1)-1 $
$ log(x+1) $
E' corretto aver fatto così?
Il risultato è corretto, ma non sono molto d'accordo sul fatto che al primo passaggio di derivazione in fondo lasci $-x$, siccome stai derivando dovresti derivare fin da subito anche quella $x$ e mettere quindi $-1$ come hai fatto al terzo passaggio.
Non sto riuscendo a seguire il ragionamento che fa il testo nella risoluzione del seguente limite con L'Hopital.
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))(1/x - 1/(senx)) $
Il testo dice che applicando due volte L'Hopital, si arriva alla conclusione che $-1/3$ e sinceramente non mi sono tanto chiari gli step che fa per risolverlo.....
Personalmente, ho pensato di svolgerlo in questo modo....
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))*lim_(x -> 0)(1/x - 1/(senx)) $
$ lim_(x -> 0) ((senx + x)/(xsenx))*lim_(x -> 0)((senx + x)/(senx)) $
Derivando arrivo al seguente punto:
$ lim_(x -> 0) ((cosx + 1)/(cosx))*lim_(x -> 0)((cosx -1)/(cosx)) $
$ lim_(x -> 0) (1 +1/(cosx))*lim_(x -> 0)(1 -1/(cosx)) = (1+1)*(1-0) = 2 $
Non riesco a capire il testo cosa fa???????????
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))(1/x - 1/(senx)) $
Il testo dice che applicando due volte L'Hopital, si arriva alla conclusione che $-1/3$ e sinceramente non mi sono tanto chiari gli step che fa per risolverlo.....
Personalmente, ho pensato di svolgerlo in questo modo....
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))*lim_(x -> 0)(1/x - 1/(senx)) $
$ lim_(x -> 0) ((senx + x)/(xsenx))*lim_(x -> 0)((senx + x)/(senx)) $
Derivando arrivo al seguente punto:
$ lim_(x -> 0) ((cosx + 1)/(cosx))*lim_(x -> 0)((cosx -1)/(cosx)) $
$ lim_(x -> 0) (1 +1/(cosx))*lim_(x -> 0)(1 -1/(cosx)) = (1+1)*(1-0) = 2 $
Non riesco a capire il testo cosa fa???????????
hai controllato la forma indeterminata?
"Ev3nt":
hai controllato la forma indeterminata?
Potresti farmi vedere tu come controllare
la prima cosa da fare quando affronti il calcolo di un limite è controllare se c'è la forma indeterminata e di che tipo è.
In questo caso si tratta di $+infty-infty$, mentre la regola di de l'Hopital si applica alle forme $infty/infty$ e $0/0$,
devi manipolare il limite per applicare la regola
In questo caso si tratta di $+infty-infty$, mentre la regola di de l'Hopital si applica alle forme $infty/infty$ e $0/0$,
devi manipolare il limite per applicare la regola
"Ev3nt":
devi manipolare il limite per applicare la regola
Potresti aiutarmi a manipolarlo in modo tale che riesco a seguire il discorso che vuole la traccia
Ok riscriviamo il limite:
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))(1/x - 1/(senx)) $ come $ lim_(x -> 0) ((senx+x)/(xsenx))((senx-x)/(xsenx)) $
Per portarlo alla forma indeterminata è sufficiente fare il primo membro diviso il secondo capovolto
$ lim_(x -> 0) ((senx+x)/(xsenx))/((xsenx)/(senx-x)) $
a questo punto sei nella situazione di $0/0$
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))(1/x - 1/(senx)) $ come $ lim_(x -> 0) ((senx+x)/(xsenx))((senx-x)/(xsenx)) $
Per portarlo alla forma indeterminata è sufficiente fare il primo membro diviso il secondo capovolto
$ lim_(x -> 0) ((senx+x)/(xsenx))/((xsenx)/(senx-x)) $
a questo punto sei nella situazione di $0/0$
Ma questo artificio funziona sempre????
"Ev3nt":
Ok riscriviamo il limite:
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))(1/x - 1/(senx)) $ come $ lim_(x -> 0) ((senx+x)/(xsenx))((senx-x)/(xsenx)) $
Per portarlo alla forma indeterminata è sufficiente fare il primo membro diviso il secondo capovolto
$ lim_(x -> 0) ((senx+x)/(xsenx))/((xsenx)/(senx-x)) $
a questo punto sei nella situazione di $0/0$
oppure che è più semplice:
$ lim_(x -> 0) (1/x + 1/(senx))(1/x - 1/(senx))= lim_(x -> 0) (1/x^2 - 1/(sen^2x))$
$=lim_(x -> 0) ((sen^2x-x^2)/(x^2sen^2x))$
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