Derivate

[Bad90]

Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:

$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $

Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:

$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $

Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti

[Bad90]

"chiaraotta":$-(1/(senx cosx))=-2/(2sen x cos x)=-2/(sen2x)$

Vuol dire che non ho sbagliato!
Ma tu come hai fatto a pensare che si poteva mettere il $2$ ????????

[Bad90]

Esercizio 14
Sto trovando problemi a risolvere la seguente derivata:

$ D(sqrtx)^(sqrtx) $

Io sto facendo nel seguente modo:

$ D(sqrtx)^(sqrtx)= (sqrtx)^(sqrtx)*[D(sqrtx * log sqrtx)] $

E' giusta come impostazione?

$ ..= (sqrtx)^(sqrtx)*[D(sqrtx * log sqrtx)] = (sqrtx)^(sqrtx)*[((1)/(2sqrtx)*log sqrtx)+ (sqrtx * 1/sqrtx)] $

Solo che non riesco ad arrivare al risultato del testo che dice:

$ (sqrtx)^(sqrtx)[(logx)/(4sqrtx) + (1)/(2sqrtx)] $

Come faccio ad arrivare a quel risultato?

[burm87]

Io come sempre ti consiglio di esprime $f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x))$.

Nel tuo caso ottieni $sqrtx^sqrtx=e^(sqrtxlnsqrtx)$ che derivata diventa:

$e^(sqrtxlnsqrtx)*(Dsqrtxlnsqrtx)$. Che è identica alla tua!

[Bad90]

Quindi vuoi dire che ho fatto bene?

E come ha fatto il testo a scriverla in quel modo???

[burm87]

L'impostazione è corretta si, ma lo svolgimento errato. In particolare, quando fai la derivata del logaritmo, dimentichi di fare la derivata interna, ossia la derivata di $sqrtx$.

[Bad90]

Ho capito l'errore, solonche io arrivo al seguente risultato:

$ (sqrtx)^(sqrtx)[(logsqrtx)/(4sqrtx) + (1)/(2sqrtx)] $

Mentre il testo mi dice che deve essere:

$ (sqrtx)^(sqrtx)[(logx)/(4sqrtx) + (1)/(2sqrtx)] $

Dove sto sbagliando?

[burm87]

Tu nella prima frazione arrivi con un $2$ e non con un $4$ al denominatore, ma ricordando le proprietà dei logaritmi abbiamo che $logsqrtx=logx^(1/2)=1/2logx=logx/2$.

[Bad90]

Esercizio 15

Io non sto proprio riuscendo ad impostare la ssoluzione della seguente derivata:

$ D x^((x)^(x)) $

Come devo fare?

Ho provato a impostarla in questo modo:

$ D x^((x)^(x))= x^((x)^(x))*[D(x^((x)^(x)) *log x)] $

Come faccio?

[burm87]

$x^(x^x)=e^(logx^(x^x))=e^(x^xlogx)$

Quindi per derivare abbiamo:
$e^(x^xlogx)*D(x^xlogx)=e^(x^xlogx)*D(e^(xlogx)logx)$

lascio continuare a te...

[Bad90]

Mi sto incasinando!

[burm87]

"burm87":$x^(x^x)=e^(logx^(x^x))=e^(x^xlogx)$

Per la derivata abbiamo:
$e^(x^xlogx)*D(x^xlogx)=e^(x^xlogx)*D(e^(xlogx)logx)=$
$=e^(x^xlogx)*[e^(xlogx)(1*logx+x*1/x)logx+e^(xlogx)*1/x]=...$

[Bad90]

Fino alla seguente, ho capito:

"burm87":

Per la derivata abbiamo:
$e^(x^xlogx)*D(x^xlogx)=...$

Poi comincio a non capire piu' cosa hai fatto

Come fai ad arrivare a questa:

"burm87":

Per la derivata abbiamo:
$..= e^(x^xlogx)*D(e^(xlogx)logx)=$

E poi non riesco a capire i passaggi successivi!




In questo caso, non mi trovo con il metodo che utilizzi tu, ma vorrei replicarlo con il metodo mio e non co riesco!??!

[Bad90]

Io vorrei risolverlo iniziando in questo modo:

$x^(x^x)=x^(x^x)*[D(x^xlogx)]$

Si puo' iniziare in questo modo?

[giammaria2]

Ad evitare di impazzire, io userei la derivata logaritmica.
$y=x^(x^x)->lny=x^xlnx=lnx*e^(xlnx)$
Derivando:
$(y')/y=1/x*e^(xlnx)+lnx*e^(xlnx)*(lnx+x*1/x)=e^(xlnx)[1/x+lnx(lnx+1)]=$
$=x^x(1/x+ln^2x+lnx)$
Moltiplicando per $y$ (a cui sostituisco il suo valore) ho
$y'=x^(x^x)*x^x(1/x+ln^2x+lnx)$

[Bad90]

"giammaria":
Derivando:
$(y')/y=1/x*e^(xlnx)+lnx*e^(xlnx)*(lnx+x*1/x)=e^(xlnx)[1/x+lnx(lnx+1)]=$

Sei sta formidabilmente chiarissimo!
Ho solo un piccolo dubbio nel passaggio in quote,............
Come hai fatto e a cosa hai pensato per dividere $(y')/y$ ?????
Poi non riesco a decifrare il perche' sei riuscito a moltiplicare in quel modo nell'ultima parantesi!

[giammaria2]

Dovevo derivare $lny$ e l'ho fatto "a cipolla": se avessi dovuto derivare $lnf(x)$ avrei scritto $1/(f(x))*f'(x)$, quindi qui scrivo $1/y*y'=(y')/y$.
Nell'ultimo passaggio ho solo messo in evidenza $e^(xlnx)$.

[Bad90]

Ti ringrazio

[Bad90]

Esercizio 16
Adesso mi sto imbattendo con la seguente:

$ D(logx)^x $

Grazie al consiglio del mio idolo giammaria, penso che sono riuscito a risolverlo correttamente, ecco qui:

Sapendo che:

$ y=(logx)^x $

$ log y= log(logx)^x $

$ log y= x*log(logx) $

$ D log y= D [x*log(logx)]$

$ D log y= (1*log(logx)) + (x*1/(logx)* 1/x)$

$ D log y= log(logx) + 1/(logx)$

E adesso, sapendo che:

$ D log y = (y')/y $

Allora posso scrivere:

$ (y')/y= log(logx) + 1/(logx)$

Moltiplicano per la $ y = (logx)^x $ , avrò:

$ y'= (logx)^x *[log(logx) + 1/(logx)]$

P.S giammaria, cosa ne dici?

[Bad90]

Esercizio 17

Questa qui non riesco proprio a risolverla, sto provando e riprovando, ma non riesco:

$ D sen (x^logx) $

Come posso fare per risolverla

[giammaria2]

Bravo per l'esercizio 16. Per il 17, l'inizio è
$=cos(x^(lnx))*D(x^(lnx))$
Si può poi continuare in tre modi:
1) Ricordare ed applicare la formula per la derivata di $f(x)^(g(x))$. Personalmente, io ho sempre rifiutato di impararla: ce ne sono già tante altre!
2) Scrivere $x^(lnx)=e^(lnx*lnx)=e^(ln^2 x)$; si ha quindi $Dx^(lnx)=De^(ln^2 x)=e^(ln^2 x)D(ln^2x)=x^(lnx)*2lnx*1/x$
3) Porre $z=x^(lnx)$ e calcolare $z'$ con la derivata logaritmica; sostituire il risultato nella nostra formula.