Derivate

[Bad90]

Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:

$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $

Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:

$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $

Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti

[Bad90]

Sto cercando di risolvere correttamente la seguente derivata:

$ D(x^n * e^(senx)) $

Ho pensato di fare in questo modo, ma correggetemi se sbaglio:

$ D(x^n * e^(senx)) = [Dx^n *e^(senx)]+[x^n *(De^(senx)*Dsenx)] $

Il tutto sarà:

$ ...=[nx^(n-1)*e^(senx)]+[x^n *e^(senx)log e * cosx] $

Se ho fatto bene, come devo continuare

[burm87]

Secondo me non è precisissima, nel senso che alla fine della tua scrittura metti $Dsenx$ che però è già compresa quando farai $De^(senx)$.

[Bad90]

"burm87":Secondo me non è precisissima, nel senso che alla fine della tua scrittura metti $Dsenx$ che però è già compresa quando farai $De^(senx)$.

Accipicchia, mi dici che devo fare in questo modo?

$ D(x^n * e^(senx)) = [Dx^n *e^(senx)]+[x^n *De^(senx)] $

E poi avrò:

$ ...=(nx^(n-1)* e^(senx))+(x^n * e^(senx)*log e * cosx) $

[burm87]

Si, secondo me è più corretta. Comunque la risoluzione che hai riportato è corretta.

[Bad90]

"burm87":Si, secondo me è più corretta. Comunque la risoluzione che hai riportato è corretta.

E perchè il testo la riporta scritta in questo modo?

$ x^(n-1) *e^(senx)(n+x cosx) $

[burm87]

Semplicemente ha raccolto, le due cose sono identiche.

[Bad90]

"burm87":Semplicemente ha raccolto, le due cose sono identiche.

Come fa ad essere identica questa:

$ ...=(nx^(n-1)* e^(senx))+(x^n * e^(senx)*log e * cosx) $

Con questa?

$ x^(n-1) *e^(senx)(n+x cosx) $

Scusami, ma $ log e = $ non è uguale ad $ log e = 1 $
Perchè c'è una $ x $

[burm87]

Ricordiamo intanto che $loge=1$ e che $x*x^(n-1)=x^n$. Poi:
$nx^(n-1)e^(senx)+x^n*e^(senx)cosx=x^(n-1)e^(senx)(n+xcosx)$.

[Bad90]

Sto trovando difficolta' nel derivare la seguente funzione:

$ D log sqrt((1+senx)/(1-senx)) $

Sono riuscito ad arrivare alla soluzione:

$ D log sqrt((1+senx)/(1-senx)) =1/sqrt((1+senx)/(1-senx))*(1/(2sqrt((1+senx)/(1-senx))))*(D(1+senx)(1-senx) - (1+senx)D(1-senx))/(1-senx)^2$

Risolvendo il tutto, arrivo a dire che $ S = 1/(cosx) $

[burm87]

L'impostazione mi pare corretta. Dove hai difficoltà?

[Bad90]

"burm87":L'impostazione mi pare corretta. Dove hai difficoltà?

Adesso sono riuscito a risolverla!

[Bad90]

Sto cercando di capire l'errore che commetto quando vado a risolvere la seguente derivata:

$ D arctg(1/x) $

Io sto facendo in questo modo:

$ D arctg(1/x) = 1/(1+(1/x^2))-1/x^2 $

Come fa il testo a dire che deve essere $ -1/(1+x^2) $

[Bad90]

Esercizio 11

Sto cercando di risolvere la seguente:

$ D arctg[(logx+1)/(logx-1)] $

NOn sto riuscendo ad arrivare alla soluzione che mi da il testo....
E' corretta questa prima impostazione?

$ 1/(1+[(logx+1)/(logx-1)]^2)*([D(logx + 1)*(logx-1)]-[(logx+1)*(logx-1)])/(logx-1)^2 $

[giammaria2]

Quasi corretta; hai dimenticato un $D$ alla fine del numeratore. Correggendo, è
$ 1/(1+[(logx+1)/(logx-1)]^2)*([D(logx + 1)*(logx-1)]-[(logx+1)*D(logx-1)])/(logx-1)^2 $

[Bad90]

Si ho dimenticato a scrivere un $D$!
Sto provando a risolverlo, ma non sto arrivando alla soluzione!
Adesso riprovo, almeno sono sicuro che l' impostazione e' corretta!

[Bad90]

Ma perche' la derivata $D|x|= x/|x|$

Perche' e' uguale al valore di $x$ fratto $|x|$ ???????
Nell tabella delle derivate principali, non c'e' l'ho!!

Perche'???

Altro dubbio e' perche' la derivata di un logaritmo con funzione in assoluto e' data dalla seguente?

$D log|f(x)| = (f'(x))/(f(x))$

[Bad90]

Esercizio 12

Ma quanto fa la seguente derivata??

$ Dlog|tg(x/2)| $

Il testo mi dice che deve essere $ Dlog|tg(x/2)| = 1/(senx) $

Ma io non arrivo a quel risultato! Perche'?
Io sto facendo in questo modo:

$ (1/(cos(x/2))^2)/((sen(x/2))/(cos(x/2)))= 1/((cos(x/2))*sen(x/2)) $

Dove sto sbagliando???

[giammaria2]

Hai dimenticato di moltiplicare per la derivata di $x/2$, cioè per $1/2$. Per l'ultimo passaggio uso la formula $sin2alpha=2sinalpha cosalpha$.
$...=1/(2cos(x/2)sin(x/2))=1/(sinx)$

[Bad90]

Esercizio 13

In questo avro' dimenticato qualcosa ma non riesco a capire cosa............

$ Dlog|cotgx| $

Io sto facendo in questo modo:

$ Dlog|cotgx|= (-(1)/(sen^2x))/((cosx)/(senx))= -(1/(senx cosx)) $

Perche' il testo mi dice che deve essere $ -(2/(sen2x)) $ ???

Cosa sto trascurando????

[chiaraotta1]

$-(1/(senx cosx))=-2/(2sen x cos x)=-2/(sen2x)$