Derivate

[Bad90]

Ho un dubbio in alcuni passaggi che mi fa il testo in merito ad una derivata:

$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (x+h) - senx)/(h) $

Dopo tutti i passaggi che mi sono chiari, non capisco come fa a scrivere la seguente:

$ D senx = lim_(h -> 0) (sen (cos h - 1))/(h)+lim_(h -> 0)( cosx senh)/h $

Insomma, quello che non mi è chiaro, è quale proprietà è che ti da la possibilità di portare il limite alla somma di due limiti

[Bad90]

Pensa che ho risolto anche la seguente con la stessa traccia:

$ f(x) = 2x^3 -1 $ per $ x_0 = 2 $

Sono arrivato alla seguente:

$ 2h^2 +12h +24 $

E io volevo fare il limite di $ lim_(h -> 0) (2h^2 +12h +24) $ che penso proprio sia $ lim_(h -> 0) (2h^2 +12h +24) =24 $

Ma il testo mi dice che deve essere :

$ (Deltaf)/(h) = 2h^2 +12h +24 $

Perchè????

[Bad90]

Esercizio 3

Ho risolto il seguente esercizio:

Scrivere il rapporto incrementale della funzione f relativo all'incremento $ h!= 0 $ e al punto $ x_0 = 3 $

$ f(x) = e^(2x+1) $

Allora:

$ f(x_0) = e^(2*3+1) = e^7 $

$ f(x_0 + h) = e^(2*(3+h)+1) = e^(7+2h) $

Allora adesso si ha:

$ f'(x) = lim_(h -> 0)(e^7(e^(2h)-1))/(2h) $

Quel 2 al denominatore dipende dal esponente di e......
Va bene fin quì?

Vediamo se ricordo bene.....

Adesso devo fare in questo modo:

$ f'(x) =e^7* lim_(h -> 0)(2(e^(2h)-1))/(2h) $

Moltiplico per 2 per togliere quel due al denominatore, giusto?

$ f'(x) =e^7* lim_(h -> 0)((e^(2h)-1))/(h) $

Ho ricordato bene l'artificio

[giammaria2]

In entrambi gli esercizi la domanda era solo calcolare il rapporto incrementale, senza farne il limite per $h->0$; in altre parole, si accontentava di fermarsi un passaggio prima del calcolo della derivata.

[21zuclo]

"Bad90":Esercizio 2

Adesso vedo di risolvere il seguente:

$ f(x) = 3x^2 + 5 $ per $ x_0 = 0 $

La formula di derivazione è $ (f(x_0 +h) - f(x_0))/(h) $ .

non è solo quella!
Di formule ce ne sono 2,
Si ha dunque se f è derivabile in $x_0$, si ha $f'(x_0)=\lim_(h\to 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$

posto $x=x_0+h$, il rapporto incrementale assume la forma equivalente $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ ($\forall x\in(a,b), x\ne x_0)$

in poche parole $f'(x_0)=\lim_(x\to x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=\lim_(h\to 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$

te lo dico perchè alcune volte in Analisi 1, (ok che questo non è analisi 1) mi conveniva usare la prima formula, cioè $\lim_(x\to x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$

[Bad90]

Esercizio 4

Per la seguente funzione, calcolare il rapporto incrementale in un punto generico $ x_0 $ e nel punto $ x_0 = 0 $

$ f(x) = 2x^2 - 5 x +8 $

Come si risolvono le seguenti

Mi sto incasinando

Se mi dice nel punto generico $ x_0 $ , come dovrei scrivere la formula iniziale

Insomma, per $x_0 = 0$, riesco a risolverlo tranquillamente, arrivando al seguente risultsto:

$ 2h -5$

Ma poi quando mi dice per un punto generico $x_0$ , come devo risolverlo???
Ho pensato di fare in questo modo:

$ f(x_0) = x_0 $

Allora:

$ f(x_0 + h) = 2(x_0 + h)^2 -5(x_0 + h)+8 $

Cosa ne dite

Solo in questo modo riesco ad arrivare alla soluzione, $ 2h+4x $, sol che essendo all'inizio, sto trovando un po di difficoltà nell'impostare le soluzioni

[giammaria2]

E' giusto $f(x_0+h)$, ma nello stesso modo devi calcolare
$f(x_0)=2x_0^2-5x_0+8$
Il rapporto incrementale (che è la domanda del testo) risulta $4x_0-5+2h$; se vuoi continuare fino alla derivata, è $4x_0-5$

[Bad90]

Esercizio 5

Calcolare la derivata delle seguenti funzioni ricorrendo al limite del rapporto incrementale nel generico punto $x$.

$f(x) =ln(2x+1)$

Come faccio a risolverlo?
Ecco cosa ho fatto e comunque non riesco ad arrivare alla soluzione:

$ f(x_0) = ln(2x+1)$

$ f(x_0 +h) = ln[2(x+h)+1]$

Alla fine arrivo a dire che:

$ Deltaf = ( ln[2(x+h)+1] - ln(2x+1))/(h) $

Eadesso dome continuo????

[giammaria2]

Così:
$=lim_(h->0)1/hln((2x+2h+1)/(2x+1))=lim_(h->0)ln((2x+1)/(2x+1)+(2h)/(2x+1))^(1/h)=ln lim_(h->0)(1+(2h)/(2x+1))^(1/h)=...$

Qualcuno sa dirmi perché il terzo limite (ottenuto con un copia-incolla dei precedenti) risulta scritto male?

[Bad90]

Ma perche' il testo mi dice che il risultato finale deve essere:

$ 2/(2x+1) $

Come faccio da questa $ ln* lim_(h->0)(1+(2h)/(2x+1))^(1/h) $ al seguente risultato dato dal testo? $ 2/(2x+1) $


Inizialmente ho fatto gli stessi calcoli tuoi, solo che poi non mi trovavo con quelli del testo! Come mai???

[giammaria2]

"Bad90":Esercizio 3
$ f'(x) =e^7* lim_(h -> 0)(2(e^(2h)-1))/(2h) $

Moltiplico per 2 per togliere quel due al denominatore, giusto?

$ f'(x) =e^7* lim_(h -> 0)((e^(2h)-1))/(h) $

Ho ricordato bene l'artificio

Hai ricordato bene l'artificio, ma dov'è poi finito il 2? Devi riportarti a $lim_(u->0)(e^u-1)/u=1$, quindi la riga finale (che in realtà precede l'altra) va corretta in
$f'(3)=2e^7lim_(h->0)(e^(2h)-1)/(2h)=2e^7*1=2e^7$
C'è anche qualche imprecisione precedente, ma probabilmente è dovuta a qualche copia-incolla mal riuscito; lasciamo perdere.

In modo del tutto analogo, nell'esercizio 5 devi riportarti a $lim_(u->0) (1+u)^(1/u)=e$ e nel tuo caso hai $u=(2h)/(2x+1)$; devi quindi moltiplicare e dividere l'esponente in modo che vi sia questa frazione invertita.

[Bad90]

Ho un dubbio.............
Se ho la seguente $(lnx)^2$, questa a quanto equivale?
E' giusto dire questo?

$(lnx)^2 = ln^2 x^2$

Help!

[burm87]

No, $(lnx)^2=ln^2x!=lnx^2$. Nelle prime è la funzione al quadrato, nell'ultima al quadrato è la variabile.

[Bad90]

"burm87":No, $(lnx)^2=ln^2x!=lnx^2$. Nelle prime è la funzione al quadrato, nell'ultima al quadrato è la variabile.

Ok, allora quando e' che puo' capitare questo?

$ lnx^2 $

Potrebbe essere quando:

$ lnx*x = lnx^2 $

Oppure???

[Bad90]

Esercizio 6
Ma cone si risolve la seguente derivata?

$ y=xe^(2x) $

[burm87]

La prima domanda non l'ho capita. Può capitare di avere una funzione con l'argomento al quadrato.

Esercizio 2.
E' la derivata di un prodotto di cui la seconda funzione è una funzione composta:
$1*e^(2x)+x*(e^(2x)*2)$.

[Bad90]

Ok, adesso ho capito!

[Bad90]

Esercizio 7

Non mi è tanto chiara la derivata della seguente funzione:

$ y = ln(lnx) $

Utilizzando il metodo a cipolla, non riesco a concepire il concetto!

Allora:

$ y' = D[ln(lnx)] $

Allora sarebbe più corretto fare in questo modo:

$ y' = D[ln(Dlnx)] $

Giusto

HELP!
Come si risolve?

[giammaria2]

Se fosse $y=ln(x^3+5x^2-2)$ col metodo a cipolla otterresti
$y'=1/(x^3+5x^2-2)*(3x^2+10x)=(3x^2+10x)/(x^3+5x^2-2)$

Qui devi fare nello stesso modo: essendo $y=ln(lnx)$ hai
$y'=1/(lnx)*1/x=1/(xlnx)$

[Bad90]

Non sto ricordando un concetto.....
Perchè in una funzione del tipo $ f(x) = |x| $ in $ x=0 $ la funzione non è derivabile

[burm87]

Credo perché derivata destra e derivata sinistra non sono uguali.