Definizioni matematiche
Tutti i libri universitari di Matematica che ho avuto modo di consultare si limitano a presentare tale disciplina semplicemente enunciando definizioni, teoremi e relative dimostrazioni.
Tra tutti i libri che ho consultato, nessuno si "preoccupa" di spiegare in che modo i matematici sono giunti ad elaborare una certa definizione.
Mi spiego meglio. Non è che un matematico un giorno si è alzato dal letto è ha scritto all'improvviso una definizione; secondo me tutte le definizioni che compaiono sui libri hanno una "storia" dietro, che però non viene mai raccontata. Io credo che essere a conoscenza della storia di una definizione sia fondamentale, in quando tale conoscenza permetterebbe di essere più consapevoli della definizione stessa e della Matematica in generale. Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che ogni definizione ha una storia dietro? E siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!
Tra tutti i libri che ho consultato, nessuno si "preoccupa" di spiegare in che modo i matematici sono giunti ad elaborare una certa definizione.
Mi spiego meglio. Non è che un matematico un giorno si è alzato dal letto è ha scritto all'improvviso una definizione; secondo me tutte le definizioni che compaiono sui libri hanno una "storia" dietro, che però non viene mai raccontata. Io credo che essere a conoscenza della storia di una definizione sia fondamentale, in quando tale conoscenza permetterebbe di essere più consapevoli della definizione stessa e della Matematica in generale. Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che ogni definizione ha una storia dietro? E siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!
Risposte
"lisdap":
[quote="gugo82"] la struttura di un teorema è del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora esso ne soddisfa pure
Ciao, questa è la struttura di tutti i teoremi scritti nei libri di matematica? Anche delle proposizioni?
Grazie![/quote]
A occhio direi che i teoremi di esistenza e/o unicità di alcuni oggetti matematici non sono di quella forma, ma di questa
"Esiste un unico ... bla bla ... tale che ... bla bla ... "
Ma potrebbe essere una differenza solo apparente... non so ... sono ignorante xD
"perplesso":
[quote="lisdap"][quote="gugo82"] la struttura di un teorema è del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora esso ne soddisfa pure
Ciao, questa è la struttura di tutti i teoremi scritti nei libri di matematica? Anche delle proposizioni?
Grazie![/quote]
A occhio direi che i teoremi di esistenza e/o unicità di alcuni oggetti matematici non sono di quella forma, ma di questa
"Esiste un unico ... bla bla ... tale che ... bla bla ... "
Ma potrebbe essere una differenza solo apparente... non so ... sono ignorante xD[/quote]
Secondo me, sì, seguono la stessa struttura. Esempio: "Se il problema soddisfa queste proprietà, allora soddisfa anche quella di avere una sola soluzione".
"lisdap":
[quote="gugo82"] la struttura di un teorema è del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora esso ne soddisfa pure
Ciao, questa è la struttura di tutti i teoremi scritti nei libri di matematica?[/quote]
A parte qualche differenza linguistica di poco conto, sì.
Prova ad aprire un libro di Matematica qualsiasi ed a leggere gli enunciati di tutti i teoremi: ti accorgerai che essi esprimono tutti delle implicazioni (a volte esplicite, altre volte un po' nascoste dalla forma grammaticale).
Tanto per citare Russell (Principles of Mathematics (1902), I, §1):
La Matematica pura è l'insieme di tutte le proposizioni della forma "p implica q", dove p e q sono proposizioni che contengono una o più variabili, né p né q contenendo costanti che non siano costanti logiche.
"lisdap":
Anche delle proposizioni?
Quella in Teorema/Proposizione/Lemma/Corollario è una distinzione di comodo nella classe dei teoremi.
Non c'è alcuna differenza logica tra i loro enunciati; l'unica differenza che sussiste tra loro è che alcuni risultati sono più importanti di altri... E dato che gli studenti svogliati vogliono sapere sempre cosa leggere e cosa saltare nella lettura dei libri di testo, i risultati importanti meritano di essere segnalati come tali affibiandogli il nome altisonante Teorema o Proposizione, mentre ai risultati tecnici o secondari sono segnalati semplicemente come Corollario o Lemma.
Scherzi a parte, di solito si fa la distinsione che segue:
- [*:37r4q7g2] si chiama Teorema un teorema fondamentale, o comunque molto importante, per lo sviluppo della teoria;
[/*:m:37r4q7g2]
[*:37r4q7g2] si chiama Proposizione un teorema secondario, un po' meno importante, che però getta buona luce su alcuni fatti della teoria;
[/*:m:37r4q7g2]
[*:37r4q7g2] si chiama Lemma un teorema tecnico, che serve come strumento per accorciare dimostrazioni molto complicate di Teoremi o Proposizioni;
[/*:m:37r4q7g2]
[*:37r4q7g2] si chiama Corollario un teorema che discende immediatamente da un Teorema o da una Proposizione provati in precedenza.[/*:m:37r4q7g2][/list:u:37r4q7g2]
Però, come detto, la distinzione è di comodo e non è basata in alcun modo su differenze logiche nella struttura degli enunciati.
Ma è possibile che nessuno ti abbia mai detto certe cose o che tu non le abbia capite da solo?
"gugo82":[*:3pu5drg9] si chiama Teorema un teorema fondamentale, o comunque molto importante, per lo sviluppo della teoria;
[/*:m:3pu5drg9]
[*:3pu5drg9] si chiama Proposizione un teorema secondario, un po' meno importante, che però getta buona luce su alcuni fatti della teoria;
[/*:m:3pu5drg9]
[*:3pu5drg9] si chiama Lemma un teorema tecnico, che serve come strumento per accorciare dimostrazioni molto complicate di Teoremi o Proposizioni;
[/*:m:3pu5drg9]
[*:3pu5drg9] si chiama Corollario un teorema che discende immediatamente da un Teorema o da una Proposizione provati in precedenza.[/*:m:3pu5drg9][/list:u:3pu5drg9]
Però, come detto, la distinzione è di comodo e non è basata in alcun modo su differenze logiche nella struttura degli enunciati.
Anche io conoscevo solo la differenza tra teoremi, lemmi e corollari. Ero convinto che teorema e proposizione fossero assolutamente sinonimi! Grazie per le dritte!
Ok, prendiamo allora la proposizione relativa alla formula di Taylor che sta a pag. 309 del pagani-salsa.
Questa è enunciata dal testo cosi:
Sia $f:(a,b)->RR$ derivabile $n$ volte in $x_0 in (a,b)$. Allora esiste un unico polinomio $T_n(x)$ di grado $<=n$, che abbia un contatto di ordine $n$ con $f$ in $x_0$, dato dalla formula che segue ......
Questa proposizione, in maniera un pò più precisa, dovrebbe allora essere enunciata così:
Sia $f:(a,b)->RR$, $x_0 in (a,b)$ e $n in NN$.
Se la funzione $f$ gode della proprietà di essere derivabile $n$ volte in $x_0$, allora gode anche della proprietà di avere un contatto di ordine $n$ con un unico polinomio $T_n(x)$ di grado $<=n$, dato dalla formula che segue....
Giusto?
Questa è enunciata dal testo cosi:
Sia $f:(a,b)->RR$ derivabile $n$ volte in $x_0 in (a,b)$. Allora esiste un unico polinomio $T_n(x)$ di grado $<=n$, che abbia un contatto di ordine $n$ con $f$ in $x_0$, dato dalla formula che segue ......
Questa proposizione, in maniera un pò più precisa, dovrebbe allora essere enunciata così:
Sia $f:(a,b)->RR$, $x_0 in (a,b)$ e $n in NN$.
Se la funzione $f$ gode della proprietà di essere derivabile $n$ volte in $x_0$, allora gode anche della proprietà di avere un contatto di ordine $n$ con un unico polinomio $T_n(x)$ di grado $<=n$, dato dalla formula che segue....
Giusto?
Certo.
Però, come vedi, ad enunciarla in quel modo si "sprecano caratteri": quindi si preferisce scrivere l'enunciato del teorema in una foma un po' diversa e più sintetica.
Però, come vedi, ad enunciarla in quel modo si "sprecano caratteri": quindi si preferisce scrivere l'enunciato del teorema in una foma un po' diversa e più sintetica.
Ok grazie, ti volevo chiedere un'altra cosa: le ipotesi di tutti i teoremi matematici esprimono delle condizioni necessarie o sufficienti o necessarie E sufficienti? Relativamente ai teoremi di cui non viene detto nulla, si da per scontato che le ipotesi rappresentano condizioni necessarie e sufficienti?
Grazie!
Grazie!
Assolutamente no. Un teorema in matematica è della forma A=>B (se vale A allora vale B) oppure A<=>B (A se e solo se B) ed è detto sempre esplicitamente.
"lisdap":
le ipotesi di tutti i teoremi matematici esprimono delle condizioni necessarie o sufficienti o necessarie E sufficienti?
Non capisco la domanda, a dir la verità.
Spesso alcuni libri tipo il marcellini sbordone specificano a lato della scritta TEOREMA, condizione sufficiente, condizione necessaria. Non sempre però, nel senso che certe volte c'è solo la scritta TEOREMA e basta. Dunque mi sono chiesto: quando a lato del teorema non è scritto nulla significa che il teorema esprime una condizione necessaria e sufficiente? Spero di essere stato più chiaro!
Di solito queste cose si specificano solo per chiarire bene le idee al lettore distratto.
Sai che vogliono dire le locuzioni condizione necessaria affinché... e condizione sufficiente affinché...?
Se sì, riesci anche a rispondere da solo al tuo dubbio.
Se no, ne parliamo.
Sai che vogliono dire le locuzioni condizione necessaria affinché... e condizione sufficiente affinché...?
Se sì, riesci anche a rispondere da solo al tuo dubbio.
Se no, ne parliamo.
Si, lo so che signifcano. Un teorema è fatto da delle ipotesi, una tesi, e una dimostrazione. Supponiamo che le ipotesi esprimono delle condizioni solo sufficienti. Allora ciò significa che un oggetto che soddisfa le ipotesi, soddisfa anche la tesi, ma un oggetto che non soddisfa le ipotesi può comunque soddisfare la tesi. Supponiamo che le ipotesi siano solo necessarie. Allora ciò significa che un oggetto che non soddisfa le ipotesi, non potrò mai soddisfare la tesi, e un oggetto che soddisfa le ipotesi generalmente soddisfa la tesi. Tuttavia può anche accadere che un oggetto che soddisfa le ipotesi non soddisfa la tesi. Infine, se le ipotesi esprimono delle condizioni necessarie e sufficienti significa che tutti gli oggetti che soddisfano le ipotesi soddisfano anche la tesi e gli oggetti che non soddisfano le ipotesi non soddisfano la tesi. E' giusto?
Stai facendo casino.
Come possono essere delle ipotesi necessarie?
Dire che una condizione \(p\) è necessaria affinché valga un'altra condizione \(q\) significa semplicemente dire che (si può dimostrare l'implicazione) \(q\Rightarrow p\); mentre dire che una condizione \(p\) è sufficiente affinché valga un'altra condizione \(q\) significa semplicemente dire che (si può dimostrare l'implicazione) \(p\Rightarrow q\).
Prova a postare qualche enunciato.
P.S: (riguardo la firma) Quella è una questione puramente soggettiva... Ti posso assicurare che esistono persone che traggono piacere ad azionare la lavatrice o il forno a microonde anche quando non servirebbe.
Come possono essere delle ipotesi necessarie?
Dire che una condizione \(p\) è necessaria affinché valga un'altra condizione \(q\) significa semplicemente dire che (si può dimostrare l'implicazione) \(q\Rightarrow p\); mentre dire che una condizione \(p\) è sufficiente affinché valga un'altra condizione \(q\) significa semplicemente dire che (si può dimostrare l'implicazione) \(p\Rightarrow q\).
Prova a postare qualche enunciato.
P.S: (riguardo la firma) Quella è una questione puramente soggettiva... Ti posso assicurare che esistono persone che traggono piacere ad azionare la lavatrice o il forno a microonde anche quando non servirebbe.
Ho il teorema di fermat sui massimi e minimi, espresso in mille modi differenti. Ne scrivo tre:
1) Sia $f:A sube RR^n->RR$, con $A$ aperto, e sia $x_0 in A$ un punto di massimo o minimo locale per $f$. Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora il gradiente della funzione valutato in quel punto è nullo;
2) Se $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo o di minimo relativo interno all'insieme $A$ e se $f(x,y)$ è dotata di derivate parziali in $(x_0,y_0)$, allora risulta $f_x(x_0,y_0)=0$; $f_y(x_0,y_0)=0$;
3) Se $f:A sube RR^m->RR$ è derivabile in un punto $x_0$ di massimo o di minimo relativo interno ad $A$, allora $Df(x_0)=0$.
Visto che abbiamo detto che un teorema è fatto da un'ipotesi e da una tesi, mi puoi dire quali sono le ipotesi e qual è la tesi?
Io trovo che enunciare i teoremi attraverso frasi di questo tipo e non in maniera schematica mettendo bene in evidenza l'ipotesi e la tesi sia una notevole fonte di confusione.
Grazie per l'aiuto!
1) Sia $f:A sube RR^n->RR$, con $A$ aperto, e sia $x_0 in A$ un punto di massimo o minimo locale per $f$. Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora il gradiente della funzione valutato in quel punto è nullo;
2) Se $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo o di minimo relativo interno all'insieme $A$ e se $f(x,y)$ è dotata di derivate parziali in $(x_0,y_0)$, allora risulta $f_x(x_0,y_0)=0$; $f_y(x_0,y_0)=0$;
3) Se $f:A sube RR^m->RR$ è derivabile in un punto $x_0$ di massimo o di minimo relativo interno ad $A$, allora $Df(x_0)=0$.
Visto che abbiamo detto che un teorema è fatto da un'ipotesi e da una tesi, mi puoi dire quali sono le ipotesi e qual è la tesi?
Io trovo che enunciare i teoremi attraverso frasi di questo tipo e non in maniera schematica mettendo bene in evidenza l'ipotesi e la tesi sia una notevole fonte di confusione.
Grazie per l'aiuto!
Beh, lisdap, quegli enunciati, a parte l'apparente diversità di forma (che è un fatto puramente linguistico, non sostanziale), dicono tutti la stessa cosa... Non vedo che confusione ci possa essere.
Il teorema io lo enuncerei così:
Il teorema io lo enuncerei così:
Siano \(A\subseteq \mathbb{R}^N\) un aperto non vuoto, \(f:A\to \mathbb{R}\) ed \(\bar{x}\in A\).
Se \(\bar{x}\) è un punto di estremo relativo per \(f\) e se \(f\) è derivabile in \(\bar{x}\) (rispetto a tutte le variabili da cui dipende), allora risulta \(\nabla f(\bar{x})=o\) ossia:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_n} (\bar{x}) = 0\qquad \text{per } n=1,\ldots, N\; .
\]
ok...ora quali sono le ipotesi? qual è l'oggetto che deve verificarle? la funzione o il punto?
"lisdap":
ok...ora quali sono le ipotesi? qual è l'oggetto che deve verificarle? la funzione o il punto?
Direi che la funzione deve soddisfare
Siano \(A\subseteq \mathbb{R}^N\) un aperto non vuoto, \(f:A\to \mathbb{R}\)
mentre il punto
\(\bar{x}\in A\).
Se \(\bar{x}\) è un punto di estremo relativo per \(f\)
ed ancora la funzione
\(f\) è derivabile in \(\bar{x}\) (rispetto a tutte le variabili da cui dipende)
che sono le ipotesi. Se tutto questo è verificato, allora vale anche la tesi
\(\nabla f(\bar{x})=0\) ossia:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_n} (\bar{x}) = 0\qquad \text{per } n=1,\ldots, N\; .
\]
Cioè le ipotesi sono:
i) \(A\subseteq \mathbb{R}^N\) un aperto non vuoto, \(f:A\to \mathbb{R}\), \(\bar{x}\in A\)
ii) \(\bar{x}\) è un punto di estremo relativo per \(f\)
iii) \(f\) è derivabile in \(\bar{x}\) (rispetto a tutte le variabili da cui dipende)
mentre la tesi è:
iv) \(\frac{\partial f}{\partial x_n} (\bar{x}) = 0\qquad \text{per } n=1,\ldots, N\; .\)
Perfetto giuliofis, davvero eccellente!!!
Ad essere precisi, io di ipotesi ne ho individuate 5, ma credo che ciò sia dovuto al fatto che tu hai considerato più ipotesi insieme.
IPOTESI:
1) $A$ è un aperto;
2) $x_0 in A$;
3) $x_0$ è un punto di massimo o minimo relativo per $f$;
4) $f:A sube RR^n->RR$;
5) $f$ è derivabile in $x_0$.
TESI
1) gradf(x0)=0.
Ora supponiamo di sostituire ad $A$, $x_0$, $f$, $n$ rispettivamente un insieme, un vettore, una funzione e un numero naturale in modo tale che ogni singola ipotesi sia una proposizione vera. Posso allora immediatamente concludere che sostituendo al posto della $f$ e di $x_0$ nella TESI gli oggetti prima considerati, ottengo una proposizione vera. E' così che funzionano le cose?
Ad essere precisi, io di ipotesi ne ho individuate 5, ma credo che ciò sia dovuto al fatto che tu hai considerato più ipotesi insieme.
IPOTESI:
1) $A$ è un aperto;
2) $x_0 in A$;
3) $x_0$ è un punto di massimo o minimo relativo per $f$;
4) $f:A sube RR^n->RR$;
5) $f$ è derivabile in $x_0$.
TESI
1) gradf(x0)=0.
Ora supponiamo di sostituire ad $A$, $x_0$, $f$, $n$ rispettivamente un insieme, un vettore, una funzione e un numero naturale in modo tale che ogni singola ipotesi sia una proposizione vera. Posso allora immediatamente concludere che sostituendo al posto della $f$ e di $x_0$ nella TESI gli oggetti prima considerati, ottengo una proposizione vera. E' così che funzionano le cose?
"lisdap":
Perfetto giuliofis, davvero eccellente!!!
Ad essere precisi, io di ipotesi ne ho individuate 5, ma credo che ciò sia dovuto al fatto che tu hai considerato più ipotesi insieme.
Sì vabbè, come le enunci le enunci, sempre quelle sono...
"lisdap":
Ora supponiamo di sostituire ad $A$, $x_0$, $f$, $n$ rispettivamente un insieme, un vettore, una funzione e un numero naturale in modo tale che ogni singola ipotesi sia una proposizione vera. Posso allora immediatamente concludere che sostituendo al posto della $f$ e di $x_0$ nella TESI gli oggetti prima considerati, ottengo una proposizione vera. E' così che funzionano le cose?
Direi di sì, sennò che enunci a fare il teorema in quel modo?
DOMANDA A GUGO82: Si può sostituire \(A\text{ aperto}, x_0 \in A\) con \(A\text{ qualsiasi}, x_0 \text{ interno ad }A\), vero? Scusami per la scritta "interno di A" ma non so fare il pallino sopra alla lettera, e io ho sempre indicato così l'insieme dei punti interni ad un insieme...
Sì, si puo' ovviamente.
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