Definizioni matematiche
Tutti i libri universitari di Matematica che ho avuto modo di consultare si limitano a presentare tale disciplina semplicemente enunciando definizioni, teoremi e relative dimostrazioni.
Tra tutti i libri che ho consultato, nessuno si "preoccupa" di spiegare in che modo i matematici sono giunti ad elaborare una certa definizione.
Mi spiego meglio. Non è che un matematico un giorno si è alzato dal letto è ha scritto all'improvviso una definizione; secondo me tutte le definizioni che compaiono sui libri hanno una "storia" dietro, che però non viene mai raccontata. Io credo che essere a conoscenza della storia di una definizione sia fondamentale, in quando tale conoscenza permetterebbe di essere più consapevoli della definizione stessa e della Matematica in generale. Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che ogni definizione ha una storia dietro? E siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!
Tra tutti i libri che ho consultato, nessuno si "preoccupa" di spiegare in che modo i matematici sono giunti ad elaborare una certa definizione.
Mi spiego meglio. Non è che un matematico un giorno si è alzato dal letto è ha scritto all'improvviso una definizione; secondo me tutte le definizioni che compaiono sui libri hanno una "storia" dietro, che però non viene mai raccontata. Io credo che essere a conoscenza della storia di una definizione sia fondamentale, in quando tale conoscenza permetterebbe di essere più consapevoli della definizione stessa e della Matematica in generale. Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che ogni definizione ha una storia dietro? E siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!
Risposte
"ufo.rob":
non c'era nessuna idea di funzione" mi sembra un'affermazione un po' forte, forse si potrebbe dire (o magari volevi dire tu) che non c'era una definizione precisa, come hai detto per il limite che è arrivata dopo.
@Luca Lussardi: condivido quanto detto da ufo.rob.
Il fatto che fino ad una certa data non esisteva la definizione di un concetto matematico non significa che il concetto matematico non esisteva. In altre parole, il fatto che fino all'ottocento la definizione di funzione non c'era non significa che i matematici non avessero in testa il concetto indicato dalla definizione di funzione. E, se come dici tu, fino all'ottocento non si sapeva cosa fosse una funzione, con cosa hanno lavorato i matematici fino a quel periodo? Con fantasmi? Stento a credere che i matematici fino all'ottocento hanno lavorato senza seguire un filo logico!
"ufo.rob":
Newton ha sviluppato il calcolo differenziale e integrale per la sua fisica, Leibniz per quale motivo?
Bella domanda!
"ufo.rob":
La storia di Newton e Leibniz la condivido, è risaputo che siano stati loro i pionieri però "non c'era nessuna idea di funzione" mi sembra un'affermazione un po' forte, forse si potrebbe dire (o magari volevi dire tu) che non c'era una definizione precisa, come hai detto per il limite che è arrivata dopo.
Condivido. Possibile che non avessero in mente un'idea intuitiva di ciò che oggi chiamiamo funzione?
Un po' come per Newton: le flussioni erano un abbozzo delle nostre derivate, non potrebbero le sue quantità fluenti essere un prototipo di funzione?
No, ribadisco che il concetto di funzione come legge tra variabili di cui una dipendente e una indipendente non esisteva; esisteva il concetto di relazione tra variabili che erano solo di natura geometrica, ma non è la stessa cosa. Ed infatti Newton e Leibniz non parlano mai di derivata, che è un concetto che vuole una funzione e restituisce ancora una funzione; parlano invece di flussioni, nel caso di Newton, e di differenziali nel caso di Leibniz: il calcolo di Newton e Leibniz non è il nostro calcolo delle derivate, la derivata arriva solo con Lagrange. Poi è chiaro che se uno vuole vedere l'idea di funzione già presente allora può fare la stessa cosa per tanti concetti matematici, anche l'idea di limite se vogliamo era già presente nei greci con il metodo di esaustione, ma capire il concetto è diverso, e bisogna aspettare Cauchy.
"lisdap":
con cosa hanno lavorato i matematici fino a quel periodo? Con fantasmi? Stento a credere che i matematici fino all'ottocento hanno lavorato senza seguire un filo logico!
Lisdap, secondo me devi "iperfilosofare" di meno, che non significa essere superficiale.
Si può avere un'opinione sulle cose, ma una critica non è un'opinione e si deve fondare su uno studio approfondito. Se quello cerchi sono gli strumenti per approfondire, cercali, ma a mio avviso a volte ti lanci troppo in affermazioni di carattere generale.
@luca.lussardi
Adesso è chiaro anche se è vero che ricostruire i risultati è più facile che ricostruire le idee, l'esempio del metodo di esaustione mi pare esplicativo, i germi del concetto di limite sono antichi ma finché non si sono date definizioni precise e una formalizzazione non si può dire quanto l'avessero capito.
Io a volte mi stupisco di quanto siano recenti cose che a noi sembrano banali e a volte quanto siano antiche cose che sembrano difficili (in realtà questo di meno perché c'è la tendenza a sottovalutare chi è venuto prima, magari nel XXIII secolo nessuno crederà che negli anni '60 del XX secolo l'umanità fosse in grado di mandare un uomo sulla Luna, già adesso le teorie complottiste hanno un certo successo...).
Dato che sembri esperto di storia della matematica vorrei reiterare la domanda su Leibniz (ammesso che si sappia, perché gli sono "usciti" o gli servivano quei concetti?) e chiederti, visto che hai scritto "altro che funzione seno", come le consideravano o chiamavano quelle che oggi chiunque (forse anche chi non sa cos'è una funzione) chiama funzioni trigonometriche? hai accennato a una "relazione tra variabili che erano solo di natura geometrica" ma non mi è chiaro, qualcosa tipo "rapporti geometrici"? tra l'altro visto che hai usato la parola "variabili" adesso inizio a farmi qualche domanda anche su quello...
Adesso è chiaro anche se è vero che ricostruire i risultati è più facile che ricostruire le idee, l'esempio del metodo di esaustione mi pare esplicativo, i germi del concetto di limite sono antichi ma finché non si sono date definizioni precise e una formalizzazione non si può dire quanto l'avessero capito.
Io a volte mi stupisco di quanto siano recenti cose che a noi sembrano banali e a volte quanto siano antiche cose che sembrano difficili (in realtà questo di meno perché c'è la tendenza a sottovalutare chi è venuto prima, magari nel XXIII secolo nessuno crederà che negli anni '60 del XX secolo l'umanità fosse in grado di mandare un uomo sulla Luna, già adesso le teorie complottiste hanno un certo successo...).
Dato che sembri esperto di storia della matematica vorrei reiterare la domanda su Leibniz (ammesso che si sappia, perché gli sono "usciti" o gli servivano quei concetti?) e chiederti, visto che hai scritto "altro che funzione seno", come le consideravano o chiamavano quelle che oggi chiunque (forse anche chi non sa cos'è una funzione) chiama funzioni trigonometriche? hai accennato a una "relazione tra variabili che erano solo di natura geometrica" ma non mi è chiaro, qualcosa tipo "rapporti geometrici"? tra l'altro visto che hai usato la parola "variabili" adesso inizio a farmi qualche domanda anche su quello...
Per i primi analisti il problema essenziale era uno solo, ed era squisitamente geometrico: data una curva piana descritta dall'equazione $P(x,y)=0$ (la nuova geometria di Cartesio è stata l'ispiratrice del calcolo) ci si chiedeva quali relazioni legano tra loro altre quantità geometriche legate alla figura in oggetto. Per esempio, legare tra loro $x$ con l'area sotto la curva fino al punto di ascissa $x$ (questa è la quadratura), o legare tra loro $x$ e la sottotangente, cioè la distanza tra $x$ e l'intersezione tra l'asse $x$ e la tangente alla curva nel punto di ascissa $x$, e questo è il problema delle tangenti. Questo era il compito di Leibniz: determinare, nota $P$, queste altre relazioni. E per far questo Leibniz inventa gli operatori $d$ e $\int$ ("differentiale" e "summa") come passaggio "infinitesimale" di operatori $\Delta$ e $\Sigma$ definiti su successioni di numeri. In realtà questi passaggi erano già nell'aria da alcuni anni, ma il grosso contributo di Leibniz, e anche di Newton, è stato quello di trovare le regole di calcolo, cioè per esempio dire che $d(x+y)=dx+dy$ o $d(xy)=ydx+xdy$, e questo semplificava moltissimo i conti perché riconduceva il calcolo differenziale su relazioni complesse a semplici regole meccaniche. Le relazioni semplici erano polinomi o sviluppi in serie infinita di polinomi, è come se per gli analisti di quel tempo tutte le funzioni fossero analitiche. Questo punto di vista è poco presente in Leibniz che infatti non risolve il problema della quadratura essendo incapace di integrare certe relazioni; Newton invece scrive come sviluppo in serie ogni relazione $P(x,y)$ e dunque "integra" termine a termine, risolvendo così ogni problema di quadratura, ma lasciano incerto cosa sia il risultato della quadratura, non avendo uno strumento che permettesse di decifrare la serie integrata ottenuta.
Questo è a grandi linee quello che loro si erano proposti di fare, e da qui pian piano si è costruito tutto il resto.
Questo è a grandi linee quello che loro si erano proposti di fare, e da qui pian piano si è costruito tutto il resto.
Adesso è chiaro. Allora, adesso che ci faccio caso, Leibniz non può aver scritto quello che dice gugo sulla derivazione del prodotto visto che lì i simboli riguardano le funzioni anche se immagino che sia possibile che Leibniz abbia fatto un errore legato a quello.
@lisdap
Mi sembra strano, il concetto di retta tangente mi sembra abbastanza intuitivo e rende la definizione di derivata meno asettica, proprio quello che volevi tu. Forse però ho capito: con il cerchio è facile, un solo punto in comune, con un grafico anche quella che chiamiamo tangente può intersecare il grafico in altri punti. Perché chiamarla tangente? Non lo so. Nonostante questo mi sembra abbastanza intuitivo (anche se ho la sensazione che una definizione che non usi le derivate sia abbastanza complicata). A volte si fa riferimento alla pendenza, sul Bramanti Pagani Salsa per il nuovo ordinamento se non ricordo male si parte dalla percentuale di pendenza sul cartello stradale (che riguarda un tratto) come esempio e poi si arriva a definire la pendenza in un punto.
@lisdap
"lisdap":
libri di Analisi introducono questi concetti facendo un discorso geometrico (retta tangente ecc...) che io però non condivido (che significa retta tangenteal grafico di una funzione?).
Mi sembra strano, il concetto di retta tangente mi sembra abbastanza intuitivo e rende la definizione di derivata meno asettica, proprio quello che volevi tu. Forse però ho capito: con il cerchio è facile, un solo punto in comune, con un grafico anche quella che chiamiamo tangente può intersecare il grafico in altri punti. Perché chiamarla tangente? Non lo so. Nonostante questo mi sembra abbastanza intuitivo (anche se ho la sensazione che una definizione che non usi le derivate sia abbastanza complicata). A volte si fa riferimento alla pendenza, sul Bramanti Pagani Salsa per il nuovo ordinamento se non ricordo male si parte dalla percentuale di pendenza sul cartello stradale (che riguarda un tratto) come esempio e poi si arriva a definire la pendenza in un punto.
Si, le regole di calcolo di Leibniz erano corrette, per quanto formali.
Cosa vuol dire corrette per quanto formali?
Formali nel senso che il calcolo non era fondato su definizioni logicamente consistenti: i $dx$ di Leibniz non avevano una definizione coerente, ma le proprietà di calcolo erano corrette.
Volevo ritornare un attimo sulla definizione di funzione. Più leggo il libro di storia della matematica di C. B. Boyer e più mi rendo conto di come sia assurdo e senza logica pensare che fino alla metà dell'ottocento (anno in cui fu data una definizione di funzione), i matematici non sapessero cosa fosse una funzione. Il fatto che fino all'ottocento non esistesse una definizione di funzione non significa che i matematici precedenti a questa data non conoscessero ciò che è indicato dal termine funzione. E' un pò come dire che fino a quando non venne data una definizione della parola lampadina nessuno avesse mai avuto a che fare con ciò che è indicato dal termine lampadina e non sapesse come essa funzionasse. Davvero non riesco a credere che i matematici antecedenti all'ottocento non avessero in testa il concetto di scatoletta che prende in entrata un numero e restituisce un altro numero...davvero non ci credo....
Per quanto possa sembrarti strano è così. Ma non è sorprendente che molti concetti che a noi oggi sembrano ovvi non lo erano affatto quando questi concetti non erano noti. La tua definizione della scatoletta poi è arrivata solo con Richard Dedekind, che è stato il primo a scrivere proprio quelle parole, cioé che una funzione è una legge che ad un valore di una variabile detta indipendente ne associa uno ed un solo altro di una variabile detta dipendente.
@gugo82: rispondo qui visto che è il topic più adatto. Credo di avere in serbo delle novità. Non so se sono compatibili con ciò che ho detto ieri nell'altro post, ma spero di si.
Mi sono accorto che le definizioni matematiche hanno la stessa struttura di un teorema. Mi spiego. Consideriamo due proposizioni vere, ad esempio:
1) oggi è il 30/11/2012;
2) L'Italia è una penisola.
Allora le due frasi "se oggi è il 30/11/2012, allora l'Italia è una penisola" e "se l'Italia è una penisola, oggi è il 30/11/2012" sono entrambe vere, giusto? In altri termini, la frase "oggi è il 30/11/2012 se e solo se l'Italia è una penisola" è vera.
Fin qui spero di non aver detto cavolate.
Ora consideriamo quella figura che sta nell'altro post in cui è raffigurata un cerchio rosso pieno con un punto al centro. Come avevo detto ieri, qualche matematico ha formulato, in modo naturale, la proposizione: "l'insieme rosso è un intorno del punto di colore nero". Tale proposizione si prende per vera. A questo punto è stato osservato che il sottoinsieme di $RR^n$ di colore rosso può essere espresso analiticamente mediante la disequazione $|x-x_0|0$, dove $x_0$ è il punto nero. Quindi la proposizione "il sottoinsieme di $RR^n$ rosso è della forma $|x-x_0|0$" è vera.
Di conseguenza, la proposizione "se il sottoinsieme di $RR^n$ rosso è della forma $|x-x_0|0$, allora l'insieme rosso è un intorno di $x_0$" (piccolo ovvio teorema) è ovviamente vera, in questo caso. Fatto questo, è possibile generalizzare e dedurre, dall'ultima proposizione vera, la proposizione "se il sottoinsieme di $RR^n$ è della forma $|x-x_0|0$, allora esso è un intorno del punto $x_0$" (quest'ultima frase è la definizione che sta sui libri). La frase appena scritta è composta da una parte quale "esso è un intorno del punto $x_0$", vera a prescindere, e da una parte "il sottoinsieme di $RR^n$ è della forma $|x-x_0|0$", che può essere vera o falsa. La definizione, cioè quella proposizione per intero risulta dunque VERIFICATA se si dimostra che è vera la seconda parte "il sottoinsieme di $RR^n$ è della forma $|x-x_0|0$".
A questo punto è possibile "giocare" con la definizione, ciò che comunemente capita negli esercizi; si prende un sottoinsieme di $RR^n$ e ci si "diverte" nel dimostrare che esso può essere descritto dalla disequazione $|x-x_0|0$, quindi si verifica la definizione. Spero di essermi spiegato. Grazie!
Mi sono accorto che le definizioni matematiche hanno la stessa struttura di un teorema. Mi spiego. Consideriamo due proposizioni vere, ad esempio:
1) oggi è il 30/11/2012;
2) L'Italia è una penisola.
Allora le due frasi "se oggi è il 30/11/2012, allora l'Italia è una penisola" e "se l'Italia è una penisola, oggi è il 30/11/2012" sono entrambe vere, giusto? In altri termini, la frase "oggi è il 30/11/2012 se e solo se l'Italia è una penisola" è vera.
Fin qui spero di non aver detto cavolate.
Ora consideriamo quella figura che sta nell'altro post in cui è raffigurata un cerchio rosso pieno con un punto al centro. Come avevo detto ieri, qualche matematico ha formulato, in modo naturale, la proposizione: "l'insieme rosso è un intorno del punto di colore nero". Tale proposizione si prende per vera. A questo punto è stato osservato che il sottoinsieme di $RR^n$ di colore rosso può essere espresso analiticamente mediante la disequazione $|x-x_0|
Di conseguenza, la proposizione "se il sottoinsieme di $RR^n$ rosso è della forma $|x-x_0|
A questo punto è possibile "giocare" con la definizione, ciò che comunemente capita negli esercizi; si prende un sottoinsieme di $RR^n$ e ci si "diverte" nel dimostrare che esso può essere descritto dalla disequazione $|x-x_0|
"lisdap":
@gugo82: rispondo qui visto che è il topic più adatto. Credo di avere in serbo delle novità. Non so se sono compatibili con ciò che ho detto ieri nell'altro post, ma spero di si.
Mi sono accorto che le definizioni matematiche hanno la stessa struttura di un teorema. Mi spiego. Consideriamo due proposizioni vere, ad esempio:
1) oggi è il 30/11/2012;
2) L'Italia è una penisola.
Allora le due frasi "se oggi è il 30/11/2012, allora l'Italia è una penisola" e "se l'Italia è una penisola, oggi è il 30/11/2012" sono entrambe vere, giusto? In altri termini, la frase "oggi è il 30/11/2012 se e solo se l'Italia è una penisola" è vera.
Fin qui spero di non aver detto cavolate.
Ora consideriamo quella figura che sta nell'altro post in cui è raffigurata un cerchio rosso pieno con un punto al centro.
Sinceramente mi annoiano un po' queste questioni e faccio fatica a seguire di solito (gusti miei). Però, ad occhio, direi che la frase ovviamente non è "vera". Nel senso: la frase vorrebbe dirmi che l'essere una penisola dipende dal giorno? E che se è vero che l'Italia è una penisola allora oggi è il 30 Novembre? (quindi per noi è sempre il 30 Novembre? Non usando il nostro calendario, però).
... Magari mi sfugge qualche trucchetto di Logica: in tal caso sarei molto sorpreso. Forse dovresti ripensare alla cosa.
Le lingue naturali danno per scontato molte cose temporali, situazionali, culturali... La frase ‘Oggi piove’, dà per scontato che tutti sappiamo che giorno sia oggi e il posto in cui ci troviamo. Queste cose rendono difficile la comprensione di un messaggio, anche molto semplice, se letto fuori dal contesto, da persone con culture diverse oppure senza alcune informazioni. Tra l'altro sconsiglio vivamente l'uso di parole che si riferiscono alla situazione e al contesto in esempi di logica: rendono la formula logica dipendente da un parametro!
In parte anche in matematica ci sono cose di questo tipo. Un teorema di algebra commutativa per esempio spesso dà per scontato che un anello sia con unità e commutativo. Se non ci fosse segnato all'inizio del libro che le cose stanno così un matematico potrebbe leggere il libro e dire che è pieno di errori. Questa è fondamentalmente la ragione per cui abbiamo bisogno delle definizioni, per metterci tutti d'accordo su quello che stiamo parlando. Questo è qualcosa che va al di là di tutti gli aspetti logici. Non possiamo comunicare senza che ci sia un terreno comune.
In parte anche in matematica ci sono cose di questo tipo. Un teorema di algebra commutativa per esempio spesso dà per scontato che un anello sia con unità e commutativo. Se non ci fosse segnato all'inizio del libro che le cose stanno così un matematico potrebbe leggere il libro e dire che è pieno di errori. Questa è fondamentalmente la ragione per cui abbiamo bisogno delle definizioni, per metterci tutti d'accordo su quello che stiamo parlando. Questo è qualcosa che va al di là di tutti gli aspetti logici. Non possiamo comunicare senza che ci sia un terreno comune.
@vict85: ciao, sei d'accordo sul fatto che le definizioni matematiche hanno la struttura del "se...allora", come quella di un teorema (tuttavia, a differenza di quest'ultimo, sono ovviamente vere...in altre parole non c'è nulla da dimostrare)?
Le definizioni matematiche nascono a seguito dell'applicazione della LOGICA alla matematica?
Le definizioni matematiche nascono a seguito dell'applicazione della LOGICA alla matematica?
Lisdap, la struttura delle definizioni non è quella di un teorema, seppure esse si assomigliano.
La struttura di una definizione è qualcosa del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora io dico che tale oggetto è uno sfrunzolo"; la struttura di un teorema è del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora esso ne soddisfa pure altre".
Ora, mentre un'implicazione del secondo tipo va dimostrata, una (pseudo)implicazione del primo tipo non necessita di alcuna dimostrazione, perché essa istituisce semplicemente un uso linguistico del termine "sfrunzolo".
La struttura di una definizione è qualcosa del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora io dico che tale oggetto è uno sfrunzolo"; la struttura di un teorema è del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora esso ne soddisfa pure altre".
Ora, mentre un'implicazione del secondo tipo va dimostrata, una (pseudo)implicazione del primo tipo non necessita di alcuna dimostrazione, perché essa istituisce semplicemente un uso linguistico del termine "sfrunzolo".
Io differenzierei l'aspetto logico della comunicazione matematica da quello matematico.
Quando diciamo che, per esempio, una funzione è continua, noi non ci riferiamo specificamente ad una particolare definizione ma ad un insieme equivalente di definizioni. In pratica ogni volta che c'é un teorema del tipo f continua se e solo se f ha questa probabilità, noi ampliamo ciò che vuol dire essere una funzione continua. Il concetto "funzione continua" ingloba tutte le proprietà di una funzione continua (anche quelle che non conosciamo).
D'altra parte nel momento in cui dobbiamo comunicare e verificare la matematica abbiamo bisogno di metterci d'accordo su che concetto matematico sia associato alla locuzione "funzione continua". A questo punto abbiamo bisogno di selezionare una particolare proprietà e associarla al termine scelto.. Un teorema è invece una affermazione su una particolare situazione che sappiamo essere vera (e possiamo dimostrarlo con procedimenti logici). Risulta comunque impossibile esprimere l'insieme delle definizioni equivalenti nel suo complesso, il sceglierne un elemento che lo rappresenti è il modo più sensato di farlo.
Quando diciamo che, per esempio, una funzione è continua, noi non ci riferiamo specificamente ad una particolare definizione ma ad un insieme equivalente di definizioni. In pratica ogni volta che c'é un teorema del tipo f continua se e solo se f ha questa probabilità, noi ampliamo ciò che vuol dire essere una funzione continua. Il concetto "funzione continua" ingloba tutte le proprietà di una funzione continua (anche quelle che non conosciamo).
D'altra parte nel momento in cui dobbiamo comunicare e verificare la matematica abbiamo bisogno di metterci d'accordo su che concetto matematico sia associato alla locuzione "funzione continua". A questo punto abbiamo bisogno di selezionare una particolare proprietà e associarla al termine scelto.. Un teorema è invece una affermazione su una particolare situazione che sappiamo essere vera (e possiamo dimostrarlo con procedimenti logici). Risulta comunque impossibile esprimere l'insieme delle definizioni equivalenti nel suo complesso, il sceglierne un elemento che lo rappresenti è il modo più sensato di farlo.
Ciao, allora, passiamo direttamente al pratico con un esempio. Cerchiamo di capire come viene fuori la definizione di intorno sferico. Immaginatevi nel piano cartesiano una circonferenza piena esclusa il bordo (insieme A) e il punto al suo centro avente certe coordinate (ad esempio, (2,3)). Qualche matematico un giorno avrà analizzato questa situazione e avrà enunciato la proposizione VERA: "l'insieme A è un intorno sferico del punto $(2,3)$". Poi avrà studiato un altro insieme, ad esempio una sfera piena in $RR^3$ esclusa la parte superficiale (insieme B) e avrà considerato il punto al centro della sfera di coordinate $(8,9,6)$, enunciando la propozione che si prende per VERA: "l'insieme B è un intorno sferico del punto $(8,9,6)$.
Il matematico avrà anche preso sulla retta $RR$ un segmento espresso analiticamente dalla disequazione $00$. In altre parole, la proposizione "l'insieme A è del tipo ${x in RR^2 : |x-(2,3)|0$" è vera;
2) l'insieme B può essere espresso analiticamente dalle soluzioni della disequazione $|x-(8,9,6)|0$. In altre parole, la proposizione "l'insieme B è del tipo ${x in RR^3 : |x-(8,9,6)|0$" è vera;
3) l'insieme c può essere espresso analiticamente dalle soluzioni della disequazione $|x-4|0$. In altre parole, la proposizione "l'insieme C è del tipo ${x in RR^2 : |x-4|0$" è vera.
DI conseguenza, per le regole dell'implicazione logica, si deducono le tre proposizioni vere:
1) Se l'insieme A è del tipo ${x in RR^2 : |x-(2,3)|0$, allora l'insieme A è un intorno sferico del punto $(2,3)$;
2) Se l'insieme B è del tipo ${x in RR^3 : |x-(8,9,6)|0$, allora l'insieme B è un intorno sferico del punto $(8,9,6)$;
3) Se l'insieme C è del tipo ${x in R : |x-4|0$, allora l'insieme C è un intorno sferico del punto $4$.
Ognuna di queste tre proposizioni vere secondo me rappresenta una definizione particolare. Osserviamo infine che queste tre proposizioni possono essere condensate nella proposizione generale vera "Se l'insieme U è del tipo ${x in R^n : |x-x_0|0$, allora l'insieme U è un intorno sferico del punto $x_0$", con $U$ sottoinsieme di $RR^n$ e $x_0 in R^n$. Tutto questo discorso l'ho fatto per farmi un'idea su come può essere ricavata una definizione matematica. Spero di non aver detto castronerie!
Il matematico avrà anche preso sulla retta $RR$ un segmento espresso analiticamente dalla disequazione $0
2) l'insieme B può essere espresso analiticamente dalle soluzioni della disequazione $|x-(8,9,6)|
3) l'insieme c può essere espresso analiticamente dalle soluzioni della disequazione $|x-4|
DI conseguenza, per le regole dell'implicazione logica, si deducono le tre proposizioni vere:
1) Se l'insieme A è del tipo ${x in RR^2 : |x-(2,3)|
2) Se l'insieme B è del tipo ${x in RR^3 : |x-(8,9,6)|
3) Se l'insieme C è del tipo ${x in R : |x-4|
Ognuna di queste tre proposizioni vere secondo me rappresenta una definizione particolare. Osserviamo infine che queste tre proposizioni possono essere condensate nella proposizione generale vera "Se l'insieme U è del tipo ${x in R^n : |x-x_0|
La necessità di definire per bene la distanza (in altre parole la misura di una lunghezza) è stato evidenziato da Archimede, d'altra parte il concetto di sfera come insieme di punti equidistanti da un particolare punto era conosciuto anche prima. Quindi il concetto di intorno sferico è qualcosa che è più antico dell'analisi e certo non necessità l'uso della geometria affine. Si può fare anche in una geometria in cui non c'é un concetto di misura della distanza ma solo di rapporti tra distanze (come tra l'altro è proposto dall'assioma di archimede). Gran parte della geometria si può tra l'altro trascrivere in una geometria di questo tipo (in cui il gruppo di trasformazioni è dato dalle similitudini).
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