Definizioni matematiche

[Sk_Anonymous]

Tutti i libri universitari di Matematica che ho avuto modo di consultare si limitano a presentare tale disciplina semplicemente enunciando definizioni, teoremi e relative dimostrazioni.
Tra tutti i libri che ho consultato, nessuno si "preoccupa" di spiegare in che modo i matematici sono giunti ad elaborare una certa definizione.
Mi spiego meglio. Non è che un matematico un giorno si è alzato dal letto è ha scritto all'improvviso una definizione; secondo me tutte le definizioni che compaiono sui libri hanno una "storia" dietro, che però non viene mai raccontata. Io credo che essere a conoscenza della storia di una definizione sia fondamentale, in quando tale conoscenza permetterebbe di essere più consapevoli della definizione stessa e della Matematica in generale. Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che ogni definizione ha una storia dietro? E siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!

[gugo82]

Lisdap, ti stai ostinando a confondere implicazioni "formali" (i.e., i teoremi) con pseudo-implicazioni (i.e., le definizioni).

Le definizioni non sono implicazioni "formali"; sono un fatto puramente linguistico, poiché chiariscono l'uso di uno o più termini.
La grammatica italiana, tuttavia, vuole che sia impossibile distinguere tra la struttura grammaticale di un teorema e quella di una definizione. Ma questo non è un problema matematico.

Ad esempio, si potrebbe fare anche questo gioco qui:

Si dice che un insieme \(I\subseteq \mathbb{R}^2\) è un intorno quadrato del punto \((x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2\) se esiste un numero \(r>0\) tale che \(I=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2
Ogni insieme \(I\) che sia intorno quadrato di qualche punto \((x_0,y_0)\) si chiama corona ellittica; il punto, \((x_0,y_0)\) si dice asse della corona ellittica \(I\) ed il numero \(r\) si chiama perimetro di \(I\).

Con questa definizione puoi fare tutto ciò che fai di solito: basta solo usare, al posto dei soliti termini, quelli introdotti nella definizione.

Capisci adesso perché qui ho citato Humpty Dumpty?

[Sk_Anonymous]

Si, sono d'accordo. Sono stato tutto il giorno a ragionare sulla questione e stavolta credo di aver capito veramente. La versione precedente del mio "pensiero", che ho espresso questa mattina, devo dire che non mi ha mai convinto al 100%. Credo che tale versione mi sia stata suggerita dal modo che il libro utilizza nel formulare una definizione (e cioé nel farla sembrare simile ad un teorema, come se avesse usato l'implicazione logica). Veniamo comunque al dunque.
La prima fase di sviluppo del linguaggio umano nè consistita nell'associare inizialmente versi e successivamente, in una fase più matura, parole elementari ai vari oggetti della realtà e alle varie sensazioni percepibili attraverso i sensi. Ad esempio, mmaginatevi un cerchio: a quest'oggetto è stata associata la parola "cerchio"; immaginatevi un albero: a quest'entità è stata associata la parola "albero"; immagenatevi un fuoco: a quest'oggetto è stato associao il termine "fuoco", e così via. Dopo anni e anni di evoluzione, l'uomo ha sviluppato un linguaggio molto più elaborato e complicato, e quindi non si è più limitato ad associare alle varie entità semplici parole, ma DICITURE più complesse. Ad esempio, immagintevi un aratro. Inizialmente, quando ancora l'uomo non era padrone del linguaggio, ha associato a quest'oggetto una dicitura molto semplice, "aratro" appunto. Ora che però l'uomo è diventato padrone del linguaggio, ha associato all'oggetto aratro la dicitura "oggetto che permette di smuovere la terra", e così via. Ad esempio, a ciò che egli prima aveva indicato elementarmente come fuoco, ha associato: "bagliore provocato dalla combustione della legna".
Il procedimento di partire dall'assegnare a un certo oggetto termini elementari (visto che il linguaggio era ad uno stadio primitivo) e successivamente diciture più complesse, è seguito ancora oggi. Ad esempio, immaginatevi l'oggetto indicato dal termine "telefonino". A quest'oggetto è stato prima assegnato il termine elementare "telefonino", appunto, e poi una dicitura più complessa quale ad esempio "oggetto che consente di mettere in comunicazione a distanza due persone". E' inoltre evidente come la seconda dicitura siia molto più efficace nel far comprendere a cosa ci si sta riferendo, rispetto alla semplice parola "telefonino".
Veniamo ora alla matematica. Anche nella matematica è stato seguito un processo simile, anche se quando l'uomo ha iniziato a fare matematica "sul serio" (vedi i Greci), il linguaggio era sviluppato quasi come quello nostro. Dicevo che anche in matematica è stato seguito un processo simile. Ad esempio, pensate alla figura geometrica indicata dal termine parabola. Questa figura è stata studiata per la prima volta dai Greci, e ad essa costoro hanno assegnato appunto il termine "parabola". Successivamente, oltre a questa dicitura semplice, se ne sono affiancate di più complesse. Ad esempio, "curva ottenuta dall'intersezione di un cono con un piano", "linea generata da punti che distano in egual misura da un punto e una retta", "luogo di punti del piano che soddisfa l'equazione $y=ax^2+bx+c$". Quest'ultima dicitura ovviamente è stata formulata con l'introduzione della geometria analitica e il concetto di coordinata. RIcapitolando, dunque, all'oggetto indicato dal termine parabola sono associate quattro diciture:
1) parabola;
2) curva generata dall'intersezione di un cono con un piano;
3) linea generata da punti che distano in egual misura da un punto e una retta;
4) luogo di punti che soddisfa l'equazione $y=ax^2+bx+c$.
E' evidente come la dicitura più semplice sia "parabola". Osserviamo che fra le 4 diciture, la prima (parabola) è l'unica che non consente di individuare in maniera univoca e precisa l'oggetto in questione. Le altre tre diciture, invece, (in particolare l'ultima), fanno comprendere inequivocabilmente l'oggetto al quale ci si sta riferendo. Potremmo dunque dire che la dicitura "parabola" è inutile, in quanto oltre ad essere ambigua (la parabola è anche un'antenna ecc...), non ha senso matematico. Le altre tre diciture rimanenti invece sono molto efficaci nell'indicare l'oggetto in questione. Il termine parabola si puotrebbe allora "buttare" nella spazzatura, visto che non mi serve a niente....oppure si può "salvare" IDENTIFICANDOLO con una delle tre diciture rimanenti. Ad esempio, potrei identificare il termine "parabola" con "luogo dei punti del piano che soddisfa y=ax^2....". Questo significa che, ogni volta che io pronuncio il termine "parabola", sto pronunciando "insieme dei punti del piano che soddisfano $y=ax^2+bx+c$". Questo fatto viene espresso con una roba del tipo
parabola: luogo dei punti del piano che soddisfa l'equazione $y=ax^2+bx+c$, oppure come dicono sempre i libri con una frase del tipo "si dice parabola il luogo dei punti del piano che soddisfa ecc....". Questa roba è la definizione matematica.
Quanto invece agli intorni sferici, il discorso è questo. Immaginatevi una sfera piena senza pelle e il punto al centro di coordinate $(7,9,8)$. Il matematico che ha studiato questa situazione avrà detto:"l'insieme A è un intorno sferico del punto $(7,9,8)$. Tuttavia, questa dicitura non significa niente dal punto di vista matematico, in quanto non mi permette di inquadrare per bene la situazione. Allora i matematici si sono sforzati di individuare una proprietà che permettesse di inquadrare in maniera precisa er univoca quella situazione. La proprietà che hanno trovato, è: "l'insieme A è del tipo ${x in RR^3: |x-(7,9,8)|<4}$. Alla nostra situazione geometrica risultano dunque associate due diciture:
1) "l'insieme A è un intorno sferico del punto $(7,9,8)$;
2) l'insieme A è del tipo ${x in RR^3: |x-(7,9,8)|<4}$. La prima permette di capuire a cosa mi riferisco, la seconda no. La seconda, però, può essere "salvata" IDENTIFICANDOLA con la prima, e quindi dando la definizione:
intorno sferico di x_0: insieme del tipo |x-x_0|0
oppure, come dicono i libri, "se un insieme è del tipo |x-x_0|0, allora si dice che è un intorno sferico di x0". Spero di averci azzeccato ora:)
Scusate eventuali errori di battitura!

[gugo82]

A parte lo sproloquio, direi che ci sei.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":A parte lo sproloquio, direi che ci sei.

Ciao, ok grazie
In caso di altri "problemi" non esiterò certo a postare!

[Sk_Anonymous]

Quanto alla definizione di funzione, che tanto mi ha assillato, è plausibile questo discorso (lo faccio sintetico, per non tediarti troppo), circa il reale andamento delle cose?
Dopo lo sviluppo da parte dell'uomo del concetto di numero (suggerito da problemi di vita quotidiana, ad esempio il pastore che deve assicurarsi di non aver perso nessuna pecora dal mattino alla sera), situazioni empiriche (ma anche matematiche, vedi le cause della nascita dei logaritmi) conducono allo sviluppo di particolari oggetti astratti, ai quali viene assegnato il termine "funzione". Successivamente si osserva che tali oggetti indicati dal termine "funzione" hanno la proprietà di essere delle "leggi, scatole nere (come dice il mio libro) che prendono in entrata numeri (o coppie, terne ecc...) e restituiscono univocamente numeri (o coppie o terne)." E' chiaro come questa proprietà permette di capire molto meglio l'oggetto con il quale si ha a che fare di quanto non faccia il semplice termine "funzione". Di conseguenza si identifica il termine funzione con "legge che permette di associare ecc....", cioè si dà una definizione. Potrebbe andare?

[vict85]

Sinceramente penso che il concetto di funzione sia nato in fisica e sia stato poi trasportato all'interno della matematica.

Sinceramente comunque mi sfugge il tuo interesse per concetti così elementari e "semplici".

[Luca.Lussardi]

A me non sfugge affatto, anzi io pure ce l'ho, e in realtà è proprio nei concetti a noi oggi così semplici che si nascondono le idee che hanno fatto progredire la matematica: per esempio, è proprio quando gli analisti hanno capito la definizione di funzione che è stata formalizzata la definizione di limite e quindi è stata finalmente fondata in modo rigoroso l'analisi.

[vict85]

"Luca.Lussardi":A me non sfugge affatto, anzi io pure ce l'ho, e in realtà è proprio nei concetti a noi oggi così semplici che si nascondono le idee che hanno fatto progredire la matematica: per esempio, è proprio quando gli analisti hanno capito la definizione di funzione che è stata formalizzata la definizione di limite e quindi è stata finalmente fondata in modo rigoroso l'analisi.

Si, ma parliamo dell'800. Questi concetti hanno subito profondi mutamenti da allora. Quello che mi chiedevo era perché il suo interesse nell'approccio ottocentesco. Mi sembrava più che altro un interesse storico e logico-fondazionalista che analitico. Quello che mi chiedevo non era tanto come mai cercasse di capire meglio i concetti ma come mai facesse ipotesi sulle modalità in cui si era arrivati a questa definizione, quando poteva leggersi le cose su un libro di storia della matematica.
D'altra parte alcuni di questi concetti hanno quel significato solo nei primi corsi, dopo di che lo stesso concetto lo si trova in varie altre forme.

In questo articolo Thurston si pone il problema di come le persone “capiscono” la matematica e fa l'esempio con la derivata. Dopo una serie di concetti che conosciamo tutti (impostazione infinitesima, impostazione simbolica, impostazione analitica/rapporto incrementale, approssimazione per funzioni lineari e varie altre simili) conclude dicendo che

"Thurston":The list continues; there is no reason for it ever to stop. A sample entry further down the list may help illustrate this. We may think we know all there is to say about a certain subject, but new insights are around the corner. Furthermore, one person’s clear mental image is another person’s intimidation:

[*:1nrkugco] The derivative of a real-valued function \(f\) in a domain \(D\) is the Lagrangian section of the cotangent bundle \(T^∗(D)\) that gives the connection form for the unique flat connection on the trivial \(R\)-bundle \(D \times R\) for which the graph of \(f\) is parallel.[/*:m:1nrkugco][/list:u:1nrkugco]

Il puntino nel testo era sostituito da un 37 ma non sapevo come si scriveva sul forum.

Immagino che questa definizione mostri come la matematica non sia affatto un albero che da pochi assiomi cresce ma un oggetto molto più esotico, che è aggrappato da varie parti e che si aggroviglia su se stesso in molti modi strani e inaspettati. Sinceramente trovo che limitarsi ad una visione storico-elementare della nascita dei concetti sia una grossa limitazione alle nostre possibilità di esplorazione e scoperta della matematica.

[gugo82]

@ vict85: Questa definizione mostra solamente come un oggetto elementare (i.e., la derivata) possa essere inquadrato in una teoria più generale (i.e., quella dei fibrati).

Una definizione del genere è un esercizio di stile e non aggiunge nulla alle conoscenza del "principiante" che si approccia al Calcolo Differenziale; però, in compenso, aggiunge qualcosa alla comprensione delle sezioni lagrangiane di un lettore "esperto" (proprio perché un lettore "esperto" ha più familiarità con le derivate classiche che con le sezioni).

[smaug1]

"lisdap":Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!

Probabilmente sarà facilitato però penso tutto ciò si faccia in storia della matematica e non può esserti insegnata in analisi perché già in 3 mesi è difficile finire i programmi figuriamoci se ad ogni enunciato, criterio o teorema si raccontasse come è venuto fuori...

[Sk_Anonymous]

"lisdap":Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!

Secondo me no. È meglio presentare gli argomenti secondo uno sviluppo puramente logico, e non tramite un approccio storiografico poiché questo può portare fuori strada.
Chi vuol studiare la storia della matematica e delle scienze, lo faccia in corsi appositi.

[smaug1]

"giuliofis":
Secondo me no. È meglio presentare gli argomenti secondo uno sviluppo puramente logico, e non tramite un approccio storiografico poiché questo può portare fuori strada.
Chi vuol studiare la storia della matematica e delle scienze, lo faccia in corsi appositi.

Questo intendevo

[vict85]

"gugo82":@ vict85: Questa definizione mostra solamente come un oggetto elementare (i.e., la derivata) possa essere inquadrato in una teoria più generale (i.e., quella dei fibrati).

Una definizione del genere è un esercizio di stile e non aggiunge nulla alle conoscenza del "principiante" che si approccia al Calcolo Differenziale; però, in compenso, aggiunge qualcosa alla comprensione delle sezioni lagrangiane di un lettore "esperto" (proprio perché un lettore "esperto" ha più familiarità con le derivate classiche che con le sezioni).

Certo, un principiante non ha in alcun modo la possibilità di capire la definizione. D'altra parte ci sono connessioni tra vari ambiti molto più "elementari". In ogni caso io ritengo che ogni nuova generalizzazione di un concetto ti fornisce nuove conoscenza anche del concetto iniziale: ovviamente un concetto che conosci già aiuta a capirne altri ma ritengo che nel cercare di capire gli altri esplori un po' di più ciò che sai su quello iniziale e ne vedi, alle volte, aspetti che non avevi notato prima.

Xgiuliofis: anche secondo me insegnare il modo in cui Newton e Leibniz vedevano limiti e derivate è ‘pericoloso’. Inoltre il concetto di infinitesimo è ‘visualizzabile’ su \(\mathbb{R}^n \), ma secondo me molto meno su spazi di Banach più generali. Tutto sommato il modo di vedere le cose topologico/metrico lo trovo molto più “naturale”.

[Sk_Anonymous]

"vict85":
ma come mai facesse ipotesi sulle modalità in cui si era arrivati a questa definizione, quando poteva leggersi le cose su un libro di storia della matematica.

Ciao, semplicemente per il fatto che l'unico libro di storia della matematica (il Boyer) di cui dispongo non insiste tanto su quest'aspetto. Ecco perché sono costretto a fare delle ipotesi sulla modalità in cui si è arrivati a una certa definizione, perché il testo che possiedo non si sofferma su quest'aspetto.

RItornando alle definizioni, si può dire questo?
L'esigenza di rigore che in tempi recenti si è sentita in Matematica ha evidenziato la necessità di sostituire le varie diciture (associate a oggetti, concetti ecc...) formulate attraverso il linguaggio parlato con diciture aventi un significato matematico. In altre parole, le diciture formulate nel linguaggio quotidiano sono state ritenute prive di significato, e sostituite dunque con frasi aventi un senso matematico. SOno così nate le definizioni matematiche, consistenti nell'identificazione delle prime diciture (quelle espresse nel linguaggio umano) con le seconde (aventi significato matematico). Può andare bene?
Grazie!

[Sk_Anonymous]

UP!

[vict85]

La ricerca del rigore non penso si possa limitare all'ultimo secolo. L'ultimo secolo ha più che altro portato ad un approccio più sistematico e meno ‘filosofico’ alla logica. Per certi versi più “meccanico”. In ogni caso non direi che i termini hanno perso il loro significato originario, vi è più che altro una maggiore attenzione nell'evitare un uso indiscriminato della nostra comprensione personale del concetto rispetto a proprietà di risaputa veridicità. Le definizioni esistevano anche in Euclide. D'altra parte euclide dava per scontate alcune proprietà degli oggetti che aveva definito.

[Sk_Anonymous]

Ciao, si, diciamo che sono d'accordo. Secondo te è valido questo discorso?
"Nel momento in cui in Matematica si ha a che fare con un nuovo oggetto, con una nuova entità, si associa a questa un nome.
Successivamente, poiché il nome non permette di sapere in modo preciso a quale oggetto si fa riferimento, i matematici si preoccupano di individuare una proprietà dell'entità in questione in modo tale che, conoscendo questa proprietà, si è in grado si sapere ciò di cui si sta parlando". Se questo discorso è vero, ci si potrebbe chiedere perché i matematici continuino a operare in questo modo, e cioé ad associare ai nuovi oggetti che vengono scoperti prima un nome, una breve dicitura, e poi una proprietà più lunga e complicata da enunciare. La risposta secondo me sta nel fatto che è comodo avere associata a un certo oggetto una dicitura sintetica (il nome appunto), che però non permette di individuare l'entità in modo preciso (e per risolvere questo problema si ricerca appunto una proprietà più complicata). Spero di essermi spiegato, grazie!

[gio73]

"lisdap":
"Nel momento in cui in Matematica si ha a che fare con un nuovo oggetto, con una nuova entità, si associa a questa un nome.
Successivamente, poiché il nome non permette di sapere in modo preciso a quale oggetto si fa riferimento, i matematici si preoccupano di individuare una proprietà dell'entità in questione in modo tale che, conoscendo questa proprietà, si è in grado si sapere ciò di cui si sta parlando". Se questo discorso è vero, ci si potrebbe chiedere perché i matematici continuino a operare in questo modo, e cioé ad associare ai nuovi oggetti che vengono scoperti prima un nome, una breve dicitura, e poi una proprietà più lunga e complicata da enunciare. La risposta secondo me sta nel fatto che è comodo avere associata a un certo oggetto una dicitura sintetica (il nome appunto), che però non permette di individuare l'entità in modo preciso (e per risolvere questo problema si ricerca appunto una proprietà più complicata). Spero di essermi spiegato, grazie!

Ciao Lis, secondo te gli oggetti matematici esistono anche prima che qualcuno (essere umano) lo descriva? Hai usato il verdo scoprire non costruire o inventare.
A mio avviso gli oggetti matematici sono solo frutto del pensiero umano, non possono essere scoperti, perchè non ci sono se qualcuno non li ha inventati. A mio avviso gli uomini e le donne nel corso della storia hanno inventato oggetti che dovevano avere determinate proprietà, utili o necessarie o anche addirittura futili ma divertenti, all'interno della costruzione del pensiero matematico, dopo si formalizza con un nome e una precisa definizione con elencazione di tutte le proprietà. Che ne dici?

[gugo82]

@ gio73: Questo dell'esistenza degli oggetti matematici è un nervo abbastanza scoperto della Filosofia della Matematica... Si sono sprecati fiumi di inchiostro per chiarire la faccenda, ed ancora non si è arrivati ad una posizione condivisa (poiché probabilmente tale posizione non esiste).

[Sk_Anonymous]

"gugo82": la struttura di un teorema è del tipo "se un oggetto soddisfa certe proprietà, allora esso ne soddisfa pure

Ciao, questa è la struttura di tutti i teoremi scritti nei libri di matematica? Anche delle proposizioni?
Grazie!