Maratona di problemi

[TomSawyer1]

Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.

Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.

[elgiovo]

Disponendo un lato del triangolo come da figura, non è difficile trovare che le coordinate
dell'ortocentro sono $H=(b,(b(a-b))/c)$.

Ora, avendo a disposizione i punti base del fascio di coniche, possiamo scriverne l'equazione,
non prima di aver trovato le equazioni di due coniche degeneri: siccome i conti sono più
semplici, consideriamo $(AH,BC)$ e $(AB,HC)$, scritte in equazioni omogenee:
$(AH,BC)$: $det((X,Y,T),(0,0,1),(b,(b(a-b))/c,1)) * det((X,Y,T),(a,0,1),(b,c,1))=[(b(b - a))/c X + bY][(b-a)Y-cX+acT]~=[(a-b)X-cY][cX+(a-b)Y-acT]=0$;

$(AB,HC)$: banalmente $Y(X-b)=0$.

Dunque le coniche del fascio si ottengono al variare di $lambda,mu in RR$ nella seguente equazione omogenea:

$lambda[(a-b)X-cY][cX+(a-b)Y-acT]+muY(X-b)=0$. A conti fatti, si nota agevolmente
che $A_(11)=-A_(22)$ per ogni $lambda,mu$, dove $A_(11)$ e $A_(22)$ sono i coefficienti di $X^2$ e $Y^2$, condizione
perchè le coniche del fascio siano iperboli equilatere.

[Sk_Anonymous]

Bene Elgiovo:classica risoluzione con l'uso del riferimento cartesiano.
Aggiungo solo che ,in realta',si puo' fare a meno di qualunque calcolo.
Infatti le due coniche degeneri adoperate da Elgiovo e cioe' (AH,BC) e (AB,CH)
si spezzano in due rette perpendicolari e quindi sono esse stesse
due iperbole (degeneri) equilatere.E poiche' la condizione $a_(11)+a_(22)=0$
e' una condizione lineare ,essa si conserva quando si costruisce il fascio
di coniche come : $lambda*(AH,BC)+mu*(AB,CH)=0$
con $lambda$ e $mu$ parametri arbitrari.
karl

[Sk_Anonymous]

Continuo io la maratona proponendo un esercizio di trigonometria (aperto a tutti...).
Calcolare l'esatto valore dell'espressione:
$(cosA+cosB)/(1+cosA+cosB-cosC)+(cosB+cosC)/(1+cosB+cosC-cosA)+(cosC+cosA)/(1+cosC+cosA-cosB)$
dove A,B,C sono gli angoli di un triangolo qualsiasi.
karl

[Bruno13]

Mhm... sono certo che Karl (che saluto!) ha in
mente qualcosa di molto più semplice e istruttivo.

A me è venuto questo procedimento.

Ho utilizzato tre simili identità, piuttosto note, che
valgono proprio per i triangoli generici:

1) $\cos \alpha+\cos \beta - \cos \gamma = 4cdot \cos \frac{\alpha}{2} cdot\cos \frac{\beta}{2}cdot\sin \frac{\gamma}{2}-1$

2) $\sin \alpha+\sin \beta - \sin \gamma = 4cdot \sin \frac{\alpha}{2} cdot \sin \frac{\beta}{2}cdot \cos \frac{\gamma}{2}$

3) $\sin 2\alpha+\sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4cdot \sin \alpha cdot\sin \beta cdot\sin \gamma$


Per la 1), il minimo comune multiplo dei denominatori
di quelle frazioni risulta:

$4cdot \cos \frac{\alpha}{2} cdot\cos \frac{\beta}{2}cdot\cos \frac{\gamma}{2}cdot\sin \frac{\alpha}{2} cdot\sin \frac{\beta}{2}cdot\sin \frac{\gamma}{2}$

che può essere scritto anche così, per la 1) e la 2):

$\frac {1}{4} (\cos \alpha+\cos\beta-\cos\gamma+1)(\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma)$

$\frac {1}{4}(\cos \alpha+\cos\gamma-\cos\beta+1)(\sin\alpha+\sin\gamma-\sin\beta)$

$\frac {1}{4}(\cos \beta+\cos\gamma-\cos\alpha+1)(\sin\beta+\sin\gamma-\sin\alpha)$.

Riducendo le frazioni allo stesso denominatore,
i numeratori diventano:

$\frac {1}{4}(\cos\alpha+\cos\beta)(\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma)$

$\frac {1}{4}(\cos\alpha+\cos\gamma)(\sin\alpha+\sin\gamma-\sin\beta)$

$\frac {1}{4}(\cos\beta+\cos\gamma)(\sin\beta+\sin\gamma-\sin\alpha)$

Sviluppandoli e poi sommandoli fra loro, si trova
direttamente:

$\frac{1}{4}(2cdot\sin \alphacdot\cos\alpha+2cdot\sin\betacdot\cos\beta+2cdot\sin\gammacdot\cos\gamma)$

ossia, ricordando la nota relazione sin2φ = 2·sinφ·cosφ:

$\frac{1}{4}(\sin 2\alpha+\sin 2\beta + \sin 2\gamma)$.

Per la 3), quest'ultima espressione equivale a:

4) $\sin \alpha cdot\sin \betacdot\sin\gamma$.

Ma anche il comune denominatore si può riscrivere
in maniera più appropriata (sempre per sin2φ = 2·sinφ·cosφ):

5) $4cdot \cos \frac{\alpha}{2}cdot \cos \frac{\beta}{2}cdot\cos \frac{\gamma}{2}cdot\sin \frac{\alpha}{2}cdot \sin \frac{\beta}{2}cdot\sin \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{2}cdot\sin \alphacdot \sin \beta cdot\sin \gamma$

Dividendo 4) per 5), dunque, si ottiene $2$.

[Sk_Anonymous]

Ancora congratulazioni per Bruno.La mia soluzione e' comunque basata su diversi calcoli
e quindi non mi pare il caso di postarla.Adesso a chi tocca ?
karl

[Bruno13]

Grazie, Karl

Per il momento non ho idee, quindi passo la palla.

[elgiovo]

Vado allora io con il seguente problema.
Sono dati due polinomi $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ e $Q(x)=x^2+px+q$.
Si sa che l'insieme delle $x in RR$ per cui $P(x)<0$ è un intervallo di ampiezza
maggiore di $2$ e coincide con l'insieme delle $x$ per cui $Q(x)<0$. Dimostrare
che esiste $tinRR$ tale che $P(t)

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[TomSawyer1]

Prendendo come ipotesi che esiste qualche $t \in RR$ t.c. $P(t) < 0$, per caso?

[ficus2002]

"elgiovo":Vado allora io con il seguente problema.
Sono dati due polinomi $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ e $Q(x)=x^2+px+q$.
Si sa che l'insieme delle $x in RR$ per cui $P(x)<0$ è un intervallo di ampiezza
maggiore di $2$ e coincide con l'insieme delle $x$ per cui $Q(x)<0$. Dimostrare
che esiste $tinRR$ tale che $P(t)
Sia $cc I:={x\in RR : P(x)<0}={x\in RR : Q(x)<0}$. Poichè $P$ e $Q$ sono continue, $cc I$ è un aperto di $RR$. Poichè

$P(x),Q(x)\to oo$ per $x\to \pm oo$, $cc I$ è limitato. Per ipotesi, $cc I$ è un intervallo, quindi $cc I=(a,b)$ con $a,b\in RR$ e $b-a>2$. Inoltre, per continuità, è $P(a)=Q(a)=P(b)=Q(b)=0$ così $Q|P$ pertanto $P=Q*R$ con $R$ polinomio monico di secondo grado.
$R$ non può avere due radici reali distinte, altrimenti non si avrebbe $P(x)<0 \iff Q(x)<0$.
Così $R$ può avere o una radice reale o radici complesse coniugate $c\pm id$. Allora $R$ è del tipo $(x-c)^2+d^2$ (il caso con una radice reale si ottiene per $d=0$).
Poichè $cc I$ ha lunghezza maggiore di $2$ esiste $t\in cc I$ tale che $|t-c|>1$. Di consegueza, $R(t)=(t-c)^2+d^2>1$, da cui $P(t)

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[elgiovo]

Ottimo, Ficus2002! And now it's up to you.

[ficus2002]

Sia $G$ un gruppo finito e supponiamo che esista un automorfismo $\sigma:G\to G$ tale che

[*:14h3nhtv] $\sigma(x)=x$ se e solo se $x=e$ (l'identità del gruppo);[/*:m:14h3nhtv]
[*:14h3nhtv] $\sigma(\sigma(x))=x$ per ogni $x\in G$.[/*:m:14h3nhtv][/list:u:14h3nhtv]
Provare che $G$ è abeliano.

[TomSawyer1]

$\sigma(\sigma(x))=x \implies \sigma(x)=\sigma^{-1}(x) \implies \sigma(x)=x^{-1}$ (EDIT: non sono 100% sicuro). Siano $a,b \in G$; allora $ba=(a^{-1}b^{-1})^{-1}=\sigma(a^{-1}b^{-1})=\sigma(a^{-1})\sigma(b^{-1})=ab$.

[ficus2002]

"TomSawyer":$\sigma(\sigma(x))=x \implies \sigma(x)=\sigma^{-1}(x) \implies \sigma(x)=x^{-1}$. Siano $a,b \in G$; allora $ba=(a^{-1}b^{-1})^{-1}=\sigma(a^{-1}b^{-1})=\sigma(a^{-1})\sigma(b^{-1})=ab$.

Perfetto; solo non capisco questa implicazione:
$\sigma(x)=\sigma^{-1}(x) \implies \sigma(x)=x^{-1}$

[TomSawyer1]

Ero un po' dubbioso, infatti, mi sembrava giustificata dal fatto che $\sigma(\sigma(x))=\sigma^{-1}(\sigma^{-1}(x))$. In ogni caso, e' vero che $\sigma(x)=x^{-1}$ e' l'unico automorfismo con quelle proprieta'?

[ficus2002]

"TomSawyer":Ero un po' dubbioso, infatti, mi sembrava giustificata dal fatto che $\sigma(\sigma(x))=\sigma^{-1}(\sigma^{-1}(x))$. In ogni caso, e' vero che $\sigma(x)=x^{-1}$ e' l'unico automorfismo con quelle proprieta'?

Si, e' l'unico automorfismo con le proprieta' dell'enunciato. Pero', non e' conseguenza di $\sigma(\sigma(x))=\sigma^{-1}(\sigma^{-1}(x))$. Pensa al coniugio in $(CC;+)$.

[Piera4]

Ne propongo uno io.
Nel Forum di Matematicamente ci sono infiniti utenti $U_0,U_1,U_2,...$. Ciascun utente è un bugiardo, e allore mente sempre, oppure è sincero, e allora dice sempre la verità. Un giorno, tutti gli utenti $U_(2n)$ (quelli di indice pari) dicono la seguente frase:
"Sul Forum c'è solo un numero finito di utenti sinceri". Se ne può dedurre che:
(A) ci sono infiniti utenti sinceri, ma non siamo in grado di stabilire se gli utenti bugiardi siano in numero finito o infinito
(B) ci sono infiniti utenti sinceri e infiniti utenti bugiardi
(C) ci sono infiniti utenti bugiardi e un numero finito di utenti sinceri
(D) ci sono infiniti utenti sinceri e un numero finito di utenti bugiardi
(E) ci sono infiniti utenti bugiardi, ma non siamo in grado di stabilire se gli utenti sinceri siano in numero finito o infinito

Motivare la risposta.

[TomSawyer1]

Se ci fosse almeno un utente sincero tra di loro, allora anche gli altri (infiniti) dovrebbero essere sinceri, contraddizione. Quindi tutti gli $U_{2n}$ sono bugiardi e, siccome mentono sempre, direi che ci sono anche infiniti utenti sinceri.

[zorn1]

Se tutti gli utenti $U_(2n)$ dicessero il vero si arriverebbe a una contraddizione perché non sarebbero in numero finito ad essere sinceri.
Pertanto almeno uno è bugiardo, e di conseguenza tutti gli altri $U_(2n)$ sono bugiardi dato che asseriscono lo stesso fatto.

Quindi ci sono infiniti utenti sinceri (la negazione di quanto affermano gli $U_(2n)$ bugiardi) e infiniti utenti bugiardi (gli $U_(2n)$).

La risposta è perciò C.

[TomSawyer1]

E' quello che ho detto io, zorn, e la risposta e' la (B).

[ficus2002]

"TomSawyer":In ogni caso, e' vero che $\sigma(x)=x^{-1}$ e' l'unico automorfismo con quelle proprieta'?

Suggerimento:

Considerare l'applicazione $xi: G\to G, g \mapsto \sigma(g)g^{-1}$