Problema con parabola
Buon giorno. Avrei questo problema: nel piano euclideo con riferimento cartesiano $R = Oxy$ si consideri la parabola passante per il punto $P =(−5,8)$ ,avente vertice $V =(0,3)$ e asse la retta $r: 2x−y+3=0$.
Determinare una forma canonica della parabola e una rototraslazione che la riduce in tale forma canonica.
Per questo esercizio non ho proprio idea di quale concetto utilizzare dalla teoria delle coniche. Come imposto l'equazione di una parabola non in forma canonica? Una volta che ho quella, è facile determinare una rototraslazione per riportarla in forma canonica. Sapreste darmi un suggerimento sul primo punto?
Determinare una forma canonica della parabola e una rototraslazione che la riduce in tale forma canonica.
Per questo esercizio non ho proprio idea di quale concetto utilizzare dalla teoria delle coniche. Come imposto l'equazione di una parabola non in forma canonica? Una volta che ho quella, è facile determinare una rototraslazione per riportarla in forma canonica. Sapreste darmi un suggerimento sul primo punto?
Risposte
.
Ok, il vertice in $(0,3)$ mi indica che la parabola è traslata di lungo y, dell'angolo so che è $alpha=arctg(2)$, quindi una rototraslazione sarà $((cosalpha,-sinalpha), (sinalpha,-cosalpha))+((0),(3))$. Ma una volta che ho questo, come faccio?
.
Ok, se non sbaglio dovrebbe essere $sinalpha=(2sqrt(5))/5$ e $cos(alpha)=sqrt(5)/5$. Quindi verrebbe
$[[x], [y]]=[[sqrt(5)/5u-(2sqrt(5))/5v],[2sqrt(5)/5u+sqrt(5)/5v+3]]$. Ma trovando x e y, sto trovando la forma canonica o la non canonica?
$[[x], [y]]=[[sqrt(5)/5u-(2sqrt(5))/5v],[2sqrt(5)/5u+sqrt(5)/5v+3]]$. Ma trovando x e y, sto trovando la forma canonica o la non canonica?
.
Bene, ora per determinare a, basta sostituire a $u=8$ e $t=-5$ e ottenere $a=8/25$. Quindi ottengo quella forma canonica ovvero $u=8/25v^2$, ma poi una seconda parte dell'esercizio mi chiede di scrivere l’equazione cartesiana della parabola e le coordinate del suo fuoco nel riferimento R. Quindi devo trovare l'equazione ottenuta da quella canonica applicando la rototraslazione
.
Perdonami, tra x y u v e t mi sono confuso, dovrebbe essere correttamente $y^2=-64/25x$
.
Sostituiamo x e y nella formula ottenendo
$[[-5],[8]]= [[1/sqrt(5), -2/sqrt(5)],[2/sqrt(5), 1/sqrt(5)]][[at^2],[t]]+[[0],[3]]$
Risolvendo come sistema trovo $t=1/(5sqrt(5)-2$ e $a=(5sqrt(5)-2)/3$
$[[-5],[8]]= [[1/sqrt(5), -2/sqrt(5)],[2/sqrt(5), 1/sqrt(5)]][[at^2],[t]]+[[0],[3]]$
Risolvendo come sistema trovo $t=1/(5sqrt(5)-2$ e $a=(5sqrt(5)-2)/3$
.
Beh, per il fuoco, data la parabola nella forma $y^2=2px$ le coordinate del fuoco sono $F(p/2,0)$, quindi se nel nostro caso $p=sqrt(5)/45$ allora il fuoco avrà coordinate $F(2sqrt(5)/45, 0)$.
Ma dove l'esercizio chiedeva l'equazione cartesiana, non ho capito se si riferisse alla forma canonica, o all'altra
Ma dove l'esercizio chiedeva l'equazione cartesiana, non ho capito se si riferisse alla forma canonica, o all'altra
.
Giusto, $p=sqrt(5)/90$, quindi $F(4sqrt(5)/90, 0)$
.
@sellacollesella
[ot]
Io ci sono già passato, adesso tocca a te
[/ot]
[ot]
"sellacollesella":
Tu saresti da appendere a testa in giù per qualche ora, ti passerebbe tutta 'sta fretta!
Io ci sono già passato, adesso tocca a te
[/ot]
Perdonami, ma continuo a scambiare u e v la corrispondenza tra x e y. Perciò all'inizio ho messo $p=sqrt(5)/45$.
Ora però, avendo ricondotto in forma canonica la parabola, non saremmo già in x e y?
Ora però, avendo ricondotto in forma canonica la parabola, non saremmo già in x e y?
.
Ho capito, se il fuoco in coordinate u e v è $F(9sqrt(5)/4,0)$, allora in coordinate x e y sarà: $F(9/4,15/2)$, sempre se non sbaglio conti.
[ot]
Mi hai capito benissimo: onori e oneri[/ot]
"sellacollesella":
In che senso? Vuoi appendere pure me? Chiama una buona gru che peso un po'.
Mi hai capito benissimo: onori e oneri
[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo