Piano tangente ad una sfera

[oleg.fresi]

Buon giorno. Ho questo esercizio: data la sfera $x^2+y^2+z^2-3x+2y-z=3$ e la retta $r:\{(x=3t),(y=14),(z=-t):}$ trovare i piani tangenti alla sfera e passanti per la retta r. Per risolvere, intanto ho trovato raggio e centro della sfera: $R=1/2$ e $C=(3/2,-1,-1/2)$. Poi ho riscritto la retta in forma cartesiana come $\{(x-3z=0),(y+14=0):}$ e impongo il fascio di piani passanti per la retta: $h(x-3z)+k(y+14)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$. Ora, impongo la distanza tra il piano e e il centro della sfera che dovendo essere tangenti sarà pari al raggio: $d(pi,C)=(|ax_c+by_c+cz_c+d|)/sqrt(a^2+b^2+c^2)$. Ora, per determinare $n=(a,b,c)$ riscrivo il generico piani del fascio come$hx-3hz+ky+14k=0$ e quindi $n=(h,k,-3h)$ e quindi sostituendo nell'equazione di prima ai coefficienti $(a,b,c)$ h e k e a $(x,y,z)$ le coordinate del centro della sfera ottengo
$3/2h-k+3/2h+14k=1/2sqrt(k^2+10h^2)$. Ora mi trovo in difficoltà: devo cercare di esprimere h in funzione di k o viceversa, oppure sto sbagliando procedimento?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Si, avevo sbagliato conti, la sfera dovrebbe essere $x^2+(y+1)^2+(z-1/2)^2=17/4$
e la retta è $\{(x+3z=0),(y-14=0):}$
$(3/2h-15k)^2=17/4(k^2+10h^2)$
Fin qui va bene?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ti ringrazio, facendo così ottengo due fasci che differiscono solo di segno, perciò ti riporto il primo in cui ho espresso h in funzione di k che poi ho semplificato perché supposto diverso da zero:
$(sqrt(12470)-90)x+10y+3(sqrt(12470)-90)z-140=0$

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ok, allora riporto i conti qui: $(3h-15k)^2=13/2(10h^2+k^2)$
$2(9h^2+225k^2-90hk)=130h^2+13k^2$
$18h^2+450k^2-180hk-130h^2-13k^2=0$
$-112h^2+437k^2-180hk=0$
$112h^2+180hk-437k^2=0$
Fin qui ti torna?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Bene, da qui i calcoli si complicano essendo un'equazione di secondo grado, si può risolvere risepetto a h per esempio, e rifacendo i conti mi trovo due valori per h: $h_1=((sqrt(14261)-45)k)/56$ e $h_2=-((sqrt(14261)+45)k)/56$. Quindi da qui si vede che ci saranno due piani del fascio per ciascun h

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille!