Problemi di geometria e algebra lineare martedì ho un esame!
Ciao ragazzi! Avrei bisogno del vostro aiuto per svolgere alcuni punti di alcune prove di geometria degli anni passati. Purtroppo ho cercato su internet e non ho trovato nessun aiuto.
Vi posto i link di ogni prova e i punti che non riesco a svolgere.Se sapete svolgerne anche solo 1 mi sareste di grandissimo aiuto!
Grazie in anticipo!
Prove:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 09_Alg.pdf
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 06Geom.pdf
Punti da svolgere prima prova:
4,9,10
Punti seconda prova:
1,2,3,4,5.
Prova:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 9_Geom.pdf
Punti da svolgere: 3,4,5,6,7
Vi posto i link di ogni prova e i punti che non riesco a svolgere.Se sapete svolgerne anche solo 1 mi sareste di grandissimo aiuto!
Grazie in anticipo!
Prove:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 09_Alg.pdf
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 06Geom.pdf
Punti da svolgere prima prova:
4,9,10
Punti seconda prova:
1,2,3,4,5.
Prova:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 9_Geom.pdf
Punti da svolgere: 3,4,5,6,7
Risposte
Direi che è molto meglio se inizi dicendoci i tuoi pensieri e che idee hai sugli esercizi...
Perchè? domanda legittima: regolamento
Perchè? domanda legittima: regolamento
ciao!ti chiedo scusa non lo sapevo! Beh sui punti 4,9 e 10 non ho veramente alcuna idea su come svolgerli.
Sulla seconda prova anche li purtroppo sono a corto di idee,più che altro vorrei individuare un procedimento generale in modo da saper svolgere esercizi che ricercano quei tipi di problemi.
Vi chiedo aiuto appunto perchè non ho alcuna idea su come svolgere quei punti.
Sulla seconda prova anche li purtroppo sono a corto di idee,più che altro vorrei individuare un procedimento generale in modo da saper svolgere esercizi che ricercano quei tipi di problemi.
Vi chiedo aiuto appunto perchè non ho alcuna idea su come svolgere quei punti.
qualcuno ha qualche idea?
"Arkhan":
ciao!ti chiedo scusa non lo sapevo! Beh sui punti 4,9 e 10 non ho veramente alcuna idea su come svolgerli.
Va bene, ti possiamo aiutare.
Ma dato che il punto 4 vuole l'ortogonale dell'immagine e l'immagine si calcolava al punto 3,
scrivi qui l'immagine e la sua base che hai calcolato, così evitiamo di farci noi tutti i calcoli.
Ciao
"misanino":
[quote="Arkhan"]ciao!ti chiedo scusa non lo sapevo! Beh sui punti 4,9 e 10 non ho veramente alcuna idea su come svolgerli.
Va bene, ti possiamo aiutare.
Ma dato che il punto 4 vuole l'ortogonale dell'immagine e l'immagine si calcolava al punto 3,
scrivi qui l'immagine e la sua base che hai calcolato, così evitiamo di farci noi tutti i calcoli.
Ciao[/quote]
Te la scrivo subito!Allora l'immagine è la seguente:
Im(f)= L ((1,-1,0);(0,0,2)) La base che ho scelto è la (1,-1,0)
Potresti,oltre che al risultato spiegarmi i passi che hai eseguito per arrivarci?
Grazie 1000!
Te la scrivo subito!Allora l'immagine è la seguente:
Im(f)= L ((1,-1,0);(0,0,2)) La base che ho scelto è la (1,-1,0)
[/quote]
Ma se Im(f) è generata dai 2 vettori scritti, come mi puoi dire che (1,-1,0) ne è una base?
Im(f)= L ((1,-1,0);(0,0,2)) La base che ho scelto è la (1,-1,0)
[/quote]
Ma se Im(f) è generata dai 2 vettori scritti, come mi puoi dire che (1,-1,0) ne è una base?
Se vedi sul punto dell'esercizio mi chiede UNA base dell'immagine. non basta prendere una delle 2?
"Arkhan":
Se vedi sul punto dell'esercizio mi chiede UNA base dell'immagine. non basta prendere una delle 2?
Ma tu hai la minima idea di cosa è una base?
"misanino":
[quote="Arkhan"]Se vedi sul punto dell'esercizio mi chiede UNA base dell'immagine. non basta prendere una delle 2?
Ma tu hai la minima idea di cosa è una base?[/quote]
Su insieme ordinato I= { v1,...,vn} di vettori di V definisco base di V se I è un sistema libero di generatori,cioè V=L(v1,...,vn) con v1,...,vn linearmente indipendenti.
questa è la definizione presente sul mio libro di testo...ma ai fini della pratica non è molto chiara....
"Arkhan":
Su insieme ordinato I= { v1,...,vn} di vettori di V io definisco base di V se I è un sistema libero di generatori,cioè V=L(v1,...,vn) con v1,...,vn linearmente indipendenti.
Appunto!
Un insieme libero, ma di generatori!
Se prendi uno solo dei 2 vettori, non hai più un sistema di generatori per Im(f) e quindi non hai più una base.
Perciò devi prenderle tutti e 2.
D'accordo?
"misanino":
[quote="Arkhan"]
Su insieme ordinato I= { v1,...,vn} di vettori di V io definisco base di V se I è un sistema libero di generatori,cioè V=L(v1,...,vn) con v1,...,vn linearmente indipendenti.
Appunto!
Un insieme libero, ma di generatori!
Se prendi uno solo dei 2 vettori, non hai più un sistema di generatori per Im(f) e quindi non hai più una base.
Perciò devi prenderle tutti e 2.
D'accordo?[/quote]
ah ok perfetto!Quindi quando mi chiede una base di Im(f) metto tutti e i vettori che ho trovato calcolando l'immagine.
Ma in quale caso allora ce n'è più di una?
In tutti i casi.
ad esempio tu hai detto che (1,-1,0),(0,0,2) è una base per Im(f).
ma allora anche (1,-1,0), (0,0,1) è una base per Im(f)
e più in generale (1,-1,0),(0,0,k) è una base con $k\inRR$.
Infatti i vettori rimangono linearmente indipendenti e generano tutta Im(f).
Così in generale (k,-k,0), (0,0,h) è una base per Im(f) con $k,h\inRR$
ad esempio tu hai detto che (1,-1,0),(0,0,2) è una base per Im(f).
ma allora anche (1,-1,0), (0,0,1) è una base per Im(f)
e più in generale (1,-1,0),(0,0,k) è una base con $k\inRR$.
Infatti i vettori rimangono linearmente indipendenti e generano tutta Im(f).
Così in generale (k,-k,0), (0,0,h) è una base per Im(f) con $k,h\inRR$
"misanino":
In tutti i casi.
ad esempio tu hai detto che (1,-1,0),(0,0,2) è una base per Im(f).
ma allora anche (1,-1,0), (0,0,1) è una base per Im(f)
e più in generale (1,-1,0),(0,0,k) è una base con $k\inRR$.
Infatti i vettori rimangono linearmente indipendenti e generano tutta Im(f).
Così in generale (k,-k,0), (0,0,h) è una base per Im(f) con $k,h\inRR$
Ottimo! sei stato molto chiaro! Davvero!
Per il ker il ragionamento è lo stesso?
Invece per i punti 4,9 e 10 sapresti dirmi qualche cosa?Così magari ne discutiamo insieme.
Consideriamo il punto 4.
In questo caso siamo in $RR^3$ e quindi l'ortogonale di un sottospazio $V$ è l'insieme dei vettori di $RR^3$ che hanno prodotto scalare nullo con i vettori del sottospazio V.
Cioè
se indico con (x,y,z) un vettore di $RR^3$, con $v_1,v_2,v_3$ un vettore del sottospazio $V$ e con $<,>$ il prodotto scalare in $RR^3$ ho
$V^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ <(x,y,z),(v_1,v_2,v_3)> =0 \ AA(v_1,v_2,v_3)\in V}$
Ora devi ricordare che dati 2 vettori $(x,y,z)$ e $(x',y',z')$ allora il prodotto scalare è definito così:
$<(x,y,z),(x',y',z')> =$ $ x x'+yy'+zz'$.
Quindi nel tuo caso
$(Im(f))^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ xv_1+yv_2+zv_3=0 \ AA(v_1,v_2,v_3)\in Im(f)}$
Inoltre puoi prendere, invece che ogni vettore di V (in questo caso di Im(f)) solo i vettori di una base.
Perciò, dato che una base di $Im(f)$ è ${(1,-1,0),(0,0,2)}$, allora
$(Im(f))^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ x1+y(-1)+z0=0, \ x0+y0+z2=0 }$
cioè
$(Im(f))^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ x-y=0, \ 2z=0 }$
Devi perciò risolvere il sistema
$\{(x-y=0),(2z=0):}
Da cui ricavi
$x=y$ e $z=0$
Quindi
$(Im(f))^\bot={(x,x,0) \ : \ x\inRR }$
(Quindi ad esempio contiene (1,1,0), (-3,-3,0), (sqrt(2),sqrt(2),0)....)
Una base è quindi data da $(1,1,0)$
Ora in realtà, dato un sottospazio V chiuso, si ha sempre che $RR^3=V+V^\bot$ dove ho scritto $+$ ma intendo il simbolo di somma diretta dell'eercizio (non sono capace di scriverlo)
Però penso che qui l'esercizio ti chieda di dimostrarlo manualmente
e quindi devi far vedere che ogni vettore di $RR^3$ è combinazione lineare della base di $Im(f)$ e di $Im(f)^\bot$
e che nessun elemento diverso da 0 appartiene a $Im(f)nnIm(f)^\bot$
Ora devo andar via.
Poi verso le 18.00 quando torno se vuoi ne parliamo ancora.
Ciao
In questo caso siamo in $RR^3$ e quindi l'ortogonale di un sottospazio $V$ è l'insieme dei vettori di $RR^3$ che hanno prodotto scalare nullo con i vettori del sottospazio V.
Cioè
se indico con (x,y,z) un vettore di $RR^3$, con $v_1,v_2,v_3$ un vettore del sottospazio $V$ e con $<,>$ il prodotto scalare in $RR^3$ ho
$V^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ <(x,y,z),(v_1,v_2,v_3)> =0 \ AA(v_1,v_2,v_3)\in V}$
Ora devi ricordare che dati 2 vettori $(x,y,z)$ e $(x',y',z')$ allora il prodotto scalare è definito così:
$<(x,y,z),(x',y',z')> =$ $ x x'+yy'+zz'$.
Quindi nel tuo caso
$(Im(f))^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ xv_1+yv_2+zv_3=0 \ AA(v_1,v_2,v_3)\in Im(f)}$
Inoltre puoi prendere, invece che ogni vettore di V (in questo caso di Im(f)) solo i vettori di una base.
Perciò, dato che una base di $Im(f)$ è ${(1,-1,0),(0,0,2)}$, allora
$(Im(f))^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ x1+y(-1)+z0=0, \ x0+y0+z2=0 }$
cioè
$(Im(f))^\bot={(x,y,z)\in RR^3 \ : \ x-y=0, \ 2z=0 }$
Devi perciò risolvere il sistema
$\{(x-y=0),(2z=0):}
Da cui ricavi
$x=y$ e $z=0$
Quindi
$(Im(f))^\bot={(x,x,0) \ : \ x\inRR }$
(Quindi ad esempio contiene (1,1,0), (-3,-3,0), (sqrt(2),sqrt(2),0)....)
Una base è quindi data da $(1,1,0)$
Ora in realtà, dato un sottospazio V chiuso, si ha sempre che $RR^3=V+V^\bot$ dove ho scritto $+$ ma intendo il simbolo di somma diretta dell'eercizio (non sono capace di scriverlo)
Però penso che qui l'esercizio ti chieda di dimostrarlo manualmente
e quindi devi far vedere che ogni vettore di $RR^3$ è combinazione lineare della base di $Im(f)$ e di $Im(f)^\bot$
e che nessun elemento diverso da 0 appartiene a $Im(f)nnIm(f)^\bot$
Ora devo andar via.
Poi verso le 18.00 quando torno se vuoi ne parliamo ancora.
Ciao
Beh...che dire...più chiaro di così non potevi essere! Grazie davvero! Su questo punto non ho nulla da chiederti.
Invece sulla discussione di prima...della base di im(f) lo stesso vale anche per una base di ker(f) vero?
Poi quando torni con calma se hai tempo e voglia ovviamente,discutiamo sui punti 9 e 10,ma penso che se risponderai con questa chiarezza mi toglierai ogni dubbio sul procedimento!
Grazie ancora!
Invece sulla discussione di prima...della base di im(f) lo stesso vale anche per una base di ker(f) vero?
Poi quando torni con calma se hai tempo e voglia ovviamente,discutiamo sui punti 9 e 10,ma penso che se risponderai con questa chiarezza mi toglierai ogni dubbio sul procedimento!
Grazie ancora!
Bene.
Passiamo al punto 9.
prima di tutto dammi la definizione di autoaggiunto.
Cosa vuol dire che f è autoaggiunto?
Passiamo al punto 9.
prima di tutto dammi la definizione di autoaggiunto.
Cosa vuol dire che f è autoaggiunto?
Un endomorfismo si dice autoaggiunto se fi(v)*w=v*fi(w)
però in pratica non so come riportarlo.
però in pratica non so come riportarlo.
"Arkhan":
Un endomorfismo si dice autoaggiunto se fi(v)*w=v*fi(w)
però in pratica non so come riportarlo.
Scrivi meglio.
Non si capisce
Cos'è fi?
e il simbolo * è il per?
"misanino":
[quote="Arkhan"]Un endomorfismo si dice autoaggiunto se fi(v)*w=v*fi(w)
però in pratica non so come riportarlo.
Scrivi meglio.
Non si capisce
Cos'è fi?
e il simbolo * è il per?[/quote]
fi sarebbe il simbolo dell'endomorfismo che non so come farlo
mentre * è il per esattamente.
Allora la definizione è sbagliata.
Infatti il simbolo * non è il per, ma il prodotto scalare.
In questo caso quindi devi verificare (con la notazione che ti ho già indicato nel precedente post)
$ = $ $AA v,w\in RR^3$
cioè che
$ = <(x,y,z),f(x',y',z')>$ $AA (x,y,z),(x',y',z')\in RR^3$
Infatti il simbolo * non è il per, ma il prodotto scalare.
In questo caso quindi devi verificare (con la notazione che ti ho già indicato nel precedente post)
$
cioè che
$
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