Problemi di geometria e algebra lineare martedì ho un esame!
Ciao ragazzi! Avrei bisogno del vostro aiuto per svolgere alcuni punti di alcune prove di geometria degli anni passati. Purtroppo ho cercato su internet e non ho trovato nessun aiuto.
Vi posto i link di ogni prova e i punti che non riesco a svolgere.Se sapete svolgerne anche solo 1 mi sareste di grandissimo aiuto!
Grazie in anticipo!
Prove:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 09_Alg.pdf
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 06Geom.pdf
Punti da svolgere prima prova:
4,9,10
Punti seconda prova:
1,2,3,4,5.
Prova:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 9_Geom.pdf
Punti da svolgere: 3,4,5,6,7
Vi posto i link di ogni prova e i punti che non riesco a svolgere.Se sapete svolgerne anche solo 1 mi sareste di grandissimo aiuto!
Grazie in anticipo!
Prove:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 09_Alg.pdf
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 06Geom.pdf
Punti da svolgere prima prova:
4,9,10
Punti seconda prova:
1,2,3,4,5.
Prova:
http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 9_Geom.pdf
Punti da svolgere: 3,4,5,6,7
Risposte
"Arkhan":
la matrice di partenza è:
$ ((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(1,1,-1,1),(1,0,-2,3)) $
Riducendo prima facendo r3= r3+r2 poi r4=r4-r3 poi r3=r3-r1 e infine r3=r3-2r2
ottengo la matrice
$ ((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(0,0,-2,0),(0,0,0,0)) $
te che ne dici?
Direi che fai un bel casotto.
A parte i calcoli che sono sbagliati, c'è un modo più lìneare per farlo.
Prima di tutto si guarda la prima colonna e si devono annullare tutti gli elementi tranne il primo (usando solo la riga considerata e la prima riga).
Per annullare il 2° elemento della colonna non devi fare niente perchè è già 0.
Per annullare il 3° elemento devi fare 1° riga-3°riga ed esce la riga (0,1,1,-2)
Per annullare il 4° elemento devi fare 1°riga-4°riga ed esce la riga (0,2,2,-4)
La tua nuova matrice è:
$((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(0,1,1,-2),(0,2,2,-4))$
Ora sei al passo 2 e quindi devi annullare il 3° e il 4° elemento della seconda colonna (usando solo la riga considerata e la seconda riga).
Per annllare il 3° elemento della seconda colonna fai 2°riga+3°riga ed esce la riga (0,0,0,0)
Per annullare il 4° elemento devi fare 2°riga-$1/2$4°riga ed esce la riga (0,0,0,0)
Ora dovresti andare al passo 3 ed eliminare il 4° elemento della 3° colonna. Ma esso è già 0 e quindi hai finito.
La tua matrice ridotta è:
$((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
Perciò il sistema da risolvere è:
$\{(x+2y-t=0),(-y-z+2t=0):}$
Hai 4 incognite e 2 equazioni, quindi ovviamente ti vengono infinite soluzioni.
Ora dalla seconda ricavi $y=-z+2t$ e sostituendo nella prima hai
$x-2z+4t-t=0$ cioè $x=2z-3t$.
Allora hai $x,y$ in funzione di $z,t$ e $t,z$ liberi di variare.
Come al solito allora poniamo $z=\alpha$, $y=\beta$ con $\alpha,\beta\inRR$
e quindi $x=2\alpha-3\beta$, $y=-\alpha+2\beta$.
Lo spazio delle soluzioni è quindi dato dall'insieme dei vettori:
$(2\alpha-3\beta,-\alpha+2\beta,\alpha,\beta)$ con $\alpha,\beta\inRR$
(vedi subito, col solito giochino di porre $\alpha=1$ e $\beta=0$ e poi viceversa, che una base è formata da 2 vettori e quindi la dimensione di questo spazio è 2)
"misanino":
[quote="Arkhan"]
la matrice di partenza è:
$ ((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(1,1,-1,1),(1,0,-2,3)) $
Riducendo prima facendo r3= r3+r2 poi r4=r4-r3 poi r3=r3-r1 e infine r3=r3-2r2
ottengo la matrice
$ ((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(0,0,-2,0),(0,0,0,0)) $
te che ne dici?
Direi che fai un bel casotto.
A parte i calcoli che sono sbagliati, c'è un modo più lìneare per farlo.
Prima di tutto si guarda la prima colonna e si devono annullare tutti gli elementi tranne il primo (usando solo la riga considerata e la prima riga).
Per annullare il 2° elemento della colonna non devi fare niente perchè è già 0.
Per annullare il 3° elemento devi fare 1° riga-3°riga ed esce la riga (0,1,1,-2)
Per annullare il 4° elemento devi fare 1°riga-4°riga ed esce la riga (0,2,2,-4)
La tua nuova matrice è:
$((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(0,1,1,-2),(0,2,2,-4))$
Ora sei al passo 2 e quindi devi annullare il 3° e il 4° elemento della seconda colonna (usando solo la riga considerata e la seconda riga).
Per annllare il 3° elemento della seconda colonna fai 2°riga+3°riga ed esce la riga (0,0,0,0)
Per annullare il 4° elemento devi fare 2°riga-$1/2$4°riga ed esce la riga (0,0,0,0)
Ora dovresti andare al passo 3 ed eliminare il 4° elemento della 3° colonna. Ma esso è già 0 e quindi hai finito.
La tua matrice ridotta è:
$((1,2,0,-1),(0,-1,-1,2),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
Perciò il sistema da risolvere è:
$\{(x+2y-t=0),(-y-z+2t=0):}$
Hai 4 incognite e 2 equazioni, quindi ovviamente ti vengono infinite soluzioni.
Ora dalla seconda ricavi $y=-z+2t$ e sostituendo nella prima hai
$x-2z+4t-t=0$ cioè $x=2z-3t$.
Allora hai $x,y$ in funzione di $z,t$ e $t,z$ liberi di variare.
Come al solito allora poniamo $z=\alpha$, $y=\beta$ con $\alpha,\beta\inRR$
e quindi $x=2\alpha-3\beta$, $y=-\alpha+2\beta$.
Lo spazio delle soluzioni è quindi dato dall'insieme dei vettori:
$(2\alpha-3\beta,-\alpha+2\beta,\alpha,\beta)$ con $\alpha,\beta\inRR$
(vedi subito, col solito giochino di porre $\alpha=1$ e $\beta=0$ e poi viceversa, che una base è formata da 2 vettori e quindi la dimensione di questo spazio è 2)[/quote]
Beh che dire...descrizione chiarissima come sempre.
Ho provato subito il tuo metodo ed effettivamente è veramente molto molto più semplice di quello che ci han spiegato....
Nella pagina precedente ti ho postato un ultimissimo link sul quale ho un dubbio,il cambio di base. Possiamo discuterne insieme?
Analizziamo quindi il cambiamento di base.
Prima di tutto occorre intendersi con la notazione.
Siano infatti $\beta$ e $\gamma$ 2 basi (cioè insiemi di vettori).
Esiste quindi una matrice di cambiamento base da $\beta$ a $\gamma$ e una di cambiamento base da $\gamma$ a $\beta$.
Io indico con $M_(\beta)^(\gamma)$ la matrice di cambiamento base da $\beta$ a $\gamma$, cioè quella matrice tale che $\gamma=M_(\beta)^(\gamma)*\beta$.
Nel nostro caso chiamiamo $\gamma$ la base canonica, cioè $\gamma=[w_1,w_2,w_3]$ dove $w_1=(1,0,0)$, $w_2=(0,1,0)$ e $w_3=(0,0,1)$
e $\beta=[v_1,v_2,v_3]$ i vettori segnati nel testo dell'esercizio.
Per scrivere la matrice di cambio base da $\beta$ a $\gamma$, cioè $M_(\beta)^(\gamma)$ ho bisogno di scrivere i vettori della base $\gamma$ in funzione di quelli della base $\beta$, cioè devo scrivere $w_1=av_1+bv_2+cv_3$ con $a,b,c\in RR$ e stessa cosa per $w_2$ e $w_3$.
Prova a iniziare a farlo, cioè a trovare $a,b,c$ per $w_1,w_2,w_3$
Prima di tutto occorre intendersi con la notazione.
Siano infatti $\beta$ e $\gamma$ 2 basi (cioè insiemi di vettori).
Esiste quindi una matrice di cambiamento base da $\beta$ a $\gamma$ e una di cambiamento base da $\gamma$ a $\beta$.
Io indico con $M_(\beta)^(\gamma)$ la matrice di cambiamento base da $\beta$ a $\gamma$, cioè quella matrice tale che $\gamma=M_(\beta)^(\gamma)*\beta$.
Nel nostro caso chiamiamo $\gamma$ la base canonica, cioè $\gamma=[w_1,w_2,w_3]$ dove $w_1=(1,0,0)$, $w_2=(0,1,0)$ e $w_3=(0,0,1)$
e $\beta=[v_1,v_2,v_3]$ i vettori segnati nel testo dell'esercizio.
Per scrivere la matrice di cambio base da $\beta$ a $\gamma$, cioè $M_(\beta)^(\gamma)$ ho bisogno di scrivere i vettori della base $\gamma$ in funzione di quelli della base $\beta$, cioè devo scrivere $w_1=av_1+bv_2+cv_3$ con $a,b,c\in RR$ e stessa cosa per $w_2$ e $w_3$.
Prova a iniziare a farlo, cioè a trovare $a,b,c$ per $w_1,w_2,w_3$
Allora...se ho capito bene devo scrivere
(1,0,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
(0,1,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
(0,0,1)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
Per tirare fuori a,b,c come faccio?
Ma la matrice M di B,B come la ottengo? mettendo in riga i vettori v1,v2 e v3?
(1,0,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
(0,1,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
(0,0,1)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
Per tirare fuori a,b,c come faccio?
Ma la matrice M di B,B come la ottengo? mettendo in riga i vettori v1,v2 e v3?
"Arkhan":
Allora...se ho capito bene devo scrivere
(1,0,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
(0,1,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
(0,0,1)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
Per tirare fuori a,b,c come faccio?
Attento che non hai scritto la base $\beta$ formata dai vettori $v_1,v_2,v_3$, bensì le immagini di $v_1,v_2,v_3$ tramite $\Phi$
Correggi quindi.
Poi devi considerare solo una riga per volta, poichè $a,b,c$ cambiano in ogni riga e non sono gli stessi.
Concentrati quindi solo sulla prima riga cioè:
$(1,0,0)=av_1+bv_2+cv_3$
Ora hai un sistema linere di 3 incognite (a,b,c) e 3 equazioni (poichè ogni vettore è formato da 3 componenti).
Se ad esempio tu avessi $(1,2,1)=a(1,2,3)+b(0,1,0)+c(1,4,5)$
allora il sistema sarebbe:
$1=1a+0b+1c$
$2=2a+1b+4c$
$1=3a+0b+5c$
Risolvi quindi i trova $a,b,c$ per la prima riga e quella è a posto.
Rifai quindi lo stesso ragionamento prendendo solo la 2° riga.
E poi ancora prendendo solo la 3° riga.
allora...prima riga è questa:
(1,0,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
abbiamo
1=0
0=2b
0=2c
il sistema non è impossibile?
(1,0,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
abbiamo
1=0
0=2b
0=2c
il sistema non è impossibile?
"Arkhan":
allora...prima riga è questa:
(1,0,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
abbiamo
1=0
0=2b
0=2c
il sistema non è impossibile?
Ma allora non leggi quello che ti dico.
Cosa ti ho detto prima?!
Ti ho detto:
Attento che non hai scritto la base $\beta$ formata dai vettori $v_1,v_2,v_3$, bensì le immagini di $v_1,v_2,v_3$ tramite $\Phi$
Cioè $(0,0,0),(0,2,0), (0,0,2)$ non sono i vettori della base, ma le immagini tramite $\Phi$ (come è scritto nel testo dell'esercizio).
Correggi.
Ora vado a mangiare, poi ne parliamo ancora
"misanino":
[quote="Arkhan"]allora...prima riga è questa:
(1,0,0)=a*(0,0,0)+b(0,2,0)+c*(0,0,2)
abbiamo
1=0
0=2b
0=2c
il sistema non è impossibile?
Ma allora non leggi quello che ti dico.
Cosa ti ho detto prima?!
Ti ho detto:
Attento che non hai scritto la base $\beta$ formata dai vettori $v_1,v_2,v_3$, bensì le immagini di $v_1,v_2,v_3$ tramite $\Phi$
Cioè $(0,0,0),(0,2,0), (0,0,2)$ non sono i vettori della base, ma le immagini tramite $\Phi$ (come è scritto nel testo dell'esercizio).
Correggi.
Ora vado a mangiare, poi ne parliamo ancora[/quote]
Cavolo hai ragione!
Scusami davvero!
Allora correggendo:
(1,0,0)=a*(1,1,0)+b(1,-1,0)+c*(1,-1,1)
1=a+b+c
0=a-b-c
0=c
Quindi
a=1/2
b=1/2
c=0
La seconda:
(0,1,0)=a*(1,1,0)+b(1,-1,0)+c*(1,-1,1)
0=a+b+c
1=a-b-c
0=c
Quindi
a=1/2
b=-1/2
c=0
La terza:
(0,0,1)=a*(1,1,0)+b(1,-1,0)+c*(1,-1,1)
0=a+b+c
0=a-b-c
1=c
Quindi
a=-2
b=1
c=1
Giusto?Questa è la matrice M b,e?
I primi 2 sono corretti. Bene.
Il terzo invece è sbagliato.
Ricontrolla i calcoli
Il terzo invece è sbagliato.
Ricontrolla i calcoli
Allora il terzo dici...
(0,0,1)=a*(1,1,0)+b(1,-1,0)+c*(1,-1,1)
0=a+b+c
0=a-b-c
1=c
Quindi
a=0
b=-1
c=1
dovrebbe essere così?
(0,0,1)=a*(1,1,0)+b(1,-1,0)+c*(1,-1,1)
0=a+b+c
0=a-b-c
1=c
Quindi
a=0
b=-1
c=1
dovrebbe essere così?
Bene ci siamo.
Allora hai i 3 valori di a,b,c per ognuno dei 3 vettori della base $\gamma$.
La nostra matrice di cambio base da $\beta$ a $\gamma$, che indico con $M_(\beta)^(\gamma)$ si ottiene mettendo come righe gli $a,b,c$ che hai ottenuto.
Prova a scriverla
Allora hai i 3 valori di a,b,c per ognuno dei 3 vettori della base $\gamma$.
La nostra matrice di cambio base da $\beta$ a $\gamma$, che indico con $M_(\beta)^(\gamma)$ si ottiene mettendo come righe gli $a,b,c$ che hai ottenuto.
Prova a scriverla
Allora...se non erro dovrebbe essere composta così:
$ ((1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0),(0,-1,1)) $
Questa è la matrice del punto 2 giusto?
Mentre quella del punto 1? Come la trovo?
$ ((1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0),(0,-1,1)) $
Questa è la matrice del punto 2 giusto?
Mentre quella del punto 1? Come la trovo?
"Arkhan":
Allora...se non erro dovrebbe essere composta così:
$ ((1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0),(0,-1,1)) $
Questa è la matrice del punto 2 giusto?
Mentre quella del punto 1? Come la trovo?
Bene, questa è giusta.
Ora la matrice del punto 3 la trovi con questo stesso metodo, o calcolando l'inversa di questa.
Invece per la matrice del punto 1 calcola $\Phi(v_1), \Phi(v_2), \Phi(v_3)$ e chiama questo insieme $\alpha$.
Allora la tua matrice è la matrice di cambio base da $\beta$ a $\alpha$ e ancora quindi la fai come prima
sul punto 3 è chiaro.
devo risolvere questi sistemi ottenendo a,b,c
(1,1,0)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
(1,-1,0)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
(1,-1,1)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
giusto?
mentre per il punto 1 un po meno.
riusciresti a farmi un esempio?
devo risolvere questi sistemi ottenendo a,b,c
(1,1,0)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
(1,-1,0)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
(1,-1,1)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
giusto?
mentre per il punto 1 un po meno.
riusciresti a farmi un esempio?
"Arkhan":
sul punto 3 è chiaro.
devo risolvere questi sistemi ottenendo a,b,c
(1,1,0)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
(1,-1,0)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
(1,-1,1)=a*(1,0,0)+b(0,1,0)+c*(0,0,1)
giusto?
mentre per il punto 1 un po meno.
riusciresti a farmi un esempio?
Il punto 1 è identico.
Come prima hai calcolato la matrice di cambio base da $\beta$ a $\gamma$,
ora calcoli la matrice di cambio base da $\beta$ a $\alpha$.
($\alpha$ te l'ho definita prima)
ma quella del punto 1 non è da $beta$ a $beta$?
"Arkhan":
ma quella del punto 1 non è da $beta$ a $beta$?
Quella del punto 1 non è una matrice di cambio base (almeno immediatamente), ma è la matrice associata all'applicazione lineare $\Phi$ relativa alle basi $\beta$ e $\beta$ (se noti infatti nel testo dell'esercizio ha un pedice $\Phi$ che le matrici dei punti 2 e 3 non hanno).
Questo però significa che si trova con lo stesso metodo della matrice di cambio base, considerando il cambio base da $\beta$ ad $\alpha$ dove $\alpha$ (come ti ho definito meglio prima) è $\Phi(\beta)$
Ah ok! E nel caso non ci fosse stato il pedice bastava prendere i vettori della base b e metterli in riga?
Per quanto riguarda il punto 4 invece?Devo fare la moltiplicazione della matrice Mb,b*Mb,e*Me,b?
Per quanto riguarda il punto 4 invece?Devo fare la moltiplicazione della matrice Mb,b*Mb,e*Me,b?
"Arkhan":
Ah ok!
Per quanto riguarda il punto 4 invece?Devo fare la moltiplicazione della matrice Mb,b*Mb,e*Me,b?
Esatto. Questo è un ottimo modo per farlo
Perfetto! Un ultimissima cosa e poi domani ti faccio i calcoli e te li posto cosi se hai tempo gli dai un occhiata.
Per i punti 5 e 6 per ottenere il ker(f) e l'im(f) utilizzo la matrice ottenuta nel punto 4 vero?
La moltiplicazione delle 3 matrici ottenute come la eseguo?
Per i punti 5 e 6 per ottenere il ker(f) e l'im(f) utilizzo la matrice ottenuta nel punto 4 vero?
La moltiplicazione delle 3 matrici ottenute come la eseguo?
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