Problemi di geometria e algebra lineare martedì ho un esame!

[Arkhan1]

Ciao ragazzi! Avrei bisogno del vostro aiuto per svolgere alcuni punti di alcune prove di geometria degli anni passati. Purtroppo ho cercato su internet e non ho trovato nessun aiuto.

Vi posto i link di ogni prova e i punti che non riesco a svolgere.Se sapete svolgerne anche solo 1 mi sareste di grandissimo aiuto!

Grazie in anticipo!

Prove:

http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 09_Alg.pdf

http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 06Geom.pdf

Punti da svolgere prima prova:

4,9,10

Punti seconda prova:

1,2,3,4,5.


Prova:

http://www.dmi.units.it/geo-ing/scritti ... 9_Geom.pdf

Punti da svolgere: 3,4,5,6,7

[Arkhan1]

"misanino":Allora la definizione è sbagliata.
Infatti il simbolo * non è il per, ma il prodotto scalare.
In questo caso quindi devi verificare (con la notazione che ti ho già indicato nel precedente post)
$ = $ $AA v,w\in RR^3$
cioè che
$ = <(x,y,z),f(x',y',z')>$ $AA (x,y,z),(x',y',z')\in RR^3$

ci stavo riflettendo su...ma...cosa devo sostituire al posto di f(x,y,z),(x',y',z')

nel caso specifico del mio esercizio?

[misanino]

"Arkhan":

ci stavo riflettendo su...ma...cosa devo sostituire al posto di f(x,y,z),(x',y',z')

nel caso specifico del mio esercizio?

Al posto di $(x,y,z)$ e di $(x',y',z')$ non devi sostituire niente perchè devono per forza essere per definizione 2 vettori generici.
Invece la $f$ che ho scritto è la $f$ che hai tu e quindi al posto di $f(x,y,z)$ e al posto di $f(x',y',z')$ devi sostituire la definizione di $f$ che hai.
E infine devi ricordarti com'è definito il prodotto scalare in $RR^3$, ma questo te l'ho già detto nel post di prima...
Prova a fare i calcoli e dimmi cosa ti esce

[Arkhan1]

Quindi se ho capito bene devo fare < (x-y,-x+y,2z),(x',y',z')>=<(x,y,z),(x-y,-x+y,2z)>

in questo modo? o al posto di f (x',y',z') devo metterci altri valori?

[misanino]

"Arkhan":Quindi se ho capito bene devo fare < (x-y,-x+y,2z),(x',y',z')>=<(x,y,z),(x-y,-x+y,2z)>

in questo modo? o al posto di f (x',y',z') devo metterci altri valori?

Bene.
Devi fare
$< (x-y,-x+y,2z),(x',y',z')>$
e poi devi fare
$<(x,y,z),(x-y,-x+y,2z)>$
e devi vedere se sono uguali

[Arkhan1]

Perfetto allora...Il prodotto scalare è definito in questo modo:

<(x,y,z),(x',y',z')>=×'+yy'+zz'

Quindi dovrei avere:

x'-xy'+yy'+2zz'

nella prima parte.

Nella seconda invece

x-y+y(-x+y)+(2z)z.

è giusto così?

[misanino]

"Arkhan":Perfetto allora...Il prodotto scalare è definito in questo modo:

<(x,y,z),(x',y',z')>=×'+yy'+zz'

Il prodotto scalare non è definito in quel modo.
Sono andato a vedere nel post che ti avevo scritto e per la fretta mi ero perso una x.
Ora ho corretto.
Vai a vedere e rifai questi calcoli

[misanino]

Non so perchè, ma non mi prende la $x$.
Comunque il prodotto scalare è definito come:
$<(x,y,z),(x',y',z')> = x x'+yy'+zz'$

[Arkhan1]

Allora con la correzione,il prodotto scalare è definito in questo modo:

<(x,y,z),(x',y',z')>=×'+yy'+zz'

Prima equazione

<(x-y,-x+y,2z),(x',y',z')>

Seconda equazione

<(x,y,z),(x-y,-x+y,2z)>


Quindi dovrei avere:

xx'-yx'-xy'+yy'+2zz'

nella prima parte.

Nella seconda invece

$ x^2-xy-yx+yx+2z^2 .

e il risultato è $x^2-xy+2z^2

Non sono uguali quindi.Giusto?

[misanino]

"Arkhan":Allora con la correzione,il prodotto scalare è definito in questo modo:

<(x,y,z),(x',y',z')>= x x'+yy'+zz'

Prima equazione

<(x-y,-x+y,2z),(x',y',z')>

Seconda equazione

<(x,y,z),(x-y,-x+y,2z)>

Attento che nella seconda equazione ti sei dimenticato tutti i primi nel secondo membro!!!

[Arkhan1]

Ah ecco! Per questo non mi quadrava la cosa

Allora rifacendo i calcoli,il primo viene come detto quindi:

xx'-yx'-xy'+yy'+2zz'

mentre il secondo viene:

xx'-xy'-yx'+yy'-2zz'

Oh ecco! adesso è autoaggiunto!

Mi confermi?

[misanino]

"Arkhan":

Oh ecco! adesso è autoaggiunto!

Mi confermi?

Ti confermo assolutamente.

Passiamo ora al punto 10.
Chiamiamo $A$ la matrice associata alla tua $f$.
Devi determinare una matrice ortogonale, che chiamo O tale che $O^(-1)AO$ è diagonale.
Sai poi che se una matrice è ortogonale allora $O^(-1)=O^(t)$ dove con $O^t$ indico la trasposta.

Ora la tua matrice $A$ è reale e simmetrica e quindi c'è un teorema che ci assicura che tale matrice ortogonale $O$ esiste.
Per calcolarla dobbiamo calcolare gli autospazi di A e una base per essi.
Tu dovresti averlo già fatto al punto 7 e quindi scrivi qui il risultato che avevi ottenuto

[Arkhan1]

Comunque non finirò mai di ringraziarti per l'aiuto enorme che mi stai dando!Davvero! Se hai bisogno di qualsiasi cosa per cui io possa sdebitarmi basta chiedere!

Ora ti posto subito gli autospazi che ho calcolato:

Vlambda1=L(T,T,0)= L(1,1,0) Base: 1,1,0

Vlambda2=Vlambda3=L(lambda,lambda,T)= L(1,1,1) Base: 1,1,1

[misanino]

"Arkhan":Comunque non finirò mai di ringraziarti per l'aiuto enorme che mi stai dando!Davvero! Se hai bisogno di qualsiasi cosa per cui io possa sdebitarmi basta chiedere!

Ora ti posto subito gli autospazi che ho calcolato:

Vlambda1=L(T,T,0)= L(1,1,0) Base: 1,1,0

Vlambda2=Vlambda3=L(lambda,lambda,T)= L(1,1,1) Base: 1,1,1

Il primo autospazio è giusto (ed è quello relativo all'autovalore 0, vero?).
Il secondo è sbagliato.
Spiega il procedimento che hai usato

[Arkhan1]

Allora il primo autospazio è quello riferito al valore 0 esattamente,gli altri lambda 2 e 3 sono uguali e hanno valore 2. Secondo i calcoli che ho fatto.

Quindi prendo la matrice di partenza,metto in tutti i valori della diagonale il valore-lambda in questo caso 2 e riduco la matrice a triangolare superiore completa quindi ho ottenuto

-1 -1 0
-1 -1 0
0 0 0

riducendo viene

-1 -1 0
0 0 0
0 0 0

quindi il sistema è composto da

-x-y=0
y=lambda
z=t

quindi ho
x=-lambda
y= lambda
z=t

quindi hai ragione e viene -1,1,1

potrebbe andare?

[misanino]

"Arkhan":Allora il primo autospazio è quello riferito al valore 0 esattamente,gli altri lambda 2 e 3 sono uguali e hanno valore 2. Secondo i calcoli che ho fatto.

Quindi prendo la matrice di partenza,metto in tutti i valori della diagonale il valore-lambda in questo caso 2 e riduco la matrice a triangolare superiore completa quindi ho ottenuto

-1 -1 0
-1 -1 0
0 0 0

riducendo viene

-1 -1 0
0 0 0
0 0 0

quindi il sistema è composto da

-x-y=0
y=lambda
z=t

quindi ho
x=-lambda
y= lambda
z=t

Fin qui tutto bene.
Perciò devi dire che l'autospazio è formato da tutti i vettori $(\alpha,-\alpha,\beta)$ con $\alpha,\beta\in RR$ (ho scritto $\alpha$ e $\beta$, ma potevo anche usare $\lambda$ e $t$, solo che mi sembra che stia meglio così).
Ora che hai trovato l'autospazio devi trovare una base che non è affatto (-1,1,1)!!
Anche prima con le basi facevi un errore di questo tipo.
Una base è un sistema linearmente indipendente ma di generatori!
Qui il vettore (-1,1,1) non genera affatto il tuo autospazio.
Nel tuo autospazio c'è infatti ad esempio il vettore (-1,1,2) che non puoi ottenere da (-1,1,1).
D'accordo?
Ora per trovare una base ti rendi conto che hai 2 parametri liberi di variare, cioè $\alpha$ e $\beta$.
Allora la base sarà composta da 2 vettori.
I più comodi sono i vettori che si ottengono ponendo $\alpha=0$, $\beta=1$ e poi $\alpha=1$, $\beta=0$.
Perciò una base è data da:
(0,0,1) e (1,-1,0)
Capito?

[Arkhan1]

Più o meno ho capito,ma come faccio a capire se l'autospazio è generato completamente dai vettori che ho ottenuto?

Tu mi hai detto che con il vettore -1,1,1 non posso generare il mio autospazio giusto?

Ma come posso dire che l'immagine di prima è generata completamente dai 2 vettori che avevo ottenuto?

questo non mi è chiaro

[misanino]

"Arkhan":Più o meno ho capito,ma come faccio a capire se l'autospazio è generato completamente dai vettori che ho ottenuto?

Tu mi hai detto che con il vettore -1,1,1 non posso generare il mio autospazio giusto?

Ma come posso dire che l'immagine di prima è generata completamente dai 2 vettori che avevo ottenuto?

questo non mi è chiaro

Il tuo autospazio è l'insieme dei vettori $(\alpha,-\alpha,\beta)$
Quindi devi mostrare che combinando linearmente (0,0,1) e (1,-1,0) ottieni tutto il tuo autospazio.
Infatti:
$\beta(0,0,1)+\alpha(1,-1,0)=(0,0,\beta)+(\alpha,-\alpha,0)=(\alpha,-\alpha,\beta)$
Comunque non verificare ciò ogni volta.
Se hai 2 parametri liberi $\alpha$ e $\beta$ fai come ti ho detto io prima.

[Arkhan1]

va benissimo! e se ho 1 solo parametro libero?

[misanino]

"Arkhan":va benissimo! e se ho 1 solo parametro libero?

Allora poni quel parametro uguale a 1 e ottieni la base

[Arkhan1]

Perfetto tutto chiarissimo ora che abbiamo le basi per il punto 10 come facciamo?

Ps: Io adesso stacco se in caso leggi fammi pure sapere e domani mattina ti rispondo.Grazie ancora!