Qual è il significato fisico del differenziale
Dopo aver letto l'ultima dispensa preparata dal nostro Fioravante Patrone ovvero questa
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
non so se ridere o piangere quando apro il libro di fisica. Inoltre, praticamente TUTTI i libri di fisica fanno uso del famigerato metodo dell'urang utang per impostare i problemi.
C'è un libro che non faccia uso di metodi sbagliati?
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
non so se ridere o piangere quando apro il libro di fisica. Inoltre, praticamente TUTTI i libri di fisica fanno uso del famigerato metodo dell'urang utang per impostare i problemi.
C'è un libro che non faccia uso di metodi sbagliati?
Risposte
@ Gugo82
il vero problema salta fuori quando accelerazione e velocità sono funzioni della posizione oltre che del tempo $a(x(t))$ e $v(x(t))$
$a(x(t)) = [v(x(t))]' = v'(x(t))*x'(t)$
come devo intendere $x'(t)$ ???
CASO 1
$x'(t) = v(t)$
$a(x(t)) = v'(x(t))*v(t)$
Come si risolve? So qual è la soluzione perché sta scritta sul mio libro ma non so come ottenerla
CASO 2
$x'(t) = v(x(t))$
$a(x(t)) = v'(x(t))*v(x(t))$ il che è assurdo perché va contro la regola di derivazione delle funzioni composte
ULTIMA SPIAGGIA
Quando dice la funzione velocità come funzione della velocità oltre che del tempo la pensassi come una funzione di due variabili$v = v(t, x)$ cosa potrei fare in questo caso?
il vero problema salta fuori quando accelerazione e velocità sono funzioni della posizione oltre che del tempo $a(x(t))$ e $v(x(t))$
$a(x(t)) = [v(x(t))]' = v'(x(t))*x'(t)$
come devo intendere $x'(t)$ ???
CASO 1
$x'(t) = v(t)$
$a(x(t)) = v'(x(t))*v(t)$
Come si risolve? So qual è la soluzione perché sta scritta sul mio libro ma non so come ottenerla
CASO 2
$x'(t) = v(x(t))$
$a(x(t)) = v'(x(t))*v(x(t))$ il che è assurdo perché va contro la regola di derivazione delle funzioni composte
ULTIMA SPIAGGIA
Quando dice la funzione velocità come funzione della velocità oltre che del tempo la pensassi come una funzione di due variabili$v = v(t, x)$ cosa potrei fare in questo caso?
"WiZaRd":
La derivata non è un rapporto di differenziali.
Io non ho detto che la derivata è definita come rapporto di differenziali. Nemmeno mi sognerei di farlo. Nella definizione di differenziale che stiamo usando si suppone che la derivata sia già nota. Dai concetti di derivata e di differenziale segue che $(df)/(dx)=f'(x)$. E' diverso.
"Falco5x":
… cosa c'è di sbagliato nell'impostare così la risoluzione della seguente equazione differenziale?
$y'(x)=xy$
$(dy(x))/(dx)=xy$
$(dy)/y=xdx$
da cui integrando esce fuori a sinistra un logaritmo naturale in y e a destra un polinomio di secondo grado in x.
Integrando?
L’integrale è definito sulle funzioni, non sui differenziali (a meno che non intendi l’integrale delle forme differenziali).
In base a quanto ci siamo detti, posso scrivere
$y'(x)=xy$
$(y'h)/h=xy$
$(y'h)/y=xh$
$d(log|y|)=d(1/2 x^2)$
Per la linearità del differenziale segue che
$d(log|y|-1/2 x^2)=0$
e quindi $log|y|-1/2 x^2=C$
"Falco5x":
Perché questo modo di procedere viene tanto vituperato dai matematici? Non lo chiedo per spirito di polemica, ma per capire davvero.
Perché gli infinitesimi sono concepiti solo in potenza, e non in atto.
Mentre l’infinito attuale è comunemente accettato, e pertanto possiamo dire che nell’intervallo [0,1] ci sono $\aleph_0$ numeri razionali e $2^(\aleph_0)$ numeri reali (grazie al concetto di cardinalità), non abbiamo altresì una definizione altrettanto semplice di infinitesimo attuale.
Nella soluzione dell’equazione differenziale che hai proposto hai usato gli infinitesimi attuali, che fanno ancora saltare sulla sedia molti matematici.
"magliocurioso":
C'è qualche MATEMATICO di buona volontà che gentilmente mi fa vedere qual è il metodo corretto per impostare e risolvere in maniera rigorosa questo "problema"
http://img411.imageshack.us/img411/1416/immagineswg.jpg
Il libro mio fa uso dell'urang utang ma ho una sorta di ""rifiuto psicologico"" e sapendo che è sbagliato non lo posso accettare
Ti avevo già risposto qui
"Sidereus":
Ti avevo già risposto qui
Sì, però subito appresso ti dissi che non mi fu molto chiaro il ragionamento e nel mio penultimo intervento ho spiegato il perché.
Scusami se magari sembro insistente ma sono davvero TARDO a capire
@Sidereus
E io mica rispondevo a te!
EDIT: corretto il nickname del destinatario; chiedo scusa per come l'ho storpiato.
E io mica rispondevo a te!
"Falco5x":
Ma allora se la derivata è davvero un rapporto tra differenziali,
EDIT: corretto il nickname del destinatario; chiedo scusa per come l'ho storpiato.
"VINX89":
Esempio banale: per calcolare l'area di un cerchio, immagino di suddividere tale area in tante "striscioline" infinitesime di spessore $dr$;
l'area di una strisciolina è quindi $2pi r dr$, con $r$ distanza dal centro della circonferenza.
Bene. Supponiamo che $r=2 cm$. Di quanti $cm^2$ è l'area infinitesima $2pi r dr$?
Oppure, in modo più semplice: quanti $cm$ è lungo $dr$?
"WiZaRd":[/quote]
@Sidereua
E io mica rispondevo a te!
[quote="Falco5x"]
Ma allora se la derivata è davvero un rapporto tra differenziali,
Chiedo venia
Non che abbia una passione per gli scaldabagni 
ma vorrei sapere come un matematico ragiona per arrivare a scrivere l'equazione differenziale di questo problema https://www.matematicamente.it/forum/lo- ... 33425.html (non mi riferisco a come risolverla ma solo a come arrivare a scriverla senza utilizzare intuizioni non rigorose).
ma vorrei sapere come un matematico ragiona per arrivare a scrivere l'equazione differenziale di questo problema https://www.matematicamente.it/forum/lo- ... 33425.html (non mi riferisco a come risolverla ma solo a come arrivare a scriverla senza utilizzare intuizioni non rigorose).
"Sidereus":[/quote]
[quote="WiZaRd"]@Sidereua
E io mica rispondevo a te!
[quote="Falco5x"]
Ma allora se la derivata è davvero un rapporto tra differenziali,
Chiedo venia
[/quote]Don't worry, be happy!
"Faussone":
Non che abbia una passione per gli scaldabagni
Ce l'hai, ce l'hai...
Non la spunterai mai con un matematico...
"Faussone":Un'occhiata qui?
Non che abbia una passione per gli scaldabagni
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.pdf
E' un po' troppo didascalico, magari, rispetto ad una risposta che vorresti avere. Ma ha il vantaggio di essere pronto...
Comunque, una cosa devo dire alto e forte.
Per arrivare a scrivere l'equadiff, sono obbligato a fare delle assunzioni a priori sulla regolarità del fenomeno di cui intendo occuparmi. E questo non vale solo per me, ma vale anche per i fisici e gli ingegneri, checché ne possano pensare. Non si illudano di poter fare una operazione di "bootstrap": http://www.dizionarioinformatico.com/cg ... =bootstrap
@Falco (già 
).
Forse così?
Scrivo il bilancio energetico come limite:
$lim_(t->t_0) c_p (T(t)-20)\dot(m) (t-t_0) = lim_(t->t_0) -M c_p (T(t) - T(t_0))$
Poi dividendo ambo i membri per $t-t_0$ ottengo l'equazione differenziale.
E' rigoroso abbastanza?
).Forse così?
Scrivo il bilancio energetico come limite:
$lim_(t->t_0) c_p (T(t)-20)\dot(m) (t-t_0) = lim_(t->t_0) -M c_p (T(t) - T(t_0))$
Poi dividendo ambo i membri per $t-t_0$ ottengo l'equazione differenziale.
E' rigoroso abbastanza?
"magliocurioso":
[quote="Sidereus"]Ti avevo già risposto qui
Sì, però subito appresso ti dissi che non mi fu molto chiaro il ragionamento e nel mio penultimo intervento ho spiegato il perché.
Scusami se magari sembro insistente ma sono davvero TARDO a capire
[/quote]Chiedo venia anche a te.
A parte la soluzione con l'urang-utang, c'è proprio un abuso di linguaggio tipico delle trattazioni di fisica.
Il tuo libro suppone che la legge oraria $x(t)$ sia una funzione invertibile: sia dunque $t(x)$ questa funzione inversa.
Allora $(dx)/(dt)=v(t)=v(t(x))=V(x)$ e $(d^2x)/(dt^2)=a(t)=a(t(x))=A(x)$ e quindi
$A(x)=(d^2x)/(dt^2)=(dv)/(dt)=(dV)/(dx)(dx)/(dt)=V'(x)v(t)=V'(x)V(x)$, da cui
$\int_(x_0)^x Adu=\int_(x_0)^x V V' du=1/2 \int_(x_0)^x d/(du)(V^2)du=1/2 V^2(x) -1/2 V^2 (x_0)$
L'abuso di linguaggio sta nell'uso degli stessi simboli funzionali, cioè $v$ e $a$, per denotare sia funzioni di $t$ che di $x$.
I fisici lo fanno spesso, perché quando scrivono $v$ hanno in mente la grandezza fisica velocità, che esiste indipendentemente dal sistema di coordinate usato per rappresentarla (nella fattispecie, il tempo $t$ o lo spazio $x$).
Supponiamo che $x(t)=1+t^2$, con $t\in[0,+infty)$. Allora $t(x)=sqrt(x-1)$, con $x\in[1,+infty)$.
Segue che $v(t)=2t$ e $V(x)= 2sqrt(x-1)$, due funzioni affatto diverse dal punto di vista matematico.
"Faussone":
@Falco (già
Forse così?
Scrivo il bilancio energetico come limite:
$lim_(t->t_0) c_p (T(t)-20)\dot(m) (t-t_0) = lim_(t->t_0) -M c_p (T(t) - T(t_0))$
Poi dividendo ambo i membri per $t-t_0$ ottengo l'equazione differenziale.
Ottieni $0=0$
"Sidereus":
[quote="Faussone"]@Falco (già
Forse così?
Scrivo il bilancio energetico come limite:
$lim_(t->t_0) c_p (T(t)-20)\dot(m) (t-t_0) = lim_(t->t_0) -M c_p (T(t) - T(t_0))$
Poi dividendo ambo i membri per $t-t_0$ ottengo l'equazione differenziale.
Ottieni $0=0$[/quote]
Infatti ho una marea di dubbi su questo....
Quindi?
"Fioravante Patrone":Un'occhiata qui?
[quote="Faussone"]Non che abbia una passione per gli scaldabagni
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.pdf
E' un po' troppo didascalico, magari, rispetto ad una risposta che vorresti avere. Ma ha il vantaggio di essere pronto...
Comunque, una cosa devo dire alto e forte.
Per arrivare a scrivere l'equadiff, sono obbligato a fare delle assunzioni a priori sulla regolarità del fenomeno di cui intendo occuparmi. E questo non vale solo per me, ma vale anche per i fisici e gli ingegneri, checché ne possano pensare. Non si illudano di poter fare una operazione di "bootstrap": http://www.dizionarioinformatico.com/cg ... =bootstrap[/quote]
Grazie! Lo leggerò con cura.
Leggendo la dispensa di Fioravante sono un po' più sereno: in fondo alla fin fine il modo di ragionare è molto simile a quello seguito da me, a parte tutti i ragionamenti matematici su unicità regolarità ecc ecc che ovviamente si danno più o meno inconsapevolmente per scontati (sia chiaro questa è una critica a noi ingegneri 
).
Non ero andato lontano dal vero in quello che avevo scritto in precedenza... L'unica differenza è che il passaggio al limite si fa solo dopo aver diviso per il $dt$, pardon $\Delta t$:
Scrivo il bilancio energetico approssimato (mi conforta che per un matematico questo passaggio è ok era questo il nodo fondamentale):
$c_P (T(t)-20) \dot(m) \Delta t \sim -M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))$
$c_P (T(t)-20) \dot(m) \sim -\frac{M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))}{\Delta t}$
Quindi si passa al limite che permette di scrivere l'uguaglianza vera e propria:
$c_P (T(t)-20) \dot(m) = lim_(\Delta t->0)-\frac{M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))}{\Delta t}$
$c_P (T(t)-20) \dot(m) = -M c_p (dT)/(dt)$
...oltre a tutte le altre considerazioni su regolarità e unicità
).Non ero andato lontano dal vero in quello che avevo scritto in precedenza... L'unica differenza è che il passaggio al limite si fa solo dopo aver diviso per il $dt$, pardon $\Delta t$:
Scrivo il bilancio energetico approssimato (mi conforta che per un matematico questo passaggio è ok era questo il nodo fondamentale):
$c_P (T(t)-20) \dot(m) \Delta t \sim -M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))$
$c_P (T(t)-20) \dot(m) \sim -\frac{M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))}{\Delta t}$
Quindi si passa al limite che permette di scrivere l'uguaglianza vera e propria:
$c_P (T(t)-20) \dot(m) = lim_(\Delta t->0)-\frac{M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))}{\Delta t}$
$c_P (T(t)-20) \dot(m) = -M c_p (dT)/(dt)$
...oltre a tutte le altre considerazioni su regolarità e unicità
"Faussone":
Scrivo il bilancio energetico approssimato (mi conforta che per un matematico questo passaggio è ok era questo il nodo fondamentale):
$c_P (T(t)-20) \dot(m) \Delta t \sim -M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))$
$c_P (T(t)-20) \dot(m) \sim -\frac{M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))}{\Delta t}$
Quindi si passa al limite che permette di scrivere l'uguaglianza vera e propria:
$c_P (T(t)-20) \dot(m) = lim_(\Delta t->0)-\frac{M c_p (T(t+\Delta t)-T(t))}{\Delta t}$
$c_P (T(t)-20) \dot(m) = -M c_p (dT)/(dt)$
...oltre a tutte le altre considerazioni su regolarità e unicità
come dire che hai scoperto il "circa uguale" e la derivata...
suvvia...
Sidereus, perdonami ma non capisco una cosa, perché sei passaato a considerare $t(x)$ e le funzioni espresse in funzione di $t(x)$ ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
