I tre principi della Dinamica
Questo che segue è un esercizio guidato, non sto riuscendo a capire alcuni punti e vorrei discuterne con voi.....
Vorrei commentare tutti i passaggi sin dal primo punto (A), magari riesco a capire con chiarezza le formule con i disegni che ha fatto il testo
Punto a)
Il testo vuole sapere l'intensità della forza esercitata dalla superficie del piano inclinato sul carrello!
In base al disegno del testo, perchè dice:
$ F_N = mg cos alpha $
Allora, la forza viene chiamata $ F_N $ per quale motivo Forse indica Forza Normale ad un piano
$ m = $ alla massa!
$ g = $ accelerazione di gravità!
$ cos alpha $ perchè si cerca di calcolare la forza lungo l'asse delle $ x $ , giusto Ma proprio questo fatto non lo riesco a comprendere con il disegno del testo 
Secondo voi, di quanti gradi devo ruotare "nella mia mente", il disegno che fa il testo
Vorrei commentare tutti i passaggi sin dal primo punto (A), magari riesco a capire con chiarezza le formule con i disegni che ha fatto il testo
Punto a)
Il testo vuole sapere l'intensità della forza esercitata dalla superficie del piano inclinato sul carrello!
In base al disegno del testo, perchè dice:
$ F_N = mg cos alpha $
Allora, la forza viene chiamata $ F_N $ per quale motivo
Forse indica Forza Normale ad un piano $ m = $ alla massa!
$ g = $ accelerazione di gravità!
$ cos alpha $ perchè si cerca di calcolare la forza lungo l'asse delle $ x $ , giusto
Ma proprio questo fatto non lo riesco a comprendere con il disegno del testo Secondo voi, di quanti gradi devo ruotare "nella mia mente", il disegno che fa il testo
Risposte
Eh, ho sbagliato, nelle componenti di $\vecN$ ovviamente ci va la $N$ non la $T$ (ho copiano ed incollato!).
Ok le componenti di $\vecT$. Le componenti di $\vecN$ non tanto. L'angolo $\beta$ non è $15"°"$, te ne rendi conto dalla figura:
Ok le componenti di $\vecT$. Le componenti di $\vecN$ non tanto. L'angolo $\beta$ non è $15"°"$, te ne rendi conto dalla figura:
Allora sarà:
$ 35^o - 15^o = 20^o $
Giusto
Allora:
$ T_x = T *cos35^o $
$ T_y = T *sen35^o $
$ N_x = N *cos20^o $
$ N_y = N *sen20^o $
Ricavo le componenti:
$ N = -m*g = -23.54N $
Allora
$ N_x = (-23.54N) *cos20^o = -22.12N$
$ N_y = (-23.54N) *sen20^o = -8.05N $
Cosa devo fare adesso
$ 35^o - 15^o = 20^o $
Giusto
Allora:
$ T_x = T *cos35^o $
$ T_y = T *sen35^o $
$ N_x = N *cos20^o $
$ N_y = N *sen20^o $
Ricavo le componenti:
$ N = -m*g = -23.54N $
Allora
$ N_x = (-23.54N) *cos20^o = -22.12N$
$ N_y = (-23.54N) *sen20^o = -8.05N $
Cosa devo fare adesso
No, non è $20"°"$.
Come vedi vale: $\beta = 180 - (90 + 15) = 90 - 15 = 75"°"$
Comunque puoi fare riferimento all'angolo rosso totale, ovvero $(90+15)$, perché solitamente l'angolo che si usa è quello che il vettore forma con l'asse $x$ ruotando in senso orario il vettore sulll'asse.
Le componenti di $\vecN$ sono quindi:
$N_x = N * cos (90"°"+15"°") = N * (-sin15"°")$ $=>$ per la proprietà degli archi associati: $cos(90+alpha)= - sin \alpha$
$N_y = N * sin (90"°"+15"°") = N * cos15"°"$ $=>$ per la proprietà degli archi associati: $sin(90+alpha)= cos\alpha$
P.S. Curiosità: hai per caso studiato il prodotto scalare fra vettori?
Come vedi vale: $\beta = 180 - (90 + 15) = 90 - 15 = 75"°"$
Comunque puoi fare riferimento all'angolo rosso totale, ovvero $(90+15)$, perché solitamente l'angolo che si usa è quello che il vettore forma con l'asse $x$ ruotando in senso orario il vettore sulll'asse.
Le componenti di $\vecN$ sono quindi:
$N_x = N * cos (90"°"+15"°") = N * (-sin15"°")$ $=>$ per la proprietà degli archi associati: $cos(90+alpha)= - sin \alpha$
$N_y = N * sin (90"°"+15"°") = N * cos15"°"$ $=>$ per la proprietà degli archi associati: $sin(90+alpha)= cos\alpha$
P.S. Curiosità: hai per caso studiato il prodotto scalare fra vettori?
Hai fatto un disegno veramente chiaro 
Te ne ringrazio vivamente
Si trattava di angoli associati, tutto quì Che sbadato che sono!
Adesso che ho compreso il perchè delle componenti di $ N $ , non mi resta che impostare le equazioni che mi servono per la soluzione dell'esercizio, vero
Come posso impostare le equazioni
Te ne ringrazio vivamente
Si trattava di angoli associati, tutto quì
Che sbadato che sono! Adesso che ho compreso il perchè delle componenti di $ N $ , non mi resta che impostare le equazioni che mi servono per la soluzione dell'esercizio, vero
Come posso impostare le equazioni
A questo punto, puoi fare riferimento a quanto scritto da navigatore qui.
Le equazioni che ti permettono di trovare le tue incognite sono la (2) e la (3) che non sono altro che le equazioni di equilibrio rispettiviamente alla traslazione lungo l'asse $x$ e l'ungo l'asse $y$.
E' praticamente un sistema di equazioni che devi risolvere.
Se non ti sono chiare quelle equazioni fai un fischio!
Le equazioni che ti permettono di trovare le tue incognite sono la (2) e la (3) che non sono altro che le equazioni di equilibrio rispettiviamente alla traslazione lungo l'asse $x$ e l'ungo l'asse $y$.
E' praticamente un sistema di equazioni che devi risolvere.
Se non ti sono chiare quelle equazioni fai un fischio!
"JoJo_90":
A questo punto, puoi fare riferimento a quanto scritto da navigatore qui.
Le equazioni che ti permettono di trovare le tue incognite sono la (2) e la (3) che non sono altro che le equazioni di equilibrio rispettiviamente alla traslazione lungo l'asse $x$ e l'ungo l'asse $y$.
E' praticamente un sistema di equazioni che devi risolvere.
Quindi significa mettere sistema la (2) con la (3)
Ovviamente ricavare T e poi N
Allora dici questo?
$Tcos35º - Nsen15º = 0 $ -------(2)
$Ncos15º + Tsen35º - P = 0 $ --------(3)
Non mi è mai capitato di risolvere così un esercizio
Mi sa che devo cortesemente chiederti se mi puoi aiutare ad impostare le equazioni, così saprò la prossima volta come fare 
Si.
"JoJo_90":
Si.
Allora dici che mi conviene prima risolvere la (3) rispetto a T ?
"Bad90":
mi conviene prima risolvere la (3) rispetto a T ?
Trattalo come un comune sistema di primo grado, va benissimo risolverlo per sostituzione. Meglio secondo me ricavare una delle due incognite (non importa quale) dalla prima delle due, che è priva di termine noto, e sostituirla nella seconda.
Grazie ragazzi per i vostri interventi.
Si Bad, sono due equazioni di primo grado nelle due incognite $T$ ed $N$. Pensavo le avessi già risolte...
JoJo, il vettore nullo andrebbe scritto in grassetto o con la freccetta, essendo un vettore, di componenti cartesiane $(0,0,0)$.
Quindi hai ragione. Bocciato anch'io !
Si Bad, sono due equazioni di primo grado nelle due incognite $T$ ed $N$. Pensavo le avessi già risolte...
JoJo, il vettore nullo andrebbe scritto in grassetto o con la freccetta, essendo un vettore, di componenti cartesiane $(0,0,0)$.
Quindi hai ragione. Bocciato anch'io !
Ok, pensavo fosse solo una mia fissa (instillata nella mia mente dalla prof di meccanica).
Quindi praticamente dovrei far ristampare il libro di Idraulica e far licenziare la prof di Idraulica (la quale ci dice sempre: <<Mi raccomando, i vettori segnateli come vettori!>> e poi lei invece nelle sue dispense e alla lavagna segna il vettore nullo senza alcun simbolo; ehhh)
Quindi praticamente dovrei far ristampare il libro di Idraulica e far licenziare la prof di Idraulica (la quale ci dice sempre: <<Mi raccomando, i vettori segnateli come vettori!>> e poi lei invece nelle sue dispense e alla lavagna segna il vettore nullo senza alcun simbolo; ehhh)
Beh, JoJo, tutto sta nel capire che cosa vuol dire una certa simbologia, e essere tutti d'accordo nell'accettarla.
Per esempio, in certi casi se sei in uno spazio curvo e devi scrivere un vettore ( che giace non nello spazio curvo ma in uno spazio ad esso tangente: esempio, un vettore sulla superficie di una sfera in un punto P. Devi immaginare in P il piano tangente, e il vettore in P lo disegni sul piano tangente), lo scrivi così :
$v = v^(\alpha)*e_(\alpha)$
qui di solito sul $v$ al primo membro ci andrebbe la freccetta di vettore, ma spesso non la trovi. Al secondo membro poi trovi le componenti $v^(\alpha)$ del vettore, che si dicono "componenti contrarianti" . E trovi la base ${e_(\alpha)}$ (che sarebbero in coordinate cartesiane ortogonali i versori degli assi), anch'essi senza il segno di vettore. E non trovi neanche il segno di sommatoria $\Sigma$, perché si adotta una convenzione : ogni qualvolta trovi un indice ripetuto una volta in alto e una volta in basso (in questo caso si chiama "indice di covarianza" ), devi intendere che devi sommare rispetto a quell'indice, facendolo variare nell'insieme degli indici assegnato.
Ma queste sono divagazioni.
Per esempio, in certi casi se sei in uno spazio curvo e devi scrivere un vettore ( che giace non nello spazio curvo ma in uno spazio ad esso tangente: esempio, un vettore sulla superficie di una sfera in un punto P. Devi immaginare in P il piano tangente, e il vettore in P lo disegni sul piano tangente), lo scrivi così :
$v = v^(\alpha)*e_(\alpha)$
qui di solito sul $v$ al primo membro ci andrebbe la freccetta di vettore, ma spesso non la trovi. Al secondo membro poi trovi le componenti $v^(\alpha)$ del vettore, che si dicono "componenti contrarianti" . E trovi la base ${e_(\alpha)}$ (che sarebbero in coordinate cartesiane ortogonali i versori degli assi), anch'essi senza il segno di vettore. E non trovi neanche il segno di sommatoria $\Sigma$, perché si adotta una convenzione : ogni qualvolta trovi un indice ripetuto una volta in alto e una volta in basso (in questo caso si chiama "indice di covarianza" ), devi intendere che devi sommare rispetto a quell'indice, facendolo variare nell'insieme degli indici assegnato.
Ma queste sono divagazioni.
Sarà che sto sbagliando qualcosa, non sto riuscendo ad arrivare al risultato del testo:
$Tcos35º - Nsen15º = 0 $ -------(2)
$Ncos15º + Tsen35º - P = 0 $ --------(3)
So che il peso è:
$ P = (2.4kg)*(9.81m/s^2)= 23.54N $
La forza normale $ N $ è opposta e allora sarà $ N = -23.54N $ ovviamente scomposta nei seni e coseni. Dunque dalla (2) ricavo $ T $ :
$T =((23.54N)sen15º)/(cos35º) = 7.43N $
Se sostituisco questo valore nella (3), comunque non arrivo ai risultati che il testo dice che la forza esercitata sulla superficie è $ 21N $ mentre la tensione della corda è 6.5N $ 21N $
Come può essere
$Tcos35º - Nsen15º = 0 $ -------(2)
$Ncos15º + Tsen35º - P = 0 $ --------(3)
So che il peso è:
$ P = (2.4kg)*(9.81m/s^2)= 23.54N $
La forza normale $ N $ è opposta e allora sarà $ N = -23.54N $ ovviamente scomposta nei seni e coseni. Dunque dalla (2) ricavo $ T $ :
$T =((23.54N)sen15º)/(cos35º) = 7.43N $
Se sostituisco questo valore nella (3), comunque non arrivo ai risultati che il testo dice che la forza esercitata sulla superficie è $ 21N $ mentre la tensione della corda è 6.5N $ 21N $
Come può essere
Stai sbagliando che la reazione normale $N$ del piano non è uguale contraria al peso. $N$ è un'incognita che devi determinare.
[OT: l'ultimo lo prometto!]
D'accordissimo; e infatti la simbologia adottata è: tutti i vettori vanno scritti con la freccia, quindi perché nello $0$ non ce la mettono? Mistero.
cose troppo "alte" per me e per il mio microscopico cervellino ignorante; comunque le componenti forse volevi scrivere "controvarianti"?
Eh, come dimenticare la ben nota convenzione di Einstein riguardo le sommatorie sugli indici ripetuti; e ancora notazione indiciale, indici muti, sordi, falsi monomi, delta di kronecker e simbolo di levi civita e indici che salgono e scendono non si sa bene secondo quale criterio (ahah, scherzo sono io che non l'ho ancora capito...)
[fine OT]
"navigatore":
Beh, JoJo, tutto sta nel capire che cosa vuol dire una certa simbologia, e essere tutti d'accordo nell'accettarla.
D'accordissimo; e infatti la simbologia adottata è: tutti i vettori vanno scritti con la freccia, quindi perché nello $0$ non ce la mettono? Mistero.
"navigatore":
qui di solito sul $v$ al primo membro ci andrebbe la freccetta di vettore, ma spesso non la trovi. Al secondo membro poi trovi le componenti $v^\alpha$ del vettore, che si dicono "componenti contrarianti"
cose troppo "alte" per me e per il mio microscopico cervellino ignorante; comunque le componenti forse volevi scrivere "controvarianti"?
"navigatore":
E non trovi neanche il segno di sommatoria $\sum$, perché si adotta una convenzione : ogni qualvolta trovi un indice ripetuto una volta in alto e una volta in basso (in questo caso si chiama "indice di covarianza" ), devi intendere che devi sommare rispetto a quell'indice, facendolo variare nell'insieme degli indici assegnato.
Eh, come dimenticare la ben nota convenzione di Einstein riguardo le sommatorie sugli indici ripetuti; e ancora notazione indiciale, indici muti, sordi, falsi monomi, delta di kronecker e simbolo di levi civita e indici che salgono e scendono non si sa bene secondo quale criterio (ahah, scherzo sono io che non l'ho ancora capito...)
[fine OT]
"navigatore":
Stai sbagliando che la reazione normale $N$ del piano non è uguale contraria al peso. $N$ è un'incognita che devi determinare.
Come
Sono esausto, voglio capire questo esercizio, altrimenti lo butto nel Water Ma anche $ T $ è una incognita
JoJo, si, "controvarianti"
Bad, devi calcolare seno e coseno di 35º e 15º, e poi sostituirli nel sistema, che viene fuori così :
$0.819*T - 0.259* N = 0 $
$0.966*N + 0.573*T - P = 0 $
Queste non sono altro che le equazioni (2) e (3) che ti ho scritto qualche post fa.
$P = 23.54$ è il peso ( in Newton N : non lo scrivo se no ti confondi con la reazione del piano)
Sai risolvere questo semplice sistema lineare di due equazioni in due incognite?
Si certo, sono incognite sia $N$ che $T$, e hai due equazioni per calcolarle.
Bad, devi calcolare seno e coseno di 35º e 15º, e poi sostituirli nel sistema, che viene fuori così :
$0.819*T - 0.259* N = 0 $
$0.966*N + 0.573*T - P = 0 $
Queste non sono altro che le equazioni (2) e (3) che ti ho scritto qualche post fa.
$P = 23.54$ è il peso ( in Newton N : non lo scrivo se no ti confondi con la reazione del piano)
Sai risolvere questo semplice sistema lineare di due equazioni in due incognite?
Si certo, sono incognite sia $N$ che $T$, e hai due equazioni per calcolarle.
"navigatore":
JoJo, si, "controvarianti"
Bad, devi calcolare seno e coseno di 35º e 15º, e poi sostituirli nel sistema, che viene fuori così :
$0.819*T - 0.259* N = 0 $
$0.966*N + 0.573*T - P = 0 $
Queste non sono altro che le equazioni (2) e (3) che ti ho scritto qualche post fa.
$P = 23.54$ è il peso ( in Newton N : non lo scrivo se no ti confondi con la reazione del piano)
Sai risolvere questo semplice sistema lineare di due equazioni in due incognite?
E si, ecco:
$0.819*T = 0.259* N $
$T = (0.259* N)/(0.819) = 0.316N $
Adesso la sostituisco nella seconda:
$0.966*N + 0.573*( 0.316N) - P = 0 $
$0.966*N + 0.18N - P = 0 $
$1.74N - P = 0 $
$1.74N - 23.54 = 0 $
$21.8N$
Solo che se risolvo l'equazione impostata alla fine mi risulta uguale a zero, cioè così:
$21.8N = 0$
E' normale
"Bad90":
[quote="navigatore"]JoJo, si, "controvarianti"
Bad, devi calcolare seno e coseno di 35º e 15º, e poi sostituirli nel sistema, che viene fuori così :
$0.819*T - 0.259* N = 0 $
$0.966*N + 0.573*T - P = 0 $
Queste non sono altro che le equazioni (2) e (3) che ti ho scritto qualche post fa.
$P = 23.54$ è il peso ( in Newton N : non lo scrivo se no ti confondi con la reazione del piano)
Sai risolvere questo semplice sistema lineare di due equazioni in due incognite?
E si, ecco:
$0.819*T = 0.259* N $
$T = (0.259* N)/(0.819) = 0.316N $
Adesso la sostituisco nella seconda:
$0.966*N + 0.573*( 0.316N) - P = 0 $
$0.966*N + 0.18N - P = 0 $
$1.74N - P = 0 $ [/quote]
No : $(0.966 + 0.181) N = 23.54 $
Quindi : $1.147*N = 23.54 rightarrow N = 20.52 $ ( Newton)
PERcio : $ T = 0.259/0.819 * 20.52 = 6.49 $ (Newton)
............
Solo che se risolvo l'equazione impostata alla fine mi risulta uguale a zero, cioè così:
$21.8N = 0$
E' normale
Non è normale, ti ho appena detto che $N$ è il modulo della reazione $vecN$ del piano, che è perpendicolare al piano inclinato.
PErcio ti ho pure detto: non metto il simbolo di (Newton=N), se no ti confondi...ed è successo, puntualmente!
Bad, se non fai fin dall'inizio un decente diagramma di corpo libero, e capisci quali sono i dati e quali le incognite, non ci arrivi. Riguardati tutto l'esercizio, ma con calma e sangue freddo, e cerca di capire i tuoi errori.
Cosi non va Bad.
Ma io avevo risolto nello stessissimo modo tuo, solo che non ritrovandomi con i risultati del testo pensavo che era un mio errore e l'unico risultato vicino a quello del testo era quello che avevo fatto io!
Scusami, ma oggi ho un mal di testa assurdo!
Scusami, ma oggi ho un mal di testa assurdo!
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