Dinamica del moto rotatorio, momento angolare.
Nello studio del primo paragrafo, cioè Momento angolare di un punto materiale, vi è la formula del momento angolare:
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
Risposte
Bad, fai attenzione! Il filo accorcia il raggio, il moto non è circolare, e neanche uniforme, da inizio a fine.
Qui devi applicare la conservazione di qualcosa....
La traiettoria descritta dal punto dovrebbe essere un pezzo di spirale di Archimede...non ho tempo di mettermi a fare l'esercizio, ma ricordo che poco tempo fa Faussone lo aveva trattato, questo problema...e aveva pure richiamato un vecchio post.
Cerca tra le sue risposte, con un po' di pazienza lo trovi.
Qui devi applicare la conservazione di qualcosa....
La traiettoria descritta dal punto dovrebbe essere un pezzo di spirale di Archimede...non ho tempo di mettermi a fare l'esercizio, ma ricordo che poco tempo fa Faussone lo aveva trattato, questo problema...e aveva pure richiamato un vecchio post.
Cerca tra le sue risposte, con un po' di pazienza lo trovi.
Sai il link dell'esercizio di Faussone?
Calcolando il momento meccanico totale che agisce sulla massa \(m\) rispetto al centro del disco, si osserva che questo è nullo cioè il momento angolare si conserva
\[\vec{L}=\vec{c}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}L=mR^{2}_{i}\omega_{i}=mR^{2}_{f}\omega_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{2}\]
Ora facendo il rapporto tra i moduli della tensione
\[\frac{T_{f}}{T_{i}}=\frac{m\omega^{2}_{f}R_{f}}{m\omega^{2}_{i}R_{i}}=\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}\frac{R_{f}}{R_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{3}\]
\[\vec{L}=\vec{c}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}L=mR^{2}_{i}\omega_{i}=mR^{2}_{f}\omega_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{2}\]
Ora facendo il rapporto tra i moduli della tensione
\[\frac{T_{f}}{T_{i}}=\frac{m\omega^{2}_{f}R_{f}}{m\omega^{2}_{i}R_{i}}=\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}\frac{R_{f}}{R_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{3}\]
La soluzione l'ha postata correttamente Cuspide, utilizzando la conservazione del momento angolare. Per il tuo esercizio non occorre altro.
L'esercizio a cui facevo riferimento richiedeva anche, se ricordo bene, di calcolare le grandezze cinematiche (velocita, accelerazioni, traiettoria), il che richiede qualche calcolo in più.
L'esercizio a cui facevo riferimento richiedeva anche, se ricordo bene, di calcolare le grandezze cinematiche (velocita, accelerazioni, traiettoria), il che richiede qualche calcolo in più.
"Cuspide83":
Calcolando il momento meccanico totale che agisce sulla massa \(m\) rispetto al centro del disco, si osserva che questo è nullo cioè il momento angolare si conserva
\[\vec{L}=\vec{c}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}L=mR^{2}_{i}\omega_{i}=mR^{2}_{f}\omega_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{2}\]
Ora facendo il rapporto tra i moduli della tensione
\[\frac{T_{f}}{T_{i}}=\frac{m\omega^{2}_{f}R_{f}}{m\omega^{2}_{i}R_{i}}=\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}\frac{R_{f}}{R_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{3}\]
Ok, ma vorrei capire meglio i passaggi algebrici e il concetto fisico.....
Mi sembra ovvio che c'è conservazione, per i motivi dati dalla traccia, bene, si ha allora:
$ I_i omega_i = I_(f) omega_f $
$ mR_i^2 omega_i = mR_(f)^2 omega_f $
$ R_i^2 omega_i = R_(f)^2 omega_f $
E arrivi dunque a dire che $ (omega_i)/(omega_f) = (R_(f)^2)/(R_i^2) $ giusto???
Ma perchè si fanno questi passaggi
E poi non sto capendo il senso dei passaggi che hai fatto per mettere a rapporto le tensioni, non sto capendo nemmeno i passaggi algebrici
Ora facendo il rapporto tra i moduli della tensione
\[\frac{T_{f}}{T_{i}}=\frac{m\omega^{2}_{f}R_{f}}{m\omega^{2}_{i}R_{i}}=\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}\frac{R_{f}}{R_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{3}\]
Come hai fatto ad arrivare al risultato $ ((R_i)/(R_f))^3 $
Bad leggi bene e non avere fretta, questo esercizio è proprio una stupidata.....non ti perdere in un bicchier d'acqua...
Il problema ti chiede di dimostrare che il RAPPORTO TRA LE TENSIONI sia uguale a un qualcosa, giusto? E allora tu che fai, prendi le TENSIONI e ne fai il RAPPORTO e vedi se quello che è uscito fuori è uguale o no a quello che il libro ti dice.
Innanzitutto sai dalla prima equazione del moto che \(T_{k}=m\omega^{2}_{k}R_{k}\) quindi il rapporto tra le tensioni vale
\[\frac{T_{f}}{T_{i}}=\frac{m\omega^{2}_{f}R_{f}}{m\omega^{2}_{i}R_{i}}=\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}\frac{R_{f}}{R_{i}}\]
La parentesi finale a noi non serve scritta in quel modo. Quindi che faccio adesso?..Ho usato gia la prima equazione del moto... ora uso la seconda!
Scelgo come polo per il calcolo dei momenti il centro della circonferenza, e osservo che: forza peso e reazione vincolare costituiscono una coppia di forze a braccio nullo, quindi il loro momento totale è nullo. Dopodichè osservo che il momento della tensione è nullo perchè il raggio vettore e la tensione sono sempre paralleli. Quindi tutti i momenti meccanici sono nulli, questo vuol dire che si conserva il momento angolare (in modulo verso e direzione)
\[\vec{0}=\vec{M}=\frac{d}{dt}\vec{L}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}L=mR^{2}_{k}\omega_{k}=c\]
Se una cosa è costante significa che prima e dopo avrà lo stesso valore quindi
\[L_{i}=mR^{2}_{i}\omega_{i}=mR^{2}_{f}\omega_{f}=L_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{4}\]
Ora sostituisci ed è finita la dimostrazione.
Comunque ricordati che stai "facendo" dinamica.. ci sono solo due equazioni del moto più la "via energetica", non è che hai molto da scegliere su cosa fare.
Il problema ti chiede di dimostrare che il RAPPORTO TRA LE TENSIONI sia uguale a un qualcosa, giusto? E allora tu che fai, prendi le TENSIONI e ne fai il RAPPORTO e vedi se quello che è uscito fuori è uguale o no a quello che il libro ti dice.
Innanzitutto sai dalla prima equazione del moto che \(T_{k}=m\omega^{2}_{k}R_{k}\) quindi il rapporto tra le tensioni vale
\[\frac{T_{f}}{T_{i}}=\frac{m\omega^{2}_{f}R_{f}}{m\omega^{2}_{i}R_{i}}=\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}\frac{R_{f}}{R_{i}}\]
La parentesi finale a noi non serve scritta in quel modo. Quindi che faccio adesso?..Ho usato gia la prima equazione del moto... ora uso la seconda!
Scelgo come polo per il calcolo dei momenti il centro della circonferenza, e osservo che: forza peso e reazione vincolare costituiscono una coppia di forze a braccio nullo, quindi il loro momento totale è nullo. Dopodichè osservo che il momento della tensione è nullo perchè il raggio vettore e la tensione sono sempre paralleli. Quindi tutti i momenti meccanici sono nulli, questo vuol dire che si conserva il momento angolare (in modulo verso e direzione)
\[\vec{0}=\vec{M}=\frac{d}{dt}\vec{L}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}L=mR^{2}_{k}\omega_{k}=c\]
Se una cosa è costante significa che prima e dopo avrà lo stesso valore quindi
\[L_{i}=mR^{2}_{i}\omega_{i}=mR^{2}_{f}\omega_{f}=L_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\left(\frac{\omega_{f}}{\omega_{i}}\right)^{2}=\left(\frac{R_{i}}{R_{f}}\right)^{4}\]
Ora sostituisci ed è finita la dimostrazione.
Comunque ricordati che stai "facendo" dinamica.. ci sono solo due equazioni del moto più la "via energetica", non è che hai molto da scegliere su cosa fare.
"Cuspide83":
Comunque ricordati che stai "facendo" dinamica.. ci sono solo due equazioni del moto più la "via energetica", non è che hai molto da scegliere su cosa fare.
Adesso ho capito i passaggi!
Quindi ti riferisci alle due e sole equazioni che sono:
$ L = Iomega $ e $ T = ma_r $
Giusto Mentre la via energetica qual'è??
Il lavoro
"Cuspide83":
Il lavoro
Ok!
Comunque questo ultimo esercizio non è che sia tanto utile, questo è un mio parere 
....
"Bad90":
Comunque questo ultimo esercizio non è che sia tanto utile, questo è un mio parere
Come no?
"Cuspide83":
[quote="Bad90"]Comunque questo ultimo esercizio non è che sia tanto utile, questo è un mio parere
Come no?[/quote]
Aiutami a capire qual'è il beneficio da trarre
--
"Bad90":
[quote="Cuspide83"][quote="Bad90"]Comunque questo ultimo esercizio non è che sia tanto utile, questo è un mio parere
Come no?[/quote]
Aiutami a capire qual'è il beneficio da trarre
[/quote]Beh ad esempio con una dinamica di questo tipo sai come varia la tensione. E quindi in automatico data la geometria del problema (ad esempio non ti puoi allontanare o avvicinare al centro arbitrariamente) "usare la fune giusta".
Se prendo una fune sbagliata, vorrebbe dire che es. si potrebbe rompere
"Bad90":Si, oppure potresti prenderne una troppo resistente. Comunque non scordarti che questo problema è idealizzato.
Se prendo una fune sbagliata, vorrebbe dire che es. si potrebbe rompere
Il problema che segue, si riaggancia a quest'ultimo che abbiamo fatto:
Riprendiamo in esame il blocco, e supponiamo che lo spago venga tirato verso il basso molto lentamente, in modo che si possa ritenere che il blocco si muova in ogni istante praticamente lungo un cerchio di raggio R.
a) Dimostrare che la tensione dello spago varia con R come $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ , dove l'indice $ i $ si riferisce ai valori iniziali.
b) Usare la risposta della parte a) per trovare il lavoro compiuto sul blocco dalla tensione dello spago mentre il raggio della traiettoria circolare del blocco varia da $ R_i $ a $ R_f $ .
c) Dimostrare che il lavoro calcolato nella parte b) è pari alla variazione dell'energia cinetica del blocco.
Punto a) Questo è un esercizio simile al precedente, mi dice di verificare un qualcosa che sia uguale a qualcos'altro......
Vediamo se ho compreso, inizio dal principio per arrivare a $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $:
$ T = ma_R $
$ T = momega_i^2R_i $
$ T = mv_i^2R_i^2 $
Mi sembra ovvio che la tensione detta dalla traccia sia quella che ho appena scritto io e che avendo a denonminatore un parametro che variando, in questo caso diminuendo, porterà un aumento della tensione
$ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $
Punto b)
Qui penso che si riferisce ad una variazione di raggio, dove il raggio finale è minore di quello iniziale.....
E che ragionamento devo fare Io penso che si tratta di una rototraslazione
In sostanza io so che se tiro la corda per accorciare il raggio, compirò un lavoro di traslazione e uno di rotazione, esprimibile con la seguente:
$K = W = 1/2mv_f^2 - 1/2Iomega_f^2 $
Ma poi il testo mi dice che devo utilizzare la risposta a) per giustificare la risposta b) E come devo fare utilizzando questa tensione $T= (mv_i^2R_i^2)/R^3 $
Ehi Cuspide, non sono bravo come te, ma come faccio ad arrivare al risultato e a capire questo concetto?
Il testo mi dice che il risultato deve essere $ W = -1/2mv_i^2(1-R_i^2/R_f^2) $
Helppppppp
Sostanzialmente si ha una condizione di energia cinetica che varia al variare del raggio, ma come arriva il testo a dire che il risultato deve essere $ W = -1/2mv_i^2(1-R_i^2/R_f^2) $
Io so che $ K = 1/2mv^2 $ e in un moto circolare potrà essere $ 1/2mv_i^2 = 1/2momega_i^2R_i^2 $ allora potrà essere che il testo abbia fatto questo?
$ 1/2mv_i^2 = 1/2momega_i^2(R_i^2)/(R_f^2) $
cioè dimostrare che alla variazione del raggio finale si hanno condizioni diverse a destra e a sinistra?
Che poi il testo la scrive in questo modo?
$ W =-1/2mv_i^2 + 1/2momega_i^2(R_i^2)/(R_f^2) $
MA COSA VUOLE QUESTA TRACCIAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Riprendiamo in esame il blocco, e supponiamo che lo spago venga tirato verso il basso molto lentamente, in modo che si possa ritenere che il blocco si muova in ogni istante praticamente lungo un cerchio di raggio R.
a) Dimostrare che la tensione dello spago varia con R come $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ , dove l'indice $ i $ si riferisce ai valori iniziali.
b) Usare la risposta della parte a) per trovare il lavoro compiuto sul blocco dalla tensione dello spago mentre il raggio della traiettoria circolare del blocco varia da $ R_i $ a $ R_f $ .
c) Dimostrare che il lavoro calcolato nella parte b) è pari alla variazione dell'energia cinetica del blocco.
Punto a) Questo è un esercizio simile al precedente, mi dice di verificare un qualcosa che sia uguale a qualcos'altro......
Vediamo se ho compreso, inizio dal principio per arrivare a $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $:
$ T = ma_R $
$ T = momega_i^2R_i $
$ T = mv_i^2R_i^2 $
Mi sembra ovvio che la tensione detta dalla traccia sia quella che ho appena scritto io e che avendo a denonminatore un parametro che variando, in questo caso diminuendo, porterà un aumento della tensione
$ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ Punto b)
Qui penso che si riferisce ad una variazione di raggio, dove il raggio finale è minore di quello iniziale.....
E che ragionamento devo fare
Io penso che si tratta di una rototraslazione In sostanza io so che se tiro la corda per accorciare il raggio, compirò un lavoro di traslazione e uno di rotazione, esprimibile con la seguente:
$K = W = 1/2mv_f^2 - 1/2Iomega_f^2 $
Ma poi il testo mi dice che devo utilizzare la risposta a) per giustificare la risposta b)
E come devo fare utilizzando questa tensione $T= (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ Ehi Cuspide, non sono bravo come te, ma come faccio ad arrivare al risultato e a capire questo concetto?
Il testo mi dice che il risultato deve essere $ W = -1/2mv_i^2(1-R_i^2/R_f^2) $
Helppppppp
Sostanzialmente si ha una condizione di energia cinetica che varia al variare del raggio, ma come arriva il testo a dire che il risultato deve essere $ W = -1/2mv_i^2(1-R_i^2/R_f^2) $
Io so che $ K = 1/2mv^2 $ e in un moto circolare potrà essere $ 1/2mv_i^2 = 1/2momega_i^2R_i^2 $ allora potrà essere che il testo abbia fatto questo?
$ 1/2mv_i^2 = 1/2momega_i^2(R_i^2)/(R_f^2) $
cioè dimostrare che alla variazione del raggio finale si hanno condizioni diverse a destra e a sinistra?
Che poi il testo la scrive in questo modo?
$ W =-1/2mv_i^2 + 1/2momega_i^2(R_i^2)/(R_f^2) $
MA COSA VUOLE QUESTA TRACCIAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Ho risolto con un calcolo integrale
$ W = int_(R_i)^(R_f) T dR $
Che in questo caso sarà:
$ W = int_(R_i)^(R_f) (mv_i^2R_i^2)/R^3 dR $
Non proseguo, ma comunque è così che si può giustificare il tutto
$ W = int_(R_i)^(R_f) T dR $
Che in questo caso sarà:
$ W = int_(R_i)^(R_f) (mv_i^2R_i^2)/R^3 dR $
Non proseguo, ma comunque è così che si può giustificare il tutto
Ho risolto il seguente esercizio:
Un vagone ferroviario è dotato di quattro ruote e ha una massa totale $M=300kg$. $Sia I=4kgm^2$ il momento di inerzia di ogni singola ruota calcolato intorno al proprio asse e $r=40cm$ è il raggio delle ruote. Se il vagone è spinto lungo una rotaia da una forza orizzontale e costante $F=100N$ e non vi sono slittamenti, trovare il valore della sua accelerazione.
Il risultato del testo è $ a = 0.25m/s^2 $
Ragazzi, secondo me e sono proprio convinto che questo esercizio ha il risultato sbagliato, il testo non ha considerato la forza peso del vagone, l'equazione è la seguente $ ma = mg + F - 4F_x $ , il testo ha considerato solo questa $ ma = F - 4F_x $
Per quale motivo non ha considerato $ mg $
Un vagone ferroviario è dotato di quattro ruote e ha una massa totale $M=300kg$. $Sia I=4kgm^2$ il momento di inerzia di ogni singola ruota calcolato intorno al proprio asse e $r=40cm$ è il raggio delle ruote. Se il vagone è spinto lungo una rotaia da una forza orizzontale e costante $F=100N$ e non vi sono slittamenti, trovare il valore della sua accelerazione.
Il risultato del testo è $ a = 0.25m/s^2 $
Ragazzi, secondo me e sono proprio convinto che questo esercizio ha il risultato sbagliato, il testo non ha considerato la forza peso del vagone, l'equazione è la seguente $ ma = mg + F - 4F_x $ , il testo ha considerato solo questa $ ma = F - 4F_x $
Per quale motivo non ha considerato $ mg $
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