Cinematica in due dimensioni-Esercizi
Esercizio 1
Risposte
Esercizio 20 : non è facile, considerato che stai appena ora imparando la Cinematica con l'uso dei vettori, te lo dico subito. Ma ce la puoi fare ugualmente, si tratta di ragionare un po', e applicare le giuste relazioni vettoriali.
Ci sono due osservatori, A e B. Entrambi rilevano il moto di un punto P. Comincia a considerare la velocità del punto P.
Sai quanto vale vettorialmente questa velocità nel riferimento di A. Facciamo una cosa: diamo un nome al riferimento cartesiano di A, chiamiamolo "riferimento assoluto". Allora possiamo chiamare "velocità assoluta" il vettore $vecv_(PA)$ , cioè la velocità di P rispetto al riferimento assoluto ( il suffisso (PA) significa proprio questo : velocità di P rispetto ad A).
Ora però abbiamo un altro riferimento, quello solidale all'osservatore B. Questo riferimento, lo chiamiamo "riferimento di trascinamento" ( il nome non è inventato, lo si chiama proprio così). Questo riferimento si muove rispetto al rif assoluto, cioè rispetto ad A, con la velocità nota $vecv_(BA)$ ( nota sempre che i pedici significano: velocità di B rispetto ad A).
Il problema ti chiede di determinare la velocità di P valutata dall'osservatore B. Questa velocità di P relativa al riferimento B, la chiamiamo proprio velocità relativa $vecv_(PB)$ : è questa che occorre determinare, a partire dai due vettori noti "velocità assoluta" $vecv_(PA)$ e "velocità di trascinamento" $vecv_(BA)$.
Ricapitolando: abbiamo due riferimenti, B ed A; il rif B è in moto rispetto al rif A con velocità $vecv_(BA)$
Il punto P è in moto con velocità assoluta $vecv_(PA)$ . Determinare la velocità relativa di P, cioè nel riferimento B.
Ripensa all'esempio che ti ho fatto delle due automobili, e della motocicletta che sopraggiunge sorpassando entrambe. E prova a dire qualcosa.
Poi faremo il discorso dell'accelerazione. Ti dico subito che non c'entra il moto circolare qui.
L'esercizio vuole farti capire "come si valutano i moti in riferimenti diversi"
Ci sono due osservatori, A e B. Entrambi rilevano il moto di un punto P. Comincia a considerare la velocità del punto P.
Sai quanto vale vettorialmente questa velocità nel riferimento di A. Facciamo una cosa: diamo un nome al riferimento cartesiano di A, chiamiamolo "riferimento assoluto". Allora possiamo chiamare "velocità assoluta" il vettore $vecv_(PA)$ , cioè la velocità di P rispetto al riferimento assoluto ( il suffisso (PA) significa proprio questo : velocità di P rispetto ad A).
Ora però abbiamo un altro riferimento, quello solidale all'osservatore B. Questo riferimento, lo chiamiamo "riferimento di trascinamento" ( il nome non è inventato, lo si chiama proprio così). Questo riferimento si muove rispetto al rif assoluto, cioè rispetto ad A, con la velocità nota $vecv_(BA)$ ( nota sempre che i pedici significano: velocità di B rispetto ad A).
Il problema ti chiede di determinare la velocità di P valutata dall'osservatore B. Questa velocità di P relativa al riferimento B, la chiamiamo proprio velocità relativa $vecv_(PB)$ : è questa che occorre determinare, a partire dai due vettori noti "velocità assoluta" $vecv_(PA)$ e "velocità di trascinamento" $vecv_(BA)$.
Ricapitolando: abbiamo due riferimenti, B ed A; il rif B è in moto rispetto al rif A con velocità $vecv_(BA)$
Il punto P è in moto con velocità assoluta $vecv_(PA)$ . Determinare la velocità relativa di P, cioè nel riferimento B.
Ripensa all'esempio che ti ho fatto delle due automobili, e della motocicletta che sopraggiunge sorpassando entrambe. E prova a dire qualcosa.
Poi faremo il discorso dell'accelerazione. Ti dico subito che non c'entra il moto circolare qui.
L'esercizio vuole farti capire "come si valutano i moti in riferimenti diversi"
Di P rispetto ad A
$ v_A = 3m/s hat(j) $
$ a_A = 4m/s^2 hat(i) $
Di B rispetto ad A
$ v_(BA )= (2m/s) hat(i) + (-1m/s) hat(j) $
Risoluzione punto a)
Secondo B, la velocità sarà
$ v_B = (2m/s)hat(i)+[(3m/s)-(-1m/s)]hat(j)=(2m/s)hat(i)+[(4m/s)]hat(j) $
Ho fatto un tentativo pensando che i due corpi si dirigono uno verso l'altro e quindi la velocità di uno più la velocità dell'altro, tenendo presente che una è la velocità assoluta (rispetto ad A) mentre l'altra è la velocità relativa di B rispetto ad A.
$ v_A = 3m/s hat(j) $
$ a_A = 4m/s^2 hat(i) $
Di B rispetto ad A
$ v_(BA )= (2m/s) hat(i) + (-1m/s) hat(j) $
Risoluzione punto a)
Secondo B, la velocità sarà
$ v_B = (2m/s)hat(i)+[(3m/s)-(-1m/s)]hat(j)=(2m/s)hat(i)+[(4m/s)]hat(j) $
Ho fatto un tentativo pensando che i due corpi si dirigono uno verso l'altro e quindi la velocità di uno più la velocità dell'altro, tenendo presente che una è la velocità assoluta (rispetto ad A) mentre l'altra è la velocità relativa di B rispetto ad A.
Mmmmm....ci sei quasi arrivato....Vediamo.
La velocità assoluta di P rispetto ad A è : $vecv_(PA) = 3vecj$
LA velocita di trascinamento di B rispetto ad A è : $vecv_(BA) = 2veci - 1vecj$
Adesso, pensa questo: un treno corre a $150 (km)/h$ sui binari. Nel treno un ragazzo lancia una palla in avanti, che ha una velocità di $5m/s = 18 (km)/h$ rispetto al treno. Qual è la velocità della palla, secondo un osservatore fermo a terra vicino ai binari?
Diamo i nomi. L'osservatore a terra è A, la terra è il suo riferimento assoluto.
Il treno è il riferimento di trascinamento B, quindi la velocità di trascinamento di B rispetto ad A è : $v_(BA) = 150 (km)/h$
La palla è P, che ha una velocità relativa a B di : $v_(PB) = 18(km)/h$
Evidentemente, la velocità assoluta misurata da A è la somma della velocità relativa e della velocità di trascinamento:
$v_(PA) = v_(PB) + v_(BA) = 18 + 150 = 168 (km)/h$
(vedi come sono messi i pedici? ${PA rightarrow PB + BA}$ : sembra quasi un ordine che ti guida nel fare la somma. L'indice centrale B fa da collegamento).
Non voglio allungare troppo il brodo. È una relazione di carattere generale, anche vettoriale :
$vecv_(PA) = vecv_(PB) + vecv_(BA) $ , cioè :
"velocita assoluta = velocita relativa + velocita di trascinamento" , anche se si tratta di vettori.
Nel tuo esercizio, conosci : la velocità assoluta $vecv_(PA) = 3vecj$ ;
la velocità di trascinamento $vecv_(BA) = 2veci - 1vecj$ .
Ti manca allora la velocità relativa , che deve soddisfare la relazione detta, cioè deve essere :
$3vecj = vecv_(PB) + (2veci - 1vecj) $
PErcio da qui ti puoi ricavare : $vecv_(PB) = 3vecj -(2veci - 1vecj) = -2veci + 4vec j $
tutto chiaro finora?
La velocità assoluta di P rispetto ad A è : $vecv_(PA) = 3vecj$
LA velocita di trascinamento di B rispetto ad A è : $vecv_(BA) = 2veci - 1vecj$
Adesso, pensa questo: un treno corre a $150 (km)/h$ sui binari. Nel treno un ragazzo lancia una palla in avanti, che ha una velocità di $5m/s = 18 (km)/h$ rispetto al treno. Qual è la velocità della palla, secondo un osservatore fermo a terra vicino ai binari?
Diamo i nomi. L'osservatore a terra è A, la terra è il suo riferimento assoluto.
Il treno è il riferimento di trascinamento B, quindi la velocità di trascinamento di B rispetto ad A è : $v_(BA) = 150 (km)/h$
La palla è P, che ha una velocità relativa a B di : $v_(PB) = 18(km)/h$
Evidentemente, la velocità assoluta misurata da A è la somma della velocità relativa e della velocità di trascinamento:
$v_(PA) = v_(PB) + v_(BA) = 18 + 150 = 168 (km)/h$
(vedi come sono messi i pedici? ${PA rightarrow PB + BA}$ : sembra quasi un ordine che ti guida nel fare la somma. L'indice centrale B fa da collegamento).
Non voglio allungare troppo il brodo. È una relazione di carattere generale, anche vettoriale :
$vecv_(PA) = vecv_(PB) + vecv_(BA) $ , cioè :
"velocita assoluta = velocita relativa + velocita di trascinamento" , anche se si tratta di vettori.
Nel tuo esercizio, conosci : la velocità assoluta $vecv_(PA) = 3vecj$ ;
la velocità di trascinamento $vecv_(BA) = 2veci - 1vecj$ .
Ti manca allora la velocità relativa , che deve soddisfare la relazione detta, cioè deve essere :
$3vecj = vecv_(PB) + (2veci - 1vecj) $
PErcio da qui ti puoi ricavare : $vecv_(PB) = 3vecj -(2veci - 1vecj) = -2veci + 4vec j $
tutto chiaro finora?
Sei stato chiarissimo, ci tnevo a dirti che ho fatto parecchie ricerche per trovare qualche spiegazione di questi concetti, ma non ho trovato nulla che spiegasse in modo cosi' chiaro come hai fatto tu!
Perfetto, solo che adesso bisogna fare lo stesso ragionamento per l'accelerazione, giusto
Ma non ho un'accelerazione per quanto riguarda $ a_(BA) $, quindi volendo scrivere la relazione per l'accelerazione, bisogna fare in questo modo
$a_(PA) = a_(PB) + a_(BA) $
$4m/s^2 hat(i) = a_(PB) + a_(BA) $
Perfetto, solo che adesso bisogna fare lo stesso ragionamento per l'accelerazione, giusto
Ma non ho un'accelerazione per quanto riguarda $ a_(BA) $, quindi volendo scrivere la relazione per l'accelerazione, bisogna fare in questo modo
$a_(PA) = a_(PB) + a_(BA) $
$4m/s^2 hat(i) = a_(PB) + a_(BA) $
Esercizio 21
Risoluzione
Per risolvere questo, ho pensato ai vettori nel seguente modo.....
Conosco la velocità del treno che è:
$ v_A = 3,4m/s hat(i) $
Mentre la velocità dell'uomo è:
$ v_B = 1.2 m/s $ (ha una direzione di $ 45^o $ nel primo quadrante)
Quindi non conoscendo la sua velocità in termini di comnponenti, dovrò riscavarla nel modo seguente:
$ v_(Bx) = v_0 * cos(45^o) $
$ v_(By) = v_0 * sen(45^o) $
Ma a me interessa solo la velocità in $ x $ e allora ricavo la $ v_x $ :
$ v_x = 1.2m/s * cos(45^o) = 0,85m/s hat(i)$
La velocità dell'uomo rispetto alla terra sarà:
$ v=v_A + v_(Bx) $
$ v=(3,4m/s hat(i)) + (0,85m/s hat(i)) = 4.25 m/s hat(i) $
P.S. Non so se il mio discorso fila, solo che non sono riuscito a pensare diversamente
Risoluzione
Per risolvere questo, ho pensato ai vettori nel seguente modo.....
Conosco la velocità del treno che è:
$ v_A = 3,4m/s hat(i) $
Mentre la velocità dell'uomo è:
$ v_B = 1.2 m/s $ (ha una direzione di $ 45^o $ nel primo quadrante)
Quindi non conoscendo la sua velocità in termini di comnponenti, dovrò riscavarla nel modo seguente:
$ v_(Bx) = v_0 * cos(45^o) $
$ v_(By) = v_0 * sen(45^o) $
Ma a me interessa solo la velocità in $ x $ e allora ricavo la $ v_x $ :
$ v_x = 1.2m/s * cos(45^o) = 0,85m/s hat(i)$
La velocità dell'uomo rispetto alla terra sarà:
$ v=v_A + v_(Bx) $
$ v=(3,4m/s hat(i)) + (0,85m/s hat(i)) = 4.25 m/s hat(i) $
P.S. Non so se il mio discorso fila, solo che non sono riuscito a pensare diversamente
"Bad90":
Sei stato chiarissimo, ci tnevo a dirti che ho fatto parecchie ricerche per trovare qualche spiegazione di questi concetti, ma non ho trovato nulla che spiegasse in modo cosi' chiaro come hai fatto tu!
Perfetto, solo che adesso bisogna fare lo stesso ragionamento per l'accelerazione, giusto
Ma non ho un'accelerazione per quanto riguarda $ a_(BA) $, quindi volendo scrivere la relazione per l'accelerazione, bisogna fare in questo modo
$a_(PA) = a_(PB) + a_(BA) $
$4m/s^2 hat(i) = a_(PB) + a_(BA) $
Ho acceso solo ora il computer, e tra due minuti devo spegnerlo, perciò non ho tempo ora di spiegarti per benino come funziona la storia dell'accelerazione in due diversi riferimenti, in moto l'uno rispetto all'altro. Te lo spiegherò stasera meglio. Peroò posso dirti subito che non è come hai scritto tu.
Nel frattempo, pensa solo questo : il riferimento B si muove, rispetto al riferimento A, con una velocità vettoriale costante. . Percio, quando vai a calcolare l'accelerazione in B, siccome l'accelerazione è una derivata della velocità rispetto al tempo (anche i vettori si "derivano", come le funzioni), e la derivata di una quantità costante è nulla.....rifletti!
Mamma mia , che linguaggio approssimato sto usando, matematicamente parlando!...Ma desidero farti capire, ora.
Ciao. Chiudo
Ok, meglio essere efficienti che utilizzare un linguaggio troppo addentrato, penso che il linguaggio addentrato è meglio utilizzarlo quando si riesce a padroneggiare con la materia! 
Adesso cerco di ragionare un po su quanto mi hai detto
Adesso cerco di ragionare un po su quanto mi hai detto
Es 20 : ti devo dare il completamento della risposta per l'accelerazione.
Si ha che il riferimento B si muove, rispetto al riferimento "assoluto" A, di un "moto di trascinamento" che avviene a velocità costante : $vecv_(BA) = "costante"$. Se ricordi, avevamo detto :
$ vecv_(PA) = vecv_(PB) + vecv_(BA)$ -----(1)
la quale traduce in formule questo fatto : la velocità assoluta è somma della velocità relativa e di quella di trascinamento.
Si può anche scrivere così : $ vecv_(PA) - vecv_(PB) = vecv_(BA)$ ------(2)
cioe la differenza tra le velocita di P nei due riferimenti è uguale alla velocità del riferimento B rispetto al riferimento A.
ORa, per calcolare le accelerazioni, bisogna derivare le velocità rispetto al tempo.
Quando la velocità a secondo membro della (2) è costante, vuol dire che il riferimento B si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al riferimento A . E quindi il riferimento B non accelera rispetto ad A.
Se le due velocità al primo membro, cioè le velocità di P rispetto ad A e a B, sono funzioni del tempo, la loro differenza (vettoriale) è un vettore costante. Andando a derivare le velocità al primo membro, otteniamo le accelerazioni di P rispetto ad A e a B : esse sono uguali quando il riferimento B si muove rispetto ad A con moto rettilineo uniforme.
Di solito il riferimento assoluto A si suppone sia un riferimento "inerziale" . Che vuol dire? Lo vedrai in Dinamica.
Allora quanto prima detto ci consente di dire che anche il riferimento B, in moto rettilineo uniforme rispetto ad A, è un riferimento inerziale. Ma lo capirai meglio in Dinamica.
Si ha che il riferimento B si muove, rispetto al riferimento "assoluto" A, di un "moto di trascinamento" che avviene a velocità costante : $vecv_(BA) = "costante"$. Se ricordi, avevamo detto :
$ vecv_(PA) = vecv_(PB) + vecv_(BA)$ -----(1)
la quale traduce in formule questo fatto : la velocità assoluta è somma della velocità relativa e di quella di trascinamento.
Si può anche scrivere così : $ vecv_(PA) - vecv_(PB) = vecv_(BA)$ ------(2)
cioe la differenza tra le velocita di P nei due riferimenti è uguale alla velocità del riferimento B rispetto al riferimento A.
ORa, per calcolare le accelerazioni, bisogna derivare le velocità rispetto al tempo.
Quando la velocità a secondo membro della (2) è costante, vuol dire che il riferimento B si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al riferimento A . E quindi il riferimento B non accelera rispetto ad A.
Se le due velocità al primo membro, cioè le velocità di P rispetto ad A e a B, sono funzioni del tempo, la loro differenza (vettoriale) è un vettore costante. Andando a derivare le velocità al primo membro, otteniamo le accelerazioni di P rispetto ad A e a B : esse sono uguali quando il riferimento B si muove rispetto ad A con moto rettilineo uniforme.
Di solito il riferimento assoluto A si suppone sia un riferimento "inerziale" . Che vuol dire? Lo vedrai in Dinamica.
Allora quanto prima detto ci consente di dire che anche il riferimento B, in moto rettilineo uniforme rispetto ad A, è un riferimento inerziale. Ma lo capirai meglio in Dinamica.
Un sistema di riferimento inerziale e' un sistema in cui e' valido il primo principio della dinamica!
O meglio, in un sistema di riferimento inerziale, un corpo non sottoposto ad alcuna azione, preservera' nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme!
Per il resto adesso ci ragiono un po, anche se mi sembra piu' un argomento del capitolo che ho studiato oggi, cioe' la dinamica!
O meglio, in un sistema di riferimento inerziale, un corpo non sottoposto ad alcuna azione, preservera' nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme!
Per il resto adesso ci ragiono un po, anche se mi sembra piu' un argomento del capitolo che ho studiato oggi, cioe' la dinamica!
"Bad90":
Un sistema di riferimento inerziale e' un sistema in cui e' valido il primo principio della dinamica!
O meglio, in un sistema di riferimento inerziale, un corpo non sottoposto ad alcuna azione, preservera' nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme!
Ti ringrazio, adesso ho compreso il concetto
Ma per capirlo in modo più dettagliato, mi sono servito del capitolo successivo
, non capisco il perchè il testo, negli ultimi esercizi di fine capitolo, mi propone concetti del capitolo successivo 
Vabbe', l'importante è venirne fuori
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