Cinematica in due dimensioni-Esercizi
Esercizio 1
Risposte
Esercizio 5
Risoluzione
Se le coordinate del corpo sono date dalle seguenti:
$ x(t) = (1.9m/s^2) t^2 $
$ y(t) = -5.6m + (0.47m/s^3) t^3 $
Le componenti della velocità saranno:
Per la $ v_x $
$ d/(dt)x(t) = d/(dt)[(1.9m/s^2) t^2] $
$ v_x=(3.8m/s^2) t $
Per la $ v_y $
$ d/(dt)y(t) = d/(dt)[-5.6m+(0.47m/s^3)t^3] $
$ v_y=(1.41m/s^2) t^2 $
Quindi la velocità sarà:
$ v=[(3.8m/s^2) t]+[(1.41m/s^2) t^2] $
Quindi l'accelerazione sarà:
Sempre derivando, sarà:
$ a=[(3.8m/s^2)]+[(2.82m/s^2) t] $
Cosa ne dite?
Risoluzione
Se le coordinate del corpo sono date dalle seguenti:
$ x(t) = (1.9m/s^2) t^2 $
$ y(t) = -5.6m + (0.47m/s^3) t^3 $
Le componenti della velocità saranno:
Per la $ v_x $
$ d/(dt)x(t) = d/(dt)[(1.9m/s^2) t^2] $
$ v_x=(3.8m/s^2) t $
Per la $ v_y $
$ d/(dt)y(t) = d/(dt)[-5.6m+(0.47m/s^3)t^3] $
$ v_y=(1.41m/s^2) t^2 $
Quindi la velocità sarà:
$ v=[(3.8m/s^2) t]+[(1.41m/s^2) t^2] $
Quindi l'accelerazione sarà:
Sempre derivando, sarà:
$ a=[(3.8m/s^2)]+[(2.82m/s^2) t] $
Cosa ne dite?
"Bad90":
Esercizio 5
...................
Le componenti della velocità saranno:
Per la $ v_x $
$ d/(dt)x(t) = d/(dt)[(1.9m/s^2) t^2] $
$ v_x=(3.8m/s^2) t $
Per la $ v_y $
$ d/(dt)y(t) = d/(dt)[-5.6m+(0.47m/s^3)t^3] $
$ v_y=(1.41m/s^2) t^2 $
Fin qui va bene.
Quindi la velocità sarà:
$ v=[(3.8m/s^2) t]+[(1.41m/s^2) t^2] $
Quindi l'accelerazione sarà:
Sempre derivando, sarà:
$ a=[(3.8m/s^2)]+[(2.82m/s^2) t] $
Cosa ne dite?
"navigatore":
Quindi la velocità sarà:
$ v=[(3.8m/s^2) t]+[(1.41m/s^2) t^2] $
:
:
Quindi l'accelerazione sarà:
Sempre derivando, sarà:
$ a=[(3.8m/s^2)]+[(2.82m/s^2) t] $
Cosa ne dite?
Quelle sono le componenti della velocità e accelerazione:
$ v_x = (3.8m/s^2) t $
$ v_y = (1.41m/s^2) t^2 $
$ a_x = (3.8m/s^2) $
$ a_y =(2.82m/s^2) t $
"Bad90":
...
$ v_y = (1.41m/s^2) t^2 $
...
$ a_y =(2.82m/s^2) t $
$ v_y = (1.41m/s^3) t^2 $
...
$ a_y =(2.82m/s^3) t $
Oltre alle giuste osservazioni di Chiaraotta sulle unità di misura, non puoi sommare le componenti in quel modo! Velocita e accelerazione sono vettori!
Sono stato uno sbadato, non mi sono reso conto dell'errore! 
Ok, adesso provvedo a fare chiarezza!
Grazie mille!
Ok, adesso provvedo a fare chiarezza!
Grazie mille!
Esercizio 6
Risoluzione
Essendo un moto accelerato, le due equazioni che descrivono il moto sono:
$ vec(v) = v_0 + at $
$ x(t)= x_0 + v_(0x)*t + 1/2 at^2 $
Idem per la $ y(t) $
Comunque ho iniziato a ricavare le componenti dell'accelerazione mediante $ a_x = a * cos alpha $ e $ a_y = a * sen alpha $
Ma poi per arrivare alle componenti della velocità, cosa bisogna fare Basta aggiungere un tempo da moltiplicare per le singole componenti Insomma, per risolvere questo punto, non pensa si debba integrare .... 
! Giusto
Mi sembra chiaro che $ a = (dv)/(dt) $ e che $ v = (dx)/(dt) $ allora $ a = (d^2x)/dt^2 $
Risoluzione
Essendo un moto accelerato, le due equazioni che descrivono il moto sono:
$ vec(v) = v_0 + at $
$ x(t)= x_0 + v_(0x)*t + 1/2 at^2 $
Idem per la $ y(t) $
Comunque ho iniziato a ricavare le componenti dell'accelerazione mediante $ a_x = a * cos alpha $ e $ a_y = a * sen alpha $
Ma poi per arrivare alle componenti della velocità, cosa bisogna fare
Basta aggiungere un tempo da moltiplicare per le singole componenti Insomma, per risolvere questo punto, non pensa si debba integrare .... ! Giusto Mi sembra chiaro che $ a = (dv)/(dt) $ e che $ v = (dx)/(dt) $ allora $ a = (d^2x)/dt^2 $
Es 6 : sei sicuro del testo? Penso di sí.
Tanto per cominciare, se l'angolo con l'orizzontale è 15º, risulta che la componente di $vecg$ lungo il piano è : $ g*sen15º = 2.54 m/s^2$ , e non $1.81 m/s^2$.
.....A meno che la biglia non sia frenata nel suo moto da una forza costante, diretta in verso opposto alla componente del peso, che ne diminuisce l'accelerazione. Ma qui non si parla di forze...
Ho voluto precisarlo a scanso di equivoci. Vabbè, prendiamo pure per buono questo dato...
E quindi supponiamo che il vettore $veca$ diretto lungo l'asse dritto, che è inclinato di $\alpha = 15º$ come detto, abbia modulo di $1.81m/s^2$.
Allora : $ veca_x = a*cos\alphaveci$ ;;;; $veca_y = - a*sen\alphavecj$
Da queste componenti dell'accelerazione, ti devi ricavare le due componenti delle velocità, in entrambe le direzioni, tenendo presente appunto che il moto è uniformemente accelerato sia in direzione $x$ che in direzione $y$:
$v = v_0 + at = at$ ( se la velocità iniziale è nulla come in questo caso, vale la seconda uguaglianza: la biglia è lasciata "libera" all'istante iniziale).
Perciò basta che ti scriva questa espressione sia per $v_x$ che per $v_y$. Attenzione però ai segni in direzione $y$ !
In maniera analoga ( adeguatamente analoga!) ti scrivi le componenti dello spazio nelle due direzioni.
Tanto per cominciare, se l'angolo con l'orizzontale è 15º, risulta che la componente di $vecg$ lungo il piano è : $ g*sen15º = 2.54 m/s^2$ , e non $1.81 m/s^2$.
.....A meno che la biglia non sia frenata nel suo moto da una forza costante, diretta in verso opposto alla componente del peso, che ne diminuisce l'accelerazione. Ma qui non si parla di forze...
Ho voluto precisarlo a scanso di equivoci. Vabbè, prendiamo pure per buono questo dato...
E quindi supponiamo che il vettore $veca$ diretto lungo l'asse dritto, che è inclinato di $\alpha = 15º$ come detto, abbia modulo di $1.81m/s^2$.
Allora : $ veca_x = a*cos\alphaveci$ ;;;; $veca_y = - a*sen\alphavecj$
Da queste componenti dell'accelerazione, ti devi ricavare le due componenti delle velocità, in entrambe le direzioni, tenendo presente appunto che il moto è uniformemente accelerato sia in direzione $x$ che in direzione $y$:
$v = v_0 + at = at$ ( se la velocità iniziale è nulla come in questo caso, vale la seconda uguaglianza: la biglia è lasciata "libera" all'istante iniziale).
Perciò basta che ti scriva questa espressione sia per $v_x$ che per $v_y$. Attenzione però ai segni in direzione $y$ !
In maniera analoga ( adeguatamente analoga!) ti scrivi le componenti dello spazio nelle due direzioni.
"navigatore":
In maniera analoga ( adeguatamente analoga!) ti scrivi le componenti dello spazio nelle due direzioni.
Ok, adesso provvedo per le coordinate dello spazio!
Esercizio 7
Risoluzione punto a)
Non sono sicuro, ma penso si debba fare come segue.
Ricavo le componenti delle velocità.
$ v_x = 26m/s * cos 48^o = 17.40m/s $
$ v_y = 26m/s * sen 48^o = 19.32m/s $
Ricavo le distanze in $ x $ ed in $ y $ .
Dalle seguenti:
$ x(t)= x_0 + v_(0x)*t + 1/2 at^2 $
$ y(t)= y_0 + v_(0y)*t + 1/2 at^2 $
I valori di $ x_0 $ e $ y_0 $ non mi interessano e quindi:
$ x(t)= (17.40m/s )*(2.1s) = 36.54 m $
$ y(t)= (19.32m/s)*(2.1s) = 40.572 m $
Solo che non ho considerato l'accelerazione, dite che è corretto come ho fatto
Risoluzione punto b)
Il modulo della velocità sarà:
$ |vec(v)| = sqrt((v_x)^2+(v_y)^2) $
$ |vec(v)| = sqrt((17.40m/s)^2+(19.32m/s)^2) = 26 m/s$
Risoluzione punto c)
La direzione sarà:
$ tan 48^o = 1.11^o $
Dite che è tutto corretto
Risoluzione punto a)
Non sono sicuro, ma penso si debba fare come segue.
Ricavo le componenti delle velocità.
$ v_x = 26m/s * cos 48^o = 17.40m/s $
$ v_y = 26m/s * sen 48^o = 19.32m/s $
Ricavo le distanze in $ x $ ed in $ y $ .
Dalle seguenti:
$ x(t)= x_0 + v_(0x)*t + 1/2 at^2 $
$ y(t)= y_0 + v_(0y)*t + 1/2 at^2 $
I valori di $ x_0 $ e $ y_0 $ non mi interessano e quindi:
$ x(t)= (17.40m/s )*(2.1s) = 36.54 m $
$ y(t)= (19.32m/s)*(2.1s) = 40.572 m $
Solo che non ho considerato l'accelerazione, dite che è corretto come ho fatto
Risoluzione punto b)
Il modulo della velocità sarà:
$ |vec(v)| = sqrt((v_x)^2+(v_y)^2) $
$ |vec(v)| = sqrt((17.40m/s)^2+(19.32m/s)^2) = 26 m/s$
Risoluzione punto c)
La direzione sarà:
$ tan 48^o = 1.11^o $
Dite che è tutto corretto
"Bad90":
Esercizio 7
.................
Dite che è tutto corretto
No, non è per niente corretto. Non puoi trascurare il fatto che in direzione verticale c'è l' accelerazione di gravità.
Comincia a vedere quanto vale la componente orizzontale della velocità e quanto la componente verticale, in formule. Poi scrivi lo spazio, cioè $x(t)$ e $y(t)$. E poi passerai ai numeri.
Le componenti delle velocità iniziale sono:
$ v_(x0) = v_0 * cos alpha $
$ v_(y0) = v_0 * sen alpha $
Mentre le velocità saranno date dalle seguenti formule:
$ v_x = v_(x0) $
$ v_y = v_(y0) - g*t $
Le espressioni dello spazio sono:
$ x(t) = v_(x0)*t $
$ y(t) = v_(y0)*t-1/2g*t^2 $
Va bene fin quì
Mi starò confondendo, ma come devo continuare
$ v_(x0) = v_0 * cos alpha $
$ v_(y0) = v_0 * sen alpha $
Mentre le velocità saranno date dalle seguenti formule:
$ v_x = v_(x0) $
$ v_y = v_(y0) - g*t $
Le espressioni dello spazio sono:
$ x(t) = v_(x0)*t $
$ y(t) = v_(y0)*t-1/2g*t^2 $
Va bene fin quì
Mi starò confondendo, ma come devo continuare
Ora va bene! Le ho scritte in tanti esercizi quelle equazioni, se cerchi le trovi. Continua pure. 
"navigatore":
Ora va bene! Le ho scritte in tanti esercizi quelle equazioni, se cerchi le trovi. Continua pure.
Risoluzione del punto a)
Sapendo che:
$ v_(x0) = v_0 * cos alpha = 17.40 m/s$
$ v_(y0) = v_0 * sen alpha = 19.32 m/s$
Le distanze del proiettile nel $ t = 2.1s $ sono:
Lungo l'asse $ x $
$ x(t) = v_(x0)*t $
$ x(t) = (17.40 m/s)*(2.1s) = 36.54 m $
Lungo l'asse $ y $
$ y(t) = v_(y0)*t-1/2g*t^2 $
$ y(t) = (19.32 m/s)*(2.1s)-1/2(9.81m/s^2)*(2.1s)^2 $
$ y(t) = 40,6m - 21.63m = 18.97m $
Vanno bene i calcoli di questo punto a) ?
Va bene, lo vedi che ci arrivi?
Ora devi calcolare ...che altro? non mi ricordo....
Ora devi calcolare ...che altro? non mi ricordo....
"navigatore":
Va bene, lo vedi che ci arrivi?
Ora devi calcolare ...che altro? non mi ricordo....
Risoluzione punto b)
Adesso vuole il modulo della sua velocità, quindi, sapendo che le velocità sono:
$ v_x = v_(x0) $
$ v_x = 17.40m/s $
$ v_y = v_(y0) - g*t $
$ v_y = 19.32m/s - (9.81 m/s^2)*(2.1s) = -1.28m/s $
Il modulo della velocità sarà:
$ |vec(v)| = sqrt((v_x)^2+(v_y)^2) $
$ |vec(v)| = sqrt((17.40m/s)^2+(-1.28m/s)^2) = 17.45m/s$
Risoluzione punto c)
La direzione sarà:
$ tan 48^o = 1.11^o $
Si può considerare risolto correttamente
Il punto c ....no. Vuole l'angolo tra il vettore $vecv$ e l'asse $x$.
ORa però devo chiudere. Calcola il rapporto $v_y/v_x$ , che sarà la tangente dell'angolo voluto. È negativa.
Ciao
ORa però devo chiudere. Calcola il rapporto $v_y/v_x$ , che sarà la tangente dell'angolo voluto. È negativa.
Ciao
Ok, mi sono sbagliato...
Risoluzione punto c)
La direzione sarà:
$ tan alpha = v_y/v_x = (-1.28m/s)/(17.40m/s) = -0.07 $
Risoluzione punto c)
La direzione sarà:
$ tan alpha = v_y/v_x = (-1.28m/s)/(17.40m/s) = -0.07 $
Esercizio 8
La velocità iniziale è solo orizzontale, quindi le componenti delle velocità saranno:
$ v_(x0) = 40m/s $
$ v_(y0) = 0 $
Le velocità saranno
$ v_x = 40m/s $
$ v_y = 0-g*t = (-9.81m/s^2)*t$
Risoluzione punto a)
Ricavo il tempo per arrivare a sorvolare la base. Quì si sta considerando solo la $ x(t) $ allora il tempo sarà:
$ x(t) = v_(x0) *t $
$ t = (x(t))/v_(x0) = (20m)/(40m/s)=0.5s $
Risoluzione punto b)
La sua altezza sarà data dalla seguente:
$ y(t) = y_0 + v_(y0)*t -1/2g*t^2 $
$ y(t) = 2.1m -(1/2*9.81m/s^2)*(0.5s)^2 = 1.22m$
Dite che va bene
La velocità iniziale è solo orizzontale, quindi le componenti delle velocità saranno:
$ v_(x0) = 40m/s $
$ v_(y0) = 0 $
Le velocità saranno
$ v_x = 40m/s $
$ v_y = 0-g*t = (-9.81m/s^2)*t$
Risoluzione punto a)
Ricavo il tempo per arrivare a sorvolare la base. Quì si sta considerando solo la $ x(t) $ allora il tempo sarà:
$ x(t) = v_(x0) *t $
$ t = (x(t))/v_(x0) = (20m)/(40m/s)=0.5s $
Risoluzione punto b)
La sua altezza sarà data dalla seguente:
$ y(t) = y_0 + v_(y0)*t -1/2g*t^2 $
$ y(t) = 2.1m -(1/2*9.81m/s^2)*(0.5s)^2 = 1.22m$
Dite che va bene
Esercizio 9
Mi sembra un esercizio banale, ma nonostante la sua banalità, mi sta creando confusione.....
Conosco la distanza a cui arriverà la palla:
$ x(t) = 17m $
$ y(t) = 0m $ (perchè arriverà per terra)
Conosco la posizione di partenza della palla:
$ x_0 = 0 $
$ y_0 = 1.5m $
Conosco l'angolo di partenza della palla:
Con l'asse orizzontale l'angolo sarà:
$ alpha = 16^o $
Le componenti delle velocità iniziale sono:
$ v_(x0) = v_0 * cos alpha $
$ v_(y0) = v_0 * sen alpha $
Mentre le velocità saranno date dalle seguenti formule:
$ v_x = v_(x0) $
$ v_y = v_(y0) - g*t $
Le espressioni dello spazio sono:
$ x(t) = v_(x0)*t $
$ y(t) = y_0 + v_(y0)*t-1/2g*t^2 $
Penso che ciò che mi serve è adattare inizialmente le formule per determinare lo spazio:
$ 17m = v_(x0)*t $
$ 0m = 1.5m + v_(y0)*t-1/2g*t^2 $
Ho fatto svariate prove, ma non sono riuscito ad impostare i dati per la risoluzione. Per questo esercizio il testo mi da il seguente risultato, $ v = 16m/s $
Mi sembra un esercizio banale, ma nonostante la sua banalità, mi sta creando confusione.....
Conosco la distanza a cui arriverà la palla:
$ x(t) = 17m $
$ y(t) = 0m $ (perchè arriverà per terra)
Conosco la posizione di partenza della palla:
$ x_0 = 0 $
$ y_0 = 1.5m $
Conosco l'angolo di partenza della palla:
Con l'asse orizzontale l'angolo sarà:
$ alpha = 16^o $
Le componenti delle velocità iniziale sono:
$ v_(x0) = v_0 * cos alpha $
$ v_(y0) = v_0 * sen alpha $
Mentre le velocità saranno date dalle seguenti formule:
$ v_x = v_(x0) $
$ v_y = v_(y0) - g*t $
Le espressioni dello spazio sono:
$ x(t) = v_(x0)*t $
$ y(t) = y_0 + v_(y0)*t-1/2g*t^2 $
Penso che ciò che mi serve è adattare inizialmente le formule per determinare lo spazio:
$ 17m = v_(x0)*t $
$ 0m = 1.5m + v_(y0)*t-1/2g*t^2 $
Ho fatto svariate prove, ma non sono riuscito ad impostare i dati per la risoluzione. Per questo esercizio il testo mi da il seguente risultato, $ v = 16m/s $
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