Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse
Salve a tutti, spero che qualcuno possa aiutarmi in qeusta cosa perchè non so proprio più che fare..
Sia $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $.
Una funzione $u$ è detta semiconvessa se $u=v+w$ per una qualche $v\in C^{1,1}(\Omega)$ e funzione convessa $w$
**N.B.**: è equivalente dire che $u$ è semiconvessa se esiste un $\lambda$ t.c. la funzione $z(x)=u(x)+\dfrac{|x|^2}{2\lambda}$ è convessa.
Si consideri l'operatore ellittico della forma $$Lu=a^{ij}D_{ij}u+b^iD_iu$$ e sia $L$ uniformemente ellittico.
Vorrei mostrare il seguente:
**Theorem(Aleksandrov maximum principle)**: Sia $u$ semiconvessa in $\Omega$ e si supponga che $Lu+f\geq0$ quasi ovunque in $\Omega$ per una qualche $f\in L^{n}(\Omega)$. Allora si ha la seguente stima:
$$ \sup_{\Omega}u \leq \sup_{\partial\Omega}u+ C ||f||_{L^n(\Gamma^+)}$$
dove $\Gamma^+$ è l'insieme di contatto superiore di $u$ ( un sottinsieme di $\Omega$ dove l'Hessian di$u$ definita negativa).
Il mio articolo dice solo che esso può essere dedotto dalla stessa stima per sub-soluzioni classiche($C^2(\Omega)$) usando la mollificazione. Pertanto ho pensato di seguire la stessa dimostrazione che viene fatta nel caso di subsoluzioni forti ($u\in W^{2,n}(\Omega)$).
Il problema è che non so come in che modo le derivate della mollificata possano convergere alla derivata di $u$.
**N.B.** funzioni semiconvesse sono due volte differenziabili q.o.!!!!
Qualcuno può aiutarmi?
Sia $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $.
Una funzione $u$ è detta semiconvessa se $u=v+w$ per una qualche $v\in C^{1,1}(\Omega)$ e funzione convessa $w$
**N.B.**: è equivalente dire che $u$ è semiconvessa se esiste un $\lambda$ t.c. la funzione $z(x)=u(x)+\dfrac{|x|^2}{2\lambda}$ è convessa.
Si consideri l'operatore ellittico della forma $$Lu=a^{ij}D_{ij}u+b^iD_iu$$ e sia $L$ uniformemente ellittico.
Vorrei mostrare il seguente:
**Theorem(Aleksandrov maximum principle)**: Sia $u$ semiconvessa in $\Omega$ e si supponga che $Lu+f\geq0$ quasi ovunque in $\Omega$ per una qualche $f\in L^{n}(\Omega)$. Allora si ha la seguente stima:
$$ \sup_{\Omega}u \leq \sup_{\partial\Omega}u+ C ||f||_{L^n(\Gamma^+)}$$
dove $\Gamma^+$ è l'insieme di contatto superiore di $u$ ( un sottinsieme di $\Omega$ dove l'Hessian di$u$ definita negativa).
Il mio articolo dice solo che esso può essere dedotto dalla stessa stima per sub-soluzioni classiche($C^2(\Omega)$) usando la mollificazione. Pertanto ho pensato di seguire la stessa dimostrazione che viene fatta nel caso di subsoluzioni forti ($u\in W^{2,n}(\Omega)$).
Il problema è che non so come in che modo le derivate della mollificata possano convergere alla derivata di $u$.
**N.B.** funzioni semiconvesse sono due volte differenziabili q.o.!!!!
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Beh senti non lo so adesso tutta sta storia dell'operatore ellittico, poi non lo hai neanche scritto molto bene, per esempio a un certo punto dici "e sia \(L\)", punto. Che significa questa cosa?
In ogni caso, non so se lo voglio sapere. Infatti da quanto scrivi capisco che il tuo problema non richiede tanti dettagli. Tu hai bisogno solo di informazioni sulla mollificazione e questa è una cosa molto più facile; se \(u\in W^{1,p}\) allora, detta \(u_n=u\ast \phi_n\) una successione mollificata, si ha che
\[
u_n\to u, \ \nabla u_n\to \nabla u, \quad \text{in }L^p.\]
Lo puoi trovare un po' ovunque, per esempio prova a cercare sul Brezis.
In ogni caso, non so se lo voglio sapere. Infatti da quanto scrivi capisco che il tuo problema non richiede tanti dettagli. Tu hai bisogno solo di informazioni sulla mollificazione e questa è una cosa molto più facile; se \(u\in W^{1,p}\) allora, detta \(u_n=u\ast \phi_n\) una successione mollificata, si ha che
\[
u_n\to u, \ \nabla u_n\to \nabla u, \quad \text{in }L^p.\]
Lo puoi trovare un po' ovunque, per esempio prova a cercare sul Brezis.
"dissonance":
Beh senti non lo so adesso tutta sta storia dell'operatore ellittico, poi non lo hai neanche scritto molto bene, per esempio a un certo punto dici "e sia \(L\)", punto. Che significa questa cosa?
Scusa, nella fretta avevo scordato. Volevo dire operatore uniformemente ellittico. Non ho scritto più di tanto perchè altrimenti sarebbe diventato una spiegazione sugli operatori ellittici.
"dissonance":
In ogni caso, non so se lo voglio sapere. Infatti da quanto scrivi capisco che il tuo problema non richiede tanti dettagli. Tu hai bisogno solo di informazioni sulla mollificazione e questa è una cosa molto più facile; se \(u\in W^{1,p}\) allora, detta \(u_n=u\ast \phi_n\) una successione mollificata, si ha che
\[
u_n\to u, \ \nabla u_n\to \nabla u, \quad \text{in }L^p.\]
Lo puoi trovare un po' ovunque, per esempio prova a cercare sul Brezis.
Hai ragione cerco di riformulare la domanda:
Credo che si debba sfruttare il fatto che $u$, essendo semiconvessa, sia due volte differenziabile. A questo punto la mia domanda diventa: considerata una successione mollificata \(u_n=u\ast \phi_n\), posso dire che
$$||a^{ij}D_{ij} (u_n-u) -b^iD_i(u_n-u)||_{L^n(\Omega)}\rightarrow 0$$?
Se è sì, perchè? Le proprietà di convergenza continuano a valere se considero le derivate?
Non hai scritto che ipotesi hai su \(a^{ij}\) e \(b^i\). Ma credo che alla fin fine sia tutta una conseguenza della proprietà che scrivevo nel mio post precedente.
"dissonance":
Non hai scritto che ipotesi hai su \(a^{ij}\) e \(b^i\). Ma credo che alla fin fine sia tutta una conseguenza della proprietà che scrivevo nel mio post precedente.
Le ipotesi sono che $[a_{ij}]$ è una matrice simmetrica a coefficienti reali e $b^i$ tali che$$ \lambda I \leq[a^{ij}]\leq \Lambda I , \quad \quad |b^i|\leq \mu $$
con $\lambda, \Lambda, \mu$ constanti positive.
Scusami ma continuo a non capire il motivo per cui dovrebbe convergere a zero. La funzione $u$ è solo due volte differenziabile, precisamente so che vale che per q.o. $x\in \Omega$ esistono unici $(p,A)\in \mathbb{R}^n$x$S(n)$ tali che
$$u(x)=u(x_0)+
Inoltre il risultato che voglio dimostrare è ben noto nel caso in cui $u\in W^{2,n}$, quindi non credo che possa supporre che $u$ appartenga a qualche tipo di spazio di Sobolev..o no?
Non lo so, il fatto è che la domanda posta così è troppo lunga da leggere, difficile arrivare al dunque. Cosa vuoi dimostrare esattamente? Immagino tu debba dimostrare che \[
a_{ij}D_{ij} u_n \to a_{ij}D_{ij}u\]
in \(L^p\). Perché questo ti turba?
a_{ij}D_{ij} u_n \to a_{ij}D_{ij}u\]
in \(L^p\). Perché questo ti turba?
Innanzitutto grazie sempre per la pazienza dissonance 
Non che mi turbi particolarmente è che avrei voluto un qualcosa di formale, visto che non ho tanta manualità sugli spazi di funzioni come $L^p$. Ci provo così:
So che vale:
Proposizione Data una funzione $f \in L_{loc}^p(\Omega)$, la mollificata $f_\epsilon$ soddisfa
$$||f_\epsilon - f||_p \rightarrow 0.$$
Pertanto l'unica cosa che dovrei far vedere è che $ D_{ij}u, D_i u \in L_{loc}^n(\Omega)$.
Si può dire che $D_{ij}u, D_i u \in L_{loc}^n(\Omega)$ usando solo il fatto che $u$ è due volte differenziabile?
Credo di sì, essendo che le quantità $D_{ij}u, D_i u$ esistono per q.o. $x$.
In fondo (credo) appartenere ad uno spazio $L_{loc}^n(\Omega)$ non richiede particolari regolarità, si può dire in maniera molto selvaggia che basti che tali funzioni non "esplodino". Confermi questo tutto questo tipo di ragionamento?
"dissonance":
Perché questo ti turba?
Non che mi turbi particolarmente è che avrei voluto un qualcosa di formale, visto che non ho tanta manualità sugli spazi di funzioni come $L^p$. Ci provo così:
So che vale:
Proposizione Data una funzione $f \in L_{loc}^p(\Omega)$, la mollificata $f_\epsilon$ soddisfa
$$||f_\epsilon - f||_p \rightarrow 0.$$
Pertanto l'unica cosa che dovrei far vedere è che $ D_{ij}u, D_i u \in L_{loc}^n(\Omega)$.
Si può dire che $D_{ij}u, D_i u \in L_{loc}^n(\Omega)$ usando solo il fatto che $u$ è due volte differenziabile?
Credo di sì, essendo che le quantità $D_{ij}u, D_i u$ esistono per q.o. $x$.
In fondo (credo) appartenere ad uno spazio $L_{loc}^n(\Omega)$ non richiede particolari regolarità, si può dire in maniera molto selvaggia che basti che tali funzioni non "esplodino". Confermi questo tutto questo tipo di ragionamento?
La proposizione è falsa. Affinché quella cosa sia vera, \(f\) deve essere in \(L^p\). Però se è localmente in \(L^p\) allora la mollificata convergerà localmente in \(L^p\), ovvero, per ogni palla \(B\subset \mathbb R^n\) si avrà che
\[
\|f_\epsilon-f\|_{L^p(B)}\to 0.\]
Con questo dovresti poter concludere tutto quello che vuoi.
\[
\|f_\epsilon-f\|_{L^p(B)}\to 0.\]
Con questo dovresti poter concludere tutto quello che vuoi.
"dissonance":
La proposizione è falsa. Affinché quella cosa sia vera, \(f\) deve essere in \(L^p\). Però se è localmente in \(L^p\) allora la mollificata convergerà localmente in \(L^p\), ovvero, per ogni palla \(B\subset \mathbb R^n\) si avrà che
\[
\|f_\epsilon-f\|_{L^p(B)}\to 0.\]
Con questo dovresti poter concludere tutto quello che vuoi.
E allora credi che ci sia un modo di far vedere che $D_{ij}, D_i$ sia in $L^p$? Se è no, sono almeno in $L_{loc}^p$?Ricordo che la $u$ è due volte differenziabile q.o. .
Inoltre vale quello che ho detto prima? Cioè che per essere in $L_{loc}^p$ basta che non "esplodino" le funzioni?
Stai sperimentando la tipica difficoltà di chi si approccia per la prima volta agli articoli di ricerca, c'è un muro di sbarramento e non si riesce a capire quali siano i dettagli tecnici secondari e quali siano le cose davvero degne di nota. Qui per esempio ti stai fissando su questa convergenza ma stai completamente ignorando una questione molto più importante. La tua funzione \(u\) non è in \(C^2\) né in \(W^{2,p}\). Ma allora cosa significa \(D_{ij}u\)?
"dissonance":
Stai sperimentando la tipica difficoltà di chi si approccia per la prima volta agli articoli di ricerca, c'è un muro di sbarramento e non si riesce a capire quali siano i dettagli tecnici secondari e quali siano le cose davvero degne di nota. Qui per esempio ti stai fissando su questa convergenza ma stai completamente ignorando una questione molto più importante. La tua funzione \(u\) non è in \(C^2\) né in \(W^{2,p}\). Ma allora cosa significa \(D_{ij}u\)?
Esatto dissonance, grazie per la comprensione e per l'aiuto. Allora, $D_{ij}$ credo che sia, a questo punto, nel senso delle distribuzioni. O, forse più semplicemente, sono gli elementi della matrice che compaiono nella definizione di due volte differenziabilità di $u$ che ho scritto precedentemente. Cioè $A \equiv D^2u$.
Si può dire qualcosa, sempre riguardo la convergenza, in questi casi?
Esatto, quindi l'unica cosa che sai è che \(D_{ij}u\) esiste puntualmente e quasi ovunque, ma non hai nessuna proprietà di sommabilità su di essa. Quindi l'unica cosa sensata che puoi dire, e che è vera, è che
\[
D_{ij}u_\epsilon \to D_{ij}u\]
puntualmente quasi ovunque. Dovrebbe essere sufficiente ai tuoi scopi.
\[
D_{ij}u_\epsilon \to D_{ij}u\]
puntualmente quasi ovunque. Dovrebbe essere sufficiente ai tuoi scopi.
"dissonance":
\[
D_{ij}u_\epsilon \to D_{ij}u\]
puntualmente quasi ovunque. Dovrebbe essere sufficiente ai tuoi scopi.
Purtroppo dissonance non credo che la convergenza puntuale possa risolvere qualcosa.
Ci ho pensato ma non vedo proprio dove posso applicarla al mio scopo. Peccato che non conosci l'argomento, altrimenti ti avrei detto dove avrei voluto applicarlo.
Comunque in realtà non mi è chiaro neanche perchè ho la convergenza puntuale.
Quale è stata la tua idea?
Non lo so, prova a mandarmi l'articolo che stai leggendo, o almeno scrivi la referenza qui.
"dissonance":
Non lo so, prova a mandarmi l'articolo che stai leggendo, o almeno scrivi la referenza qui.
Puoi trovare l'articolo su questo sito: https://www.ems-ph.org/journals/show_ab ... s=3&rank=3 .
Il titolo è Comparison Principle and Pointwise Estimates for Viscosity Solutions of Nonlinear Elliptic Equations di Trudinger.
Grazie per lo sforzo, anche se avrò l'esame venerdì e non credo che ce la si farà in tempo.
Vabbè, ma pure tu… Leggere Trudinger è quasi come seguirne una lezione. 
Se l'esame è venerdì, lascia perdere questo dettaglio tecnico, prendilo per buono, sennò finisce che ti "amminchi" con quello e perdi di vista il filo generale del discorso (citazione da Montalbano).
Con gli articoli di ricerca è così, io tantissime volte ho finito per dedicare il 90% del tempo a qualche dettaglio secondario, e poi ho dovuto fare corse atroci per leggere tutto il corpo dell'articolo. Leggi in diagonale, cerca di capire per approssimazioni successive, invece che tutto di un colpo.
Con gli articoli di ricerca è così, io tantissime volte ho finito per dedicare il 90% del tempo a qualche dettaglio secondario, e poi ho dovuto fare corse atroci per leggere tutto il corpo dell'articolo. Leggi in diagonale, cerca di capire per approssimazioni successive, invece che tutto di un colpo.
"gugo82":
Vabbè, ma pure tu… Leggere Trudinger è quasi come seguirne una lezione.
Intendi che è difficile? Se intendi questo quasi che mi fa piacere, significa che non sono così tardo
"dissonance":
[...] approssimazioni successive
bel riferimento dissonance, grazie per il consiglio, la prossima volta cercherò di fare così.
"LilCaccioppoli":
[quote="gugo82"]Vabbè, ma pure tu… Leggere Trudinger è quasi come seguirne una lezione.
Intendi che è difficile? Se intendi questo quasi che mi fa piacere, significa che non sono così tardo[/quote]
No, che è inutile.
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