Analisi matematica di base

Salve, stavo provando a risolvere il seguente esercizio: $F(x)=$ $ \int_{0}^{x} \text{ sin(t^2)} \text{d}t $ a) Determinare l' ordine di infinitesimo di $F$ in $x=0$ Per risolvere ho provato ad utilizzare lo sviluppo di Taylor Mc Laurin in x=0, ottendo: $sin(x^2) = x^2 + o(x^2) $ Tuttavia, il risultato riportato dal libro dice che l' ordine di infinitesimo è 3. Dove sbaglio?

$((n),(k)) = (n!)/(k!(n-k)!)$ come si arriva da $(n!)/(k!(n-k)!)$ a $(n!)/(k!(n-k)!) = (n(n-1)...(n-k+1))/(k!)$ ?

Ciao, ho un dubbio su un esercizio in cui vi è un passaggio nella soluzione che proprio non capisco. $d/(dt)((fg)∘alpha(t))=d/(dt)(fg(alpha(t))$ dove ho moltiplicazione di f e g e composizione con alpha funzioni la soluzione riportata è: $d/(dt)(f∘alpha)*g+fd/(dt)(g∘alpha)$ ma a me sembra che dovrei avere (sfruttando la derivazione composta: $(d(g(f(x))))/(dx)=(dg(f))/(df)*(df(x))/(dx)$) -sbaglio la formula? non mi pare, correggetemi nel caso - Quindi: $d/(dalpha)(fg)(alpha)*(dalpha)/(dt)=((df)/(dalpha)*g+f*(dg)/(dalpha))(dalpha)/(dt)$

Mostrare che $f(z)=1/z$ in $CC$ manda il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ nel cerchio di centro $\bar z_0/(abs(z_0)^2-R^2)$ e raggio $R/(abs(abs(z_0)^2-R^2))$. Preso $z$ nel cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ si ha che $abs(z-z_0)=R$, noi vogliamo mostrare che $abs(f(z)-z_0/(abs(z_0)^2-R^2))=R/(abs(abs(z_0)^2-R^2))$ Svillupando il primo membro si ha $abs(1/z-z_0/(abs(z_0)^2-R^2))=1/(abs(abs(z_0)^2-R^2))abs((abs(z_0)^2-R^2-\bar z_0z)/z)$, ora se riuscissi a mostrare che $(abs(z_0)^2-R^2-\bar z_0z)/z=z-z_0$ ho finito, ma non so come ...

Buongiorno, sono bloccato e ho dei dubbi sullo svolgimento di un esercizio che mi chiede di stabilire se il seguente integrale converge o diverge al variare di \(\displaystyle \alpha \). \(\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x^\alpha})}{|x-2|^{\alpha+1/3}} \) Studiando \(\displaystyle \alpha >0\) ho considerato \(A = \displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x^\alpha})}{(x-2)^{\alpha+1/3}} dx\) e ho ragionato così per \(\displaystyle x\to+\infty \) si ha ...

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio su degli appunti e vorrei sapere che tipo di semplificazione è stata effettuata(e se è stata eseguita correttamente). L'esercizio è il seguente $\lim_{n \to \+infty} n^2(root(3)(n^3+8)-n) $ I primi passaggi sono chiari, simili ad altri passaggi che mi avete insegnato in altri topic. Viene applicata la razionalizzazione inversa sfruttando il prodotto notevole della differenza tra cubi, con $a=root(3)(n^3+8)$ e $ b=n$ Si ottieni quindi $\lim_{n \to \+infty} (8n^2)/(root(3)((n^3+8)^2 +nroot(3)(n^3+8) + n^2)$ Ora ...

Ciao a tutti, mi potreste aiutare, per favore, con lo svolgimento di questo esercizio? Calcolo del dominio della seguente funzione $f(x) = ln(3-x)/(xlnx)$ e la verifica se sia iniettiva e/o suriettiva nei seguenti insiemi di definizione: $[0,1], (1,2), (0,1)$ Impongo le condizioni di esistenza ed ottengo il dominio ${x in RR: 0<x<1 vv 1<x<3}$ Come faccio a controllare l'iniettività e la suriettivita, analiticamente, negli insiemi dati? Per controllare se una funzione è iniettiva, in assenza del grafico, ...

Qualcuno può spiegarmi perche: $\sum_{k,l=1}^{\infty}\frac{p^2}{k+l-1}(1-p)^{k+l-2} = \sum_{j=2}^{\infty}\sum_{l=1}^{j-1}\frac{1}{j-1}{p^2(1-p)^{j-2}}$ E $\sum_{k,l=1}^{\infty} kl = \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{k}kl=\sum_{k=1}^{\infty}k^2+\sum_{k=1}^{\infty}k\sum_{l=1}^{k-1}l$

Ciao, avrei una domanda e non so darmi risposta e quindi provo qui con voi esperti di matematica. Mi chiedevo cosa succederebbe se nella definizione di limite scrivessi $|f(x)-c|<=epsilon$ anziché il minore stretto. Inoltre nel caso della definizione di continuità nel punto x0, anche qui c'è minore stretto, e perché non $|f(x)-f(x_0)|<=epsilon$ Mi sapreste aiutare su questi due punti?

Negli ultimi giorni stavo pensando a una cosa, se io ho una funzione $f:[a,b]->RR|f(x)>0AAx\in[a,b]$, e so che questa funzione è limitata e (Riemann-)integrabile, posso dire che il suo integrale è positivo? Io direi assolutamente di si, ma non mi viene in mente come dimostrarlo, forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma mi serve il vostro aiuto per uscirne.

Ciao a tutti, potreste darmi, per favore, un parere sui seguenti esercizi? $\lim_{n \to \+infty}(n+lnn^2-2^n)/((lnn)^3+n^2$ È il rapporto tra la somma di diversi infiniti, in questo caso posso prendere in considerazioni solo gli infiniti più grandi, o meglio quelli che tendono ad infinito più velocemente? In tal caso posso riscrivere $\lim_{n \to \+infty}(-2^n)/n^2$ Ho un esponenziale al numeratore ed una potenza al denominatore, quindi il limite è $-infty$, corretto? Il secondo esercizio è $\lim_{n \to \+infty}(n^2*3^n)/(pi^n)$ Per calcolare ...

Salve. Devo determinare il sup di $f(x,y)=(sqrtx+sqrty)/(sqrt(x+y))$ per $x,y>0$. So che dovrebbe essere infinito, ma non riesco a farlo vedere praticamente. Calcolo $lim_((x,y)->\infty)f(x,y)$?

E' da un po' che non faccio analisi 2 veramente, e mi è sorto un dubbio sul teorema del differenziale totale (così credo si chiami in italiano), che dice quanto segue: Sia \(E \subseteq \mathbb{R}^n\), \( f: E \to \mathbb{R} \), e \( \mathbf{a} \in E \). Se esiste \( \delta > 0 \) tale che per ogni derivata parziale \( \frac{ \partial f}{\partial x_k} \) di \(f\) esiste in ogni punto della palla aperta \( B( \mathbf{a}, \delta) \) e \( \frac{ \partial f}{\partial x_k}(x_1,\ldots,x_k) \) è ...

Ciao, volevo chiedervi una mano su alcuni concetti che non mi sono chiarissimi, parto dalle definizioni: - punto di accumulazione: $forall x_0 in R$ è di accumulazione per $A$ sottoinsieme di $RR$ se $forall epsilon>0$ esiste $y in A$ con $y!=x_0$ t.c $y in B(x_0,epsilon)$ cioè volendo potrei riscriverla come: $forall x_0 in R$ è di accumulazione per $A$ sottoinsieme di $RR$ se $forall epsilon>0$ si ha che ...

Mi è sorto un dubbione su questo tipo di equazioni differenziali. So che una tale equazione differenziale è del tipo: $y'(t)=a(t)⋅b(y(t)) $ Ho per esercizio la: $ y'(t)=Csin(t) $ e l ho risolta considerando:$ Csint=a(t) $ Il mio dubbio nasce da una considerazione, io potrei notare che $b(y(t))$ potrebbe essere la mia $sint$ infatti sicuramente esiste come funzione $y(t)=t$ quindi se b e sin ho: $b(y(t))=sin(y(t))=sin(t)$ A questo punto però potrei seprarare come segue: ...

Ciao! Ho dei problemi a risolvere due sistemi di eq differenziali che coinvolgono $ t=t(x,u) $ e $v=v(x,u) $ in un cambio variabili invertibile $ { x^2 (\partialt)/(partialx) +xu(\partialt)/(partialu)=0, x^2 (\partialv)/(partialx )+xu(\partialv)/(partialu)=1:} $ $ { x (\partialt)/(partialx) +5/4 u(\partialt)/(partialu)=-t, x (\partialv)/(partialx )+5/4u(\partialv)/(partialu)=-v:} $ Ho cominciato dal primo sistema, con la prima equazione; integro le caratteristiche $ dx/x^2=(du)/(xu) rArr \omega_1=u/x $ Prendo la più semplice funzione di $ omega_1 $ cioè $ t=u/x $. Poichè la funzione $t$ dipende da entrambi gli argomenti, posso ipotizzare per avere ...

Ciao, ho un problema nel capire una notazione che usa il prof. Io ho studiato dal corso di analisi che la derivata direzionale è ad esempio per $f(x,y)$ lungo $vec v=(v_1,v_2)$ versore: $(partialf(x,y))/(partialvecv)=lim_(t->0) (f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y))/t$ Bene, detto questo si nota dalla: $f(x_0+h,x_0+k)=f(x_0,y_0)+(partialf)/(partialx)h+(partialf)/(partialy)k+o(sqrt(h^2+k^2))$ che il differenziale altri non è se non $vecnablaf*(h,k)$. D'altra parte l'ultima considerazione è quella che in effetti si sfrutta quando si dimostra la formula del gradiente: $vec nabla f*vecv=(partialf(x,y))/(partialvecv)$ (avendo cura di riscrivere nella ...

Ciao a tutti, continuo le mie esercitazioni con le serie. Potreste darmi un parere? $\sum_{n=2}^{+\infty} 3^n-((n-2)/n)^(n^2)$ La serie è a termini positivi. Utilizzo il criterio della radice. $\lim_{n \to \infty}root(n)(3^n-((n-2)/n)^(n^2))$ $\lim_{n \to \infty} 3-((n-2)/n)^n$ $\lim_{n \to \infty} 3-(1-2/n)^n = 3 - 1/e^2 > 1$ Se non ho commesso errori la serie diverge. Il dubbio principale è se ho semplificato bene con la radice l'esponente $n^2$ Seconda serie: $\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n)))$ Serie a termini positivi. La riscrivo in questo modo. $\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*4^n)))$ Cerco di stabilirne ...

Ciao a tutti, ho iniziato lo studio delle serie ma ho alcuni dubbi. Ho compreso che lo studio del carattere di una serie non si limita a svolgere il limite dello stesso. Nella pratica però non mi è chiaro questo come si traduce. Nel caso che si possa adottare il criterio della radice o del rapporto, ad esempio, in base al risultato ottenuto con il limite se $<$ o $>$ di $1$ possiamo affermare se diverge o converge, ma negli altri casi? Per esempio, ...

Salve, affrontando le equazioni differenziali (nella fattispecie del primo ordine) mi sono imbattuto in questo teorema alquanto “astratto” del quale non riesco proprio a tirare fuori una qualche rappresentazione visiva. Mi spiego meglio: date una generica EDO del primo ordine in forma normale y’=F(x,y) e una condizione iniziale y0=(x0), che ruolo giocano la continuità di F in un intorno di (x0,y0) e la continuità della derivata parziale di F rispetto ad y sempre in suddetto intorno? In realtà ...