Esercizi e chiarimenti serie numeriche
Ciao a tutti,
ho iniziato lo studio delle serie ma ho alcuni dubbi. Ho compreso che lo studio del carattere di una serie non si limita a svolgere il limite dello stesso. Nella pratica però non mi è chiaro questo come si traduce. Nel caso che si possa adottare il criterio della radice o del rapporto, ad esempio, in base al risultato ottenuto con il limite se $<$ o $>$ di $1$ possiamo affermare se diverge o converge, ma negli altri casi?
Per esempio, nel caso della seguente serie:
$sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + 1)-n)$
In questo caso svolgo il limite attraverso la razionalizzazione inversa, attraverso la formula relativa alla differenza di cubi, ottengo $lim_{n \to \infty} 1/((root(3)((n^3 + 1)^2) +n(root(3)(n^3 + 1)+n^2)$
Tale limite è infinitesimo avendo al denominatore infinito e al numeratore 1.
Quindi la condizione necessaria affinchè una serie converga è rispettato. Ora che questa è condizione necessaria ma non sufficiente, cosa manca per terminare lo studio della serie?
Inoltre, vi vorrei chiedere se cortesemente potreste consigliarmi un eserciziario per limiti di successioni e studio di serie numeriche. Ciò che mi interessa è che gli esercizi abbiano soluzione, siano svolti e che non ci sia unicamente il risultato.
Grazie a tutti per l'aiuto.
ho iniziato lo studio delle serie ma ho alcuni dubbi. Ho compreso che lo studio del carattere di una serie non si limita a svolgere il limite dello stesso. Nella pratica però non mi è chiaro questo come si traduce. Nel caso che si possa adottare il criterio della radice o del rapporto, ad esempio, in base al risultato ottenuto con il limite se $<$ o $>$ di $1$ possiamo affermare se diverge o converge, ma negli altri casi?
Per esempio, nel caso della seguente serie:
$sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + 1)-n)$
In questo caso svolgo il limite attraverso la razionalizzazione inversa, attraverso la formula relativa alla differenza di cubi, ottengo $lim_{n \to \infty} 1/((root(3)((n^3 + 1)^2) +n(root(3)(n^3 + 1)+n^2)$
Tale limite è infinitesimo avendo al denominatore infinito e al numeratore 1.
Quindi la condizione necessaria affinchè una serie converga è rispettato. Ora che questa è condizione necessaria ma non sufficiente, cosa manca per terminare lo studio della serie?
Inoltre, vi vorrei chiedere se cortesemente potreste consigliarmi un eserciziario per limiti di successioni e studio di serie numeriche. Ciò che mi interessa è che gli esercizi abbiano soluzione, siano svolti e che non ci sia unicamente il risultato.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
Come hai gia' intuito, lo studio delle serie e' piu' un arte che una tecnica.
In ogni caso, ci sono i criteri di convergenza per le serie.
Per avere una panoramica, puoi guardare qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza
Comunque hai fatto un piccolo errore nella differenza tra cubi:
$ lim_{n \to \infty} 1/(root(3)((n^3 + 1)^2) +n root(3)(n^3 + 1)+n^2 $
Il fatto che il denominatore sia $> n^2$ e' gia' garanzia di convergenza.
In ogni caso, ci sono i criteri di convergenza per le serie.
Per avere una panoramica, puoi guardare qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza
Comunque hai fatto un piccolo errore nella differenza tra cubi:
$ lim_{n \to \infty} 1/(root(3)((n^3 + 1)^2) +n root(3)(n^3 + 1)+n^2 $
Il fatto che il denominatore sia $> n^2$ e' gia' garanzia di convergenza.
"Quinzio":
Come hai gia' intuito, lo studio delle serie e' piu' un arte che una tecnica.
In ogni caso, ci sono i criteri di convergenza per le serie.
Per avere una panoramica, puoi guardare qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza
Comunque hai fatto un piccolo errore nella differenza tra cubi:
$ lim_{n \to \infty} 1/(root(3)((n^3 + 1)^2) +n root(3)(n^3 + 1)+n^2 $
Il fatto che il denominatore sia $> n^2$ e' gia' garanzia di convergenza.
Grazie Quinzio per la risposta.
Spesso quando scrivo sul forum commetto errori nel trascrivere un passaggio o la soluzione di un esercizio, cercherò di fare più attenzione.
Ritornando all'esercizio non mi è chiaro però in questo caso come proseguire. Nel senso, ho stabilito che il limite è infinitesimo, questo però dal criterio di Cauchy non mi dice se la serie converge o diverge, ma il prossimo passo quale dovrebbe essere per far si che lo studio della serie sia correttamente svolto?
Mi verrebbe da pensare alla serie armonica in cui è presente una costante al numeratore ed un infinito al denominatore ma non so se sia corretta come "idea".
Grazie
Bisogna "arrangiarsi" e trovare un criterio o ricondursi a una serie nota, o altro...
$ sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + 1)-n) = sum_{n=1}^\infty 1/ (root(3)((n^3 + 1)^2) +nroot(3)(n^3 + 1)+n^2) < sum_{n=1}^\infty 1/n^2 =pi^2/6$
Trovare la soluzione esatta come nell'ultimo passaggio e' un caso raro, ad es. questo e' il caso del famoso problema di Basilea. https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Basilea
$ sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + 1)-n) = sum_{n=1}^\infty 1/ (root(3)((n^3 + 1)^2) +nroot(3)(n^3 + 1)+n^2) < sum_{n=1}^\infty 1/n^2 =pi^2/6$
Trovare la soluzione esatta come nell'ultimo passaggio e' un caso raro, ad es. questo e' il caso del famoso problema di Basilea. https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Basilea
Grazie!
Come eserciziario per questo genere di esercizi (limiti e serie) avresti qualche testo da consigliarmi?
Mi servirebbe soprattutto qualcuno con molti esempi ed esercizi svolti.
Grazie ancora per l'aiuto.
Come eserciziario per questo genere di esercizi (limiti e serie) avresti qualche testo da consigliarmi?
Mi servirebbe soprattutto qualcuno con molti esempi ed esercizi svolti.
Grazie ancora per l'aiuto.
"Quasar3.14":
Grazie!
Come eserciziario per questo genere di esercizi (limiti e serie) avresti qualche testo da consigliarmi?
Mi servirebbe soprattutto qualcuno con molti esempi ed esercizi svolti.
Grazie ancora per l'aiuto.
Direi che e' sufficiente cercare su Google "esercizi svolti serie numeriche" e hai tanto materiale.
Se poi cerchi in inglese "series solved exercises" hai ancora di piu'.
Tutti i testi universitari coprono l'argomento.
Se hai qualcosa da spendere: https://www.ubiklibri.it/book-978883710 ... volti.html
Ciao Quasar3.14,
Aggiungo a quanto ti ha già consigliato Quinzio che anche su questo stesso forum sono state proposte e risolte (non solo dal sottoscritto, ma anche da molti altri fra i quali anche Quinzio) tantissime serie numeriche: basta cercare le parole chiave "Serie" o "Serie numerica" o "Serie parametrica" o "Serie di potenze" etc. e ne troverai veramente una marea...
Casomai volessi cominciare con qualcosa di semplice...
Aggiungo a quanto ti ha già consigliato Quinzio che anche su questo stesso forum sono state proposte e risolte (non solo dal sottoscritto, ma anche da molti altri fra i quali anche Quinzio) tantissime serie numeriche: basta cercare le parole chiave "Serie" o "Serie numerica" o "Serie parametrica" o "Serie di potenze" etc. e ne troverai veramente una marea...
Casomai volessi cominciare con qualcosa di semplice...
Grazie per l'aiuto e per i consigli.
@gugo82, grazie per il link, subito stampato il pdf.
@pilloeffe, nah, vorrei qualcosa di un po' più sfidante rispetto a questo...
Vi vorrei chiedere se, per favore, potreste aiutarmi con questa serie?
$\sum_{n=1}^\infty\ (ln(n))/n^2$
È una serie a termini positivi, quindi o diverge positivamente o converge.
Ho provato con il teorema del confronto ma l'unica serie che mi viene in mente è $\sum_{n=1}^\infty\ 1/n^2$ ma in questo caso ho al numeratore un logaritmo quindi non credo che sia la strada giusta...
Ho fatto qualche ricerca ma quando ho trovato esercizi simili la serie veniva risolto in modi che ancora devo studiare (o-piccolo oppure De L'Hopital).
Che la serie converge, lo so, ma non so come dimostrarlo con i teoremi classici (confronto, rapporto, radice).
@pilloeffe, nah, vorrei qualcosa di un po' più sfidante rispetto a questo...
Vi vorrei chiedere se, per favore, potreste aiutarmi con questa serie?
$\sum_{n=1}^\infty\ (ln(n))/n^2$
È una serie a termini positivi, quindi o diverge positivamente o converge.
Ho provato con il teorema del confronto ma l'unica serie che mi viene in mente è $\sum_{n=1}^\infty\ 1/n^2$ ma in questo caso ho al numeratore un logaritmo quindi non credo che sia la strada giusta...
Ho fatto qualche ricerca ma quando ho trovato esercizi simili la serie veniva risolto in modi che ancora devo studiare (o-piccolo oppure De L'Hopital).
Che la serie converge, lo so, ma non so come dimostrarlo con i teoremi classici (confronto, rapporto, radice).
"Quasar3.14":
Vi vorrei chiedere se, per favore, potreste aiutarmi con questa serie?
$ \sum_{n=1}^\infty\ (ln(n))/n^2 $
Anche questa sono sicuro che sia già stata risolta in qualche post, ma siccome non ho voglia di andare a cercarlo te la risolvo di nuovo...
Facendo uso della disuguaglianza $ln x < x $, che vale $\forall x > 0 $, si pone $x := n^{\alpha} $, ove $\alpha $ è un qualsiasi numero positivo, sicché si ha:
$ln n^{\alpha} < n^{\alpha}$
$\alpha ln n < n^{\alpha}$
$ ln n < n^{\alpha}/(\alpha) $
Quindi si ha:
$ \sum_{n=1}^{+ \infty} (ln(n))/n^2 < 1/\alpha \sum_{n=1}^{+ \infty} 1/n^{2 - \alpha}$
Se scegliamo ad esempio il comodo valore $\alpha = 1/2 $, l'ultima scritta sulla destra è la serie armonica generalizzata con $p := 2 - \alpha = 2 - 1/2 = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.
Grazie!!!
Questa serie penso che non la dimenticherò più ormai.
Mi sono imbattuto in una serie che sembra, all'apparenza, la fotocopia di quella del primo post:
$sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + n)-n)$
Ho provato quindi a risolverla come avete spiegato nei post precedenti. Attraverso la razionalizzazione inversa, ottengo
$lim_{n \to \infty} n/((root(3)((n^3 + n)^2) +n(root(3)(n^3 + n)+n^2)$
Ora quel $n$ a numeratore, non mi piace. Se anche dividessi numeratore e denominatore per $x$, otterei un 1 al numeratore ma a quel punto non potrei più dimostrare con il criterio del confronto che la serie è
$ < sum_{n=1}^\infty 1/n^2 $
Questo perchè non avrei più nessuna somma con $n^2$
Dopo vani tentativi ho provato a fare qualche ricerca ma niente che portasse a risolvere la serie con i criteri classici (confronto, radice e rapporto). Avete qualche idea?
Mi sono imbattuto in una serie che sembra, all'apparenza, la fotocopia di quella del primo post:
$sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + n)-n)$
Ho provato quindi a risolverla come avete spiegato nei post precedenti. Attraverso la razionalizzazione inversa, ottengo
$lim_{n \to \infty} n/((root(3)((n^3 + n)^2) +n(root(3)(n^3 + n)+n^2)$
Ora quel $n$ a numeratore, non mi piace. Se anche dividessi numeratore e denominatore per $x$, otterei un 1 al numeratore ma a quel punto non potrei più dimostrare con il criterio del confronto che la serie è
$ < sum_{n=1}^\infty 1/n^2 $
Questo perchè non avrei più nessuna somma con $n^2$
Dopo vani tentativi ho provato a fare qualche ricerca ma niente che portasse a risolvere la serie con i criteri classici (confronto, radice e rapporto). Avete qualche idea?
"Quasar3.14":
Mi sono imbattuto in una serie che sembra, all'apparenza, la fotocopia di quella del primo post:
$ \sum_{n=1}^\infty (\root(3)(n^3 + n) - n) $
All'apparenza, ma in realtà qui devi usare un'altro prodotto notevole per de-razionalizzarla, osservando che si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - \root(3)(n^3)) $
Quindi devi usare $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $ ove nel caso in esame $a := \root(3)(n^3 + n) $ e $b := root(3)(n^3) $
Anche questa serie sono sicuro che sia già stata risolta qui sul forum in qualche thread, ma siccome non ho voglia di cercarlo ti indico la buona strada...
Sempre grazie per il tuo aiuto.
Proverò a studiarla seguendo il tuo consiglio.
Proverò a studiarla seguendo il tuo consiglio.
Provato a seguire il tuo consiglio e...
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - \root(3)(n^3)) $
Applicando il prodotto notevole $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^3+n-n^3)/((root(3)(n^3 + n))^2 + (root(3)(n^3 + n))(\root(3)(n^3))+ (root(3)(n^3))^2 )$ $= \sum_{n=1}^{+\infty} n/((root(3)(n^3 + n))^2 +nroot(3)(n^3 + n)+n^2$
Ora, mi ritrovo sempre con $n$ al numeratore, se divido numeratore e denominatore proprio per $n$ riesco ad ottenere $1$ al numeratore ma in questo modo elimino anche $n^2$ al denominatore che mi avrebbe permesso di ricollegarmi all'esercizio del primo post e applicare il teorema del confronto.
p.s. Ho provato a cercare con parole chiave sul forum e mi sono spulciato diverse decine di pagine di risultati, ma purtroppo, la serie che si "avvicina" è questa, ma essendoci una costante al numeratore lo svolgimento è simile all'esercizio in prima pagina più che a questo.
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - \root(3)(n^3)) $
Applicando il prodotto notevole $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^3+n-n^3)/((root(3)(n^3 + n))^2 + (root(3)(n^3 + n))(\root(3)(n^3))+ (root(3)(n^3))^2 )$ $= \sum_{n=1}^{+\infty} n/((root(3)(n^3 + n))^2 +nroot(3)(n^3 + n)+n^2$
Ora, mi ritrovo sempre con $n$ al numeratore, se divido numeratore e denominatore proprio per $n$ riesco ad ottenere $1$ al numeratore ma in questo modo elimino anche $n^2$ al denominatore che mi avrebbe permesso di ricollegarmi all'esercizio del primo post e applicare il teorema del confronto.
p.s. Ho provato a cercare con parole chiave sul forum e mi sono spulciato diverse decine di pagine di risultati, ma purtroppo, la serie che si "avvicina" è questa, ma essendoci una costante al numeratore lo svolgimento è simile all'esercizio in prima pagina più che a questo.
Infatti la serie proposta diverge positivamente, non vedo quale sia il problema...
C'è anche un modo più veloce di verificarlo, scrivendola così:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (n \root(3)(1 + 1/n^2) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n) = $
$ = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n^2) \cdot 1/n $[tex]\sim[/tex] $1/3 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n $
ove si è fatto uso del limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a \implies $ [tex](1 + x)^a - 1 \sim ax[/tex] con $x := 1/n^2 $ e $a = 1/3 $
C'è anche un modo più veloce di verificarlo, scrivendola così:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (n \root(3)(1 + 1/n^2) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n) = $
$ = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n^2) \cdot 1/n $[tex]\sim[/tex] $1/3 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n $
ove si è fatto uso del limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a \implies $ [tex](1 + x)^a - 1 \sim ax[/tex] con $x := 1/n^2 $ e $a = 1/3 $
Adesso mi è chiaro!! Grazie! In questo modo si ottiene la serie armonica generalizzata con esponente $<=1$
Purtroppo non riesco ancora a "vedere" i limiti notevoli...
Purtroppo non riesco ancora a "vedere" i limiti notevoli...
"Quasar3.14":
Purtroppo non riesco ancora a "vedere" i limiti notevoli...
Eh riuscire a "vedere" i limiti notevoli è una dote che si acquisisce con l'esperienza: adesso a me riesce abbastanza bene, ma per arrivarci di serie ne ho dovute risolvere parecchie...
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