Sup di una funzione di due variabili
Salve. Devo determinare il sup di $f(x,y)=(sqrtx+sqrty)/(sqrt(x+y))$ per $x,y>0$. So che dovrebbe essere infinito, ma non riesco a farlo vedere praticamente. Calcolo $lim_((x,y)->\infty)f(x,y)$?
Risposte
"m.e._liberti":
Salve. Devo determinare il sup di $f(x,y)=(sqrtx+sqrtx)/(sqrt(x+y))$ per $x,y>0$. So che dovrebbe essere infinito, ma non riesco a farlo vedere praticamente. Calcolo $lim_((x,y)->\infty)f(x,y)$?
$(sqrtx+sqrtx)$? Dovrebbe essere $(sqrtx+sqrty)$?
Sì, ora ho corretto
Ma sei sicuro che dovrebbe fare infinito?
Infatti è falso, l'estremo superiore non è \(+\infty\). Per ogni \(x>0\) e per ogni \(y>0\), è:\[
0<\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} < \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}}= 2
\]
@m.e._liberti: Suggerimento: dimostra che per ogni \(x \ge 0\) e per ogni \(y \ge 0\) è \(\sqrt{x}+\sqrt{y} \le \sqrt{2}\sqrt{x+y}\).
0<\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} < \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}}= 2
\]
@m.e._liberti: Suggerimento: dimostra che per ogni \(x \ge 0\) e per ogni \(y \ge 0\) è \(\sqrt{x}+\sqrt{y} \le \sqrt{2}\sqrt{x+y}\).
"otta96":
Ma sei sicuro che dovrebbe fare infinito?
No, credevo io che facesse infinito...
"Mephlip":
Per ogni \(x>0\) e per ogni \(y>0\), è:\[
0<\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} < \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}}= 2
\]
Non è sufficiente scrivere questo?
No. Che significa che un certo numero è estremo superiore per una funzione?
Che è il più piccolo dei maggioranti... Però non so dimostrarlo. Ho pensato che essendo l'insieme di definizione brutalmente $+\infty$, il sup coincide con il max. Questo potrebbe essere utile?
"m.e._liberti":
Che è il più piccolo dei maggioranti... Però non so dimostrarlo. Ho pensato che essendo l'insieme di definizione brutalmente $+\infty$, il sup coincide con il max. Questo potrebbe essere utile?
Non so cosa intendi ma comunque no.
Sì, è il minimo dei maggioranti. Con quella disuguaglianza ho dimostrato che \(2\) è un maggiorante per l'immagine di \(f\), ma questo dimostra solamente che \(f\) è limitata superiormente da \(2\) e quindi che l'estremo superiore dell'immagine di \(f\) non è \(+\infty\); mancherebbe da dimostrare che \(2\) è il minimo dei maggioranti, ma ciò è falso e quindi risulterebbe un po' difficile dimostrarlo. Quell'argomento era solo per mostrare che l'estremo superiore non è \(+\infty\).
Per il resto, concordo con ghira. Non si capisce che intendi con: "Essendo l'insieme di definizione brutalmente \(+\infty\)", e non si capisce perché questa frase non ha senso matematico. L'insieme di definizione è appunto un insieme, non un punto come lo è in questo caso il simbolo \(+\infty\). Forse, volevi intendere che essendo l'insieme di definizione illimitato e potendo \(x\) e \(y\) diventare arbitrariamente grandi mantenendosi positive allora l'estremo superiore dell'immagine di \(f\) in \((0,+\infty)^2\) è \(+\infty\); ma non possiamo sapere cosa intendevi dire (e comunque, anche se intendevi ciò, è falso: pensa alla funzione \(x \mapsto \sin x\) definita su \(\mathbb{R}\)).
Insomma, devi essere estremamente precis* quando ti esprimi in un problema di matematica: anche le tecniche che vuoi usare devono essere supportate da teoremi dimostrati. Altrimenti, non svilupperai una conoscenza solida. Sei partit* volendo calcolare un limite, ma cosa ti assicura che tale limite coincida con l'estremo superiore? In certi casi questo è vero (ad esempio, per funzioni di una variabile monotòne crescenti su un intervallo aperto \((a,b)\) e nel limite per \(x \to b^-\)), ma non è vero sempre.
L'idea di dimostrare che esiste il massimo di \(f\) in quell'insieme (e che quindi l'estremo superiore di \(f\) in quell'insieme coincide con il massimo) è buona: per farlo, o procedi con conti (moltiplicatori di Lagrange o altre cose così), oppure usi il suggerimento che ti ho dato prima.
Per il resto, concordo con ghira. Non si capisce che intendi con: "Essendo l'insieme di definizione brutalmente \(+\infty\)", e non si capisce perché questa frase non ha senso matematico. L'insieme di definizione è appunto un insieme, non un punto come lo è in questo caso il simbolo \(+\infty\). Forse, volevi intendere che essendo l'insieme di definizione illimitato e potendo \(x\) e \(y\) diventare arbitrariamente grandi mantenendosi positive allora l'estremo superiore dell'immagine di \(f\) in \((0,+\infty)^2\) è \(+\infty\); ma non possiamo sapere cosa intendevi dire (e comunque, anche se intendevi ciò, è falso: pensa alla funzione \(x \mapsto \sin x\) definita su \(\mathbb{R}\)).
Insomma, devi essere estremamente precis* quando ti esprimi in un problema di matematica: anche le tecniche che vuoi usare devono essere supportate da teoremi dimostrati. Altrimenti, non svilupperai una conoscenza solida. Sei partit* volendo calcolare un limite, ma cosa ti assicura che tale limite coincida con l'estremo superiore? In certi casi questo è vero (ad esempio, per funzioni di una variabile monotòne crescenti su un intervallo aperto \((a,b)\) e nel limite per \(x \to b^-\)), ma non è vero sempre.
L'idea di dimostrare che esiste il massimo di \(f\) in quell'insieme (e che quindi l'estremo superiore di \(f\) in quell'insieme coincide con il massimo) è buona: per farlo, o procedi con conti (moltiplicatori di Lagrange o altre cose così), oppure usi il suggerimento che ti ho dato prima.
Okay… ci provo, grazie!!
Ciao m.e._liberti,
Si potrebbe anche sfruttare l'omogeneità della funzione, per cui se $x \ne 0 $ si può scrivere:
$z = f(x, y) = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} = \frac{1 +\sqrt{y/x}}{\sqrt{1+y/x}} = \frac{1 +\sqrt{t}}{\sqrt{1+t}} $
con ovvia definizione di $t$. Si vede subito che la funzione di una variabile $z = z(t) $ ha un massimo che vale $\sqrt2 $ per $t = 1 $, un minimo che vale $1$ per $t = 0$
Si potrebbe anche sfruttare l'omogeneità della funzione, per cui se $x \ne 0 $ si può scrivere:
$z = f(x, y) = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} = \frac{1 +\sqrt{y/x}}{\sqrt{1+y/x}} = \frac{1 +\sqrt{t}}{\sqrt{1+t}} $
con ovvia definizione di $t$. Si vede subito che la funzione di una variabile $z = z(t) $ ha un massimo che vale $\sqrt2 $ per $t = 1 $, un minimo che vale $1$ per $t = 0$
Dalla disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica:
$(a + b)/2 <= sqrt((a^2 + b^2)/2)$
(in cui vale l'uguaglianza solo se $a = b >= 0$), ponendo $a = sqrt(x)$ e $b = sqrt(y)$, si ricava:
$(sqrt(x) + sqrt(y))/2 <= (sqrt(x + y))/sqrt(2) => f(x,y) <= sqrt(2)$,
sicché $sqrt(2)$ è un maggiorante di $f$; d'altra parte, $f(1,1) = sqrt(2)$, quindi $sqrt(2) = max f$.
$(a + b)/2 <= sqrt((a^2 + b^2)/2)$
(in cui vale l'uguaglianza solo se $a = b >= 0$), ponendo $a = sqrt(x)$ e $b = sqrt(y)$, si ricava:
$(sqrt(x) + sqrt(y))/2 <= (sqrt(x + y))/sqrt(2) => f(x,y) <= sqrt(2)$,
sicché $sqrt(2)$ è un maggiorante di $f$; d'altra parte, $f(1,1) = sqrt(2)$, quindi $sqrt(2) = max f$.
Grazie mille, chiarissimi <3
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