L'utilità del pensare equazioni fisico/geomet. come funzioni
Consideriamo una linea nello spazio e rappresentiamola tramite le tre equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ (1), $t in [a,b]$. Il sistema (1) di tre equazioni può essere pensato come una legge che associa ad ogni elemento di $[a,b]$ un'unica terna di numeri reali, cioè è una funzione $RR->RR^3$. Cosa ho ottenuto di concreto facendo questa osservazione? Che vantaggi ottengo introducendo in questo caso il concetto di funzione? Perchè si è sentita la necessità di vedere il sistema (1) come una funzione $RR->RR^3$? Se non si è capito, continuo a non comprendere l'utilità del concetto di funzione (se un'utilità la ha).
Grazie.
Grazie.
Risposte
mi piace moltissimo la parte finale del tuo discorso martino
@Martino: Complimenti per l'opera di immedesimazione.
"gugo82":Grazie
@Martino: Complimenti per l'opera di immedesimazione.
Continuo qui visto che l'altro post mi è stato chiuso e non vale la pena aprirne un altro. Come ho già detto, se sull'insieme $RR$ non fossero definite operazioni, parlare di equazioni non avrebbe senso; o meglio, le uniche equazioni sensate sarebbero equazioni banali del tipo $x=a$, con $a in RR$. Questo perchè il concetto di equazione (a parte il caso banale appena evidenziato) si basa su quello di funzione.
Sull'insieme $RR$ ragioni di natura pratica hanno evidenziato la necessità di associare a una coppia di elementi di tale insieme un altro elemento dello stesso insieme, e quindi sono state definite le quattro operazioni (binarie) fondamentali.
Tuttavia, su $RR$ non sono definite soltanto le operazioni binarie, ma anche un sacco di operazioni unarie (funzioni di una variabile, come mi aveva detto gugo). Perchè questo? Cerco di spiegarlo.
Consideriamo una certa situazione fisica, qual è ad esempio quella di una catena pesante i cui estremi sono vincolati su di una parete verticale. La catena si disporrà in un certo modo. E' possibile dunque idealizzare la forma della catena con una certa curva, molto simile ad una parabola. Se si disegna tale curva in un piano cartesiano, matematicamente la curva può essere rappresentata elencando le due coordinate di ogni singolo punto che la compone. Non posso chiedermi qual è l'equazione che descrive tale curva, perchè l'insieme $RR$ è ancora un insieme "povero". L'unica equazione che potrei scrivere è l'equazione $x=a$, $a in RR$, ma evidentemente tale equazione non è l'equazione della catenaria. Tuttavia l'insieme di coppie ordinate individuato dalla catenaria lo posso vedere come una legge che mi permette di associare ad ogni elemento di un insieme $I sub RR$ uno ed un solo elemento di $RR$: si tratta cioè di una funzione da $I$ in $RR$.
Questa funzione la indico con il simbolo $cosh$ e si chiama "coseno iperbolico". Fatto questo, posso dire che la curva "catenaria" soddisfa l'equazione $y=cosh(x)$ (1). L'equazione (1) però può essere scritta solo dopo che è stata definita la funzione $cosh: I sub RR->RR$.
Altre funzioni interessanti che si studiano in Analisi sono la funzione esponenziale, (logaritmo) e quelle trigonometriche.
Come afferma il testo "Bramanti Pagani Salsa, Analisi matematica 1", queste funzioni affondano le loro radici nella pratica; infatti traggono origine da fenomeni quali i fenomeni di decadimento (o di crescita) e i fenomeni periodici.
Quindi il punto del mio discorso è questo. Le quattro operazioni sono state definite perchè ragioni di natura pratica hanno evidenziato la necessità di associare a due elementi dell'insieme uno ed un solo elemento dell'insieme. Quindi arrivare a definire le quattro operazioni è stato un processo piuttosto spontaneo e naturale, come quello di definire un'operazioni sull'insieme dei colori ad esempio. Definire però su $RR$ operazioni unarie (funzioni di una variabile) quali il coseno iperbolico, le funzioni esponenziali e logaritmiche, la funzione radice, valore assoluto, e quelle trigonometriche è stato un processo meno naturale, meno spontaneo, tant'è che uno si potrebbe chiedere il perchè dell'esistenza di tali funzioni. La risposta è, ancora una volta, nella pratica. Il primo passo che si compie quando si vuole "matematizzare" un fenomeno fisico o una situazione geometrica (come quella della catenaria) consiste nell'elencare in un insieme tutti i valori assunti dalle grandezze in gioco nel fenomeno. Fatto questo, sarebbe auspicabile trovare un qualcosa (che sarà l'equazione) che descriva il fenomeno in questione (o la curva geometrica) in maniera più efficiente e sintetica. Ma l'equazione può essere scritta solo se si vede quell'insieme di coppie ordinate come una legge che permette di fare un'associazione, cioè come una funzione. Definita la funzione (come il coseno iperbolico ad esempio nel caso della catenaria), si può quindi scrivere l'equazione che sintetizza il fenomeno, raggiungendo dunque l'obiettivo al quale si tendeva.
Al momento mi fermo.
Grazie!
Sull'insieme $RR$ ragioni di natura pratica hanno evidenziato la necessità di associare a una coppia di elementi di tale insieme un altro elemento dello stesso insieme, e quindi sono state definite le quattro operazioni (binarie) fondamentali.
Tuttavia, su $RR$ non sono definite soltanto le operazioni binarie, ma anche un sacco di operazioni unarie (funzioni di una variabile, come mi aveva detto gugo). Perchè questo? Cerco di spiegarlo.
Consideriamo una certa situazione fisica, qual è ad esempio quella di una catena pesante i cui estremi sono vincolati su di una parete verticale. La catena si disporrà in un certo modo. E' possibile dunque idealizzare la forma della catena con una certa curva, molto simile ad una parabola. Se si disegna tale curva in un piano cartesiano, matematicamente la curva può essere rappresentata elencando le due coordinate di ogni singolo punto che la compone. Non posso chiedermi qual è l'equazione che descrive tale curva, perchè l'insieme $RR$ è ancora un insieme "povero". L'unica equazione che potrei scrivere è l'equazione $x=a$, $a in RR$, ma evidentemente tale equazione non è l'equazione della catenaria. Tuttavia l'insieme di coppie ordinate individuato dalla catenaria lo posso vedere come una legge che mi permette di associare ad ogni elemento di un insieme $I sub RR$ uno ed un solo elemento di $RR$: si tratta cioè di una funzione da $I$ in $RR$.
Questa funzione la indico con il simbolo $cosh$ e si chiama "coseno iperbolico". Fatto questo, posso dire che la curva "catenaria" soddisfa l'equazione $y=cosh(x)$ (1). L'equazione (1) però può essere scritta solo dopo che è stata definita la funzione $cosh: I sub RR->RR$.
Altre funzioni interessanti che si studiano in Analisi sono la funzione esponenziale, (logaritmo) e quelle trigonometriche.
Come afferma il testo "Bramanti Pagani Salsa, Analisi matematica 1", queste funzioni affondano le loro radici nella pratica; infatti traggono origine da fenomeni quali i fenomeni di decadimento (o di crescita) e i fenomeni periodici.
Quindi il punto del mio discorso è questo. Le quattro operazioni sono state definite perchè ragioni di natura pratica hanno evidenziato la necessità di associare a due elementi dell'insieme uno ed un solo elemento dell'insieme. Quindi arrivare a definire le quattro operazioni è stato un processo piuttosto spontaneo e naturale, come quello di definire un'operazioni sull'insieme dei colori ad esempio. Definire però su $RR$ operazioni unarie (funzioni di una variabile) quali il coseno iperbolico, le funzioni esponenziali e logaritmiche, la funzione radice, valore assoluto, e quelle trigonometriche è stato un processo meno naturale, meno spontaneo, tant'è che uno si potrebbe chiedere il perchè dell'esistenza di tali funzioni. La risposta è, ancora una volta, nella pratica. Il primo passo che si compie quando si vuole "matematizzare" un fenomeno fisico o una situazione geometrica (come quella della catenaria) consiste nell'elencare in un insieme tutti i valori assunti dalle grandezze in gioco nel fenomeno. Fatto questo, sarebbe auspicabile trovare un qualcosa (che sarà l'equazione) che descriva il fenomeno in questione (o la curva geometrica) in maniera più efficiente e sintetica. Ma l'equazione può essere scritta solo se si vede quell'insieme di coppie ordinate come una legge che permette di fare un'associazione, cioè come una funzione. Definita la funzione (come il coseno iperbolico ad esempio nel caso della catenaria), si può quindi scrivere l'equazione che sintetizza il fenomeno, raggiungendo dunque l'obiettivo al quale si tendeva.
Al momento mi fermo.
Grazie!
"lisdap":
Continuo qui visto che l'altro post mi è stato chiuso e non vale la pena aprirne un altro.
E' indistruttibile!
"Brancaleone":
E' indistruttibile!
In moto vado senza casco, perchè so che se cado la testa è troppo dura per rompersi
No scherzo, non ce l'ho la moto ma il casco va messo, sempre!!!
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