L'utilità del pensare equazioni fisico/geomet. come funzioni
Consideriamo una linea nello spazio e rappresentiamola tramite le tre equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ (1), $t in [a,b]$. Il sistema (1) di tre equazioni può essere pensato come una legge che associa ad ogni elemento di $[a,b]$ un'unica terna di numeri reali, cioè è una funzione $RR->RR^3$. Cosa ho ottenuto di concreto facendo questa osservazione? Che vantaggi ottengo introducendo in questo caso il concetto di funzione? Perchè si è sentita la necessità di vedere il sistema (1) come una funzione $RR->RR^3$? Se non si è capito, continuo a non comprendere l'utilità del concetto di funzione (se un'utilità la ha).
Grazie.
Grazie.
Risposte
Altro esempio. Una superficie nello spazio può essere descritta dal sistema di tre equazioni (2) $x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)$, dove i parametri variano entro certi insiemi.
Il sistema di tre equazioni può essere pensato come una legge che associa ad un elemento di $RR^2$ un elemento di $RR^3$: è quindi una funzione di due variabili a valori vettoriali. Su questo non ho nulla da dire.
Ma a che mi serve dire quello che ho detto? Non posso ignorare il concetto di funzione? Non posso vedere le (2) solo come un sistema di tre equazioni che mi descrivono una superficie (ma anche altri oggetti fisici e geometrici), e non anche come una funzione da $RR^2$ a $RR^3$? Cosa ci guadagno vedendo il sistema (2) come una funzione?
Stesso identico discorso per l'equazione di stato dei gas perfetti $PV=nRT$, dove $R$ è una costante e $n$ un certo numero. L'equazione, riscritta come $P=nR(T/V)$, può essere vista come una legge che associa ad un elemento di $RR^2$ un elemento di $RR$, cioè come una funzione di due variabili a valori reali. Va bene, e quindi?
Spero che le mie domande siano chiare
Grazie a chi vorrà rispondere.
Spero di aver fatto progressi rispetto a quanto affermavo qui:
considerazioni-sulle-equazioni-e-sulle-funzioni-t93011.html
(Questo mio messaggio non è un up), semplicemente non volevo appesantire troppo il primo.
Il sistema di tre equazioni può essere pensato come una legge che associa ad un elemento di $RR^2$ un elemento di $RR^3$: è quindi una funzione di due variabili a valori vettoriali. Su questo non ho nulla da dire.
Ma a che mi serve dire quello che ho detto? Non posso ignorare il concetto di funzione? Non posso vedere le (2) solo come un sistema di tre equazioni che mi descrivono una superficie (ma anche altri oggetti fisici e geometrici), e non anche come una funzione da $RR^2$ a $RR^3$? Cosa ci guadagno vedendo il sistema (2) come una funzione?
Stesso identico discorso per l'equazione di stato dei gas perfetti $PV=nRT$, dove $R$ è una costante e $n$ un certo numero. L'equazione, riscritta come $P=nR(T/V)$, può essere vista come una legge che associa ad un elemento di $RR^2$ un elemento di $RR$, cioè come una funzione di due variabili a valori reali. Va bene, e quindi?
Spero che le mie domande siano chiare
Grazie a chi vorrà rispondere.
Spero di aver fatto progressi rispetto a quanto affermavo qui:
considerazioni-sulle-equazioni-e-sulle-funzioni-t93011.html
(Questo mio messaggio non è un up), semplicemente non volevo appesantire troppo il primo.
una relazione è una particolare funzione...
senza il concetto di funzione non esisterebbe quindi neanche un ordinamento tra elementi di un insieme...
inoltre il concetto di funzione può servire anche per "contare" gli elementi di un insieme (anche se infiniti). Per esempio si dimostra che sebbene intuitivamente $\mathbb N$ ha molti "meno elementi" di $\mathbb Q$, si dimostra che esiste un'applicazione bigettiva tra $\mathbb N$ e $\mathbb Q$, motivo per cui possiamo pensare i due insiemi come se fossero, diciamo equipotenti: l'infinito razionale e quello dei naturali sono dello stesso ordine.
R
Sempre in questo modo si vede che non è possibile costruire un'applicazione da Q a R bigettiva, ovvero non è possibile coprire tutti i reali solo con i razionali, motivo per cui comprendiamo che R ha una cardinalità maggiore.
senza il concetto di funzione non esisterebbe quindi neanche un ordinamento tra elementi di un insieme...inoltre il concetto di funzione può servire anche per "contare" gli elementi di un insieme (anche se infiniti). Per esempio si dimostra che sebbene intuitivamente $\mathbb N$ ha molti "meno elementi" di $\mathbb Q$, si dimostra che esiste un'applicazione bigettiva tra $\mathbb N$ e $\mathbb Q$, motivo per cui possiamo pensare i due insiemi come se fossero, diciamo equipotenti: l'infinito razionale e quello dei naturali sono dello stesso ordine.
R
Sempre in questo modo si vede che non è possibile costruire un'applicazione da Q a R bigettiva, ovvero non è possibile coprire tutti i reali solo con i razionali, motivo per cui comprendiamo che R ha una cardinalità maggiore.
Grazie newton, si, quello che dici lo reputo corretto, però io volevo sapere "cosa ci guadagno pensando le equazioni che descrivono superfici, linee, campi vettoriali ecc..." come funzioni. Davvero non ne afferro l'utilità!
P.S: ho cambiato il titolo per maggiore precisione.
P.S: ho cambiato il titolo per maggiore precisione.
Ma volendo essere ancora più pragmatici, il motivo per cui si studia matematica è fondamentalmente quello di prendere dei numeri da un certo insieme e "trasformarlo" in altri già dati. Dalla prima elementare studiamo "le quattro operazioni", che col senno di poi non sono altro che funzioni $R\times R\mapsto R$
Riguardo alla fisica, visto che hai accennato all'eq. di stato dei gas perfetti, fammi dire questo: il fisico si sveglia la mattina proprio per scoprire una legge che collega tra loro diverse grandezze fisiche. La "funzione" in questo caso è proprio il fine ultimo: dato il valore di determinate grandezze, sono in grado di determinare il valore di quest'altra? Le leggi della fisica sono in ultima analisi funzioni che ad ogni valore di determinate grandezze associa il valore dell'altra che si vuole trovare...
probabilmente la mia sembrerà una risposta banale...
ps. insomma, si parte dal concetto di insieme, insieme di vettori, insieme di punti, insieme di grandezze, insieme di patate. cosa ci vuoi fare, la scampagnata?:D è ovvio che tutto parte già con l'idea e col concetto di porre in relazione più insiemi tra loro, al fine di studiarne le proprietà reciproche. Sono con le funzioni che gli insiemi cessano di essere dei semplici contenitori stagnanti, per diventare elementi per così dire dinamici. Un insieme in cui non sei in grado di definire nessuna funzione, che te ne fai?
Riguardo alla fisica, visto che hai accennato all'eq. di stato dei gas perfetti, fammi dire questo: il fisico si sveglia la mattina proprio per scoprire una legge che collega tra loro diverse grandezze fisiche. La "funzione" in questo caso è proprio il fine ultimo: dato il valore di determinate grandezze, sono in grado di determinare il valore di quest'altra? Le leggi della fisica sono in ultima analisi funzioni che ad ogni valore di determinate grandezze associa il valore dell'altra che si vuole trovare...
probabilmente la mia sembrerà una risposta banale...
ps. insomma, si parte dal concetto di insieme, insieme di vettori, insieme di punti, insieme di grandezze, insieme di patate. cosa ci vuoi fare, la scampagnata?:D è ovvio che tutto parte già con l'idea e col concetto di porre in relazione più insiemi tra loro, al fine di studiarne le proprietà reciproche. Sono con le funzioni che gli insiemi cessano di essere dei semplici contenitori stagnanti, per diventare elementi per così dire dinamici. Un insieme in cui non sei in grado di definire nessuna funzione, che te ne fai?
"newton_1372":
una relazione è una particolare funzione...
Ho i miei dubbi.
Ovviamente mi rimetto a Paolo 90 che ne sa sicuramente più di me.
Ma per quanto riguarda la relazione, nel Ciliberto (algebra lineare), questa è definita come un'applicazione che ad ogni elemento di un insieme associa un sottoinsieme che contiene tutti gli elementi che hanno relazione con lui...vederla così mi sembra anche abbastanza elegante...d'altronde è anche vero che posso vedere una funzione come una relazione [(x,y) in AxA sta in R se e solo se f(x)=y]
Credo che sia come chiedersi se è nato prima l'uovo o la gallina. IN mancanza di un insindacabile motivo per cui una definizione è meglio di un altra, tengo quella che mi sembra più elegante...
Ma per quanto riguarda la relazione, nel Ciliberto (algebra lineare), questa è definita come un'applicazione che ad ogni elemento di un insieme associa un sottoinsieme che contiene tutti gli elementi che hanno relazione con lui...vederla così mi sembra anche abbastanza elegante...d'altronde è anche vero che posso vedere una funzione come una relazione [(x,y) in AxA sta in R se e solo se f(x)=y]
Credo che sia come chiedersi se è nato prima l'uovo o la gallina. IN mancanza di un insindacabile motivo per cui una definizione è meglio di un altra, tengo quella che mi sembra più elegante...
"newton_1372":
Ma volendo essere ancora più pragmatici, il motivo per cui si studia matematica è fondamentalmente quello di prendere dei numeri da un certo insieme e "trasformarlo" in altri già dati. Dalla prima elementare studiamo "le quattro operazioni", che col senno di poi non sono altro che funzioni $R\times R\mapsto R$
Certamente.
"newton_1372":
Riguardo alla fisica, visto che hai accennato all'eq. di stato dei gas perfetti, fammi dire questo: il fisico si sveglia la mattina proprio per scoprire una legge che collega tra loro diverse grandezze fisiche. La "funzione" in questo caso è proprio il fine ultimo: dato il valore di determinate grandezze, sono in grado di determinare il valore di quest'altra? Le leggi della fisica sono in ultima analisi funzioni che ad ogni valore di determinate grandezze associa il valore dell'altra che si vuole trovare...
Il fisico osserva una certa situazione sperimentale, misura certe grandezze e si chiede quale equazione soddisfano.
L'aver determinato una certa equazione dà poi il vantaggio di poter ricavare il valore di certe grandezze conoscendo quello di altre (cioé risolvendola), sei d'accordo?
"lisdap":
Consideriamo una linea nello spazio e rappresentiamola tramite le tre equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ (1), $t in [a,b]$. Il sistema (1) di tre equazioni può essere pensato come una legge che associa ad ogni elemento di $[a,b]$ un'unica terna di numeri reali, cioè è una funzione $RR->RR^3$. Cosa ho ottenuto di concreto facendo questa osservazione? Che vantaggi ottengo introducendo in questo caso il concetto di funzione? Perchè si è sentita la necessità di vedere il sistema (1) come una funzione $RR->RR^3$? Se non si è capito, continuo a non comprendere l'utilità del concetto di funzione (se un'utilità la ha).
Lisdap, scusa la franchezza, ma sei sicuro di essere uno studente universitario di ingegneria?
Sei sicuro di aver studiato per qualche esame?
"gugo82":
Lisdap, scusa la franchezza, ma sei sicuro di essere uno studente universitario di ingegneria?
Sei sicuro di aver studiato per qualche esame?
Si, sicurissimo, perché? Ti scannerizzo il libretto universitario? E' una domanda "scottante"? Mi sai dare una risposta?
Non mi pare di aver bestemmiato...
Ok, non dormo da qualche settimana però non mi sono rinc.....
Gugo, se io avessi dato retta a te avrei abbandonato l'università già da un pezzo. E invece come al solito ho fatto di testa mia, e ho fatto bene. Quindi, per favore, evita certe domande.
Il libro mi dice: l'equazione fisica che lega lo spazio percorso con il tempo, cioè l'equazione $s=s(t)$ si può vedere come una legge bla bla bla detta funzione di una variabile a valori reali. E io dico ok. Però non posso non chiedermi quale sia l'utilità di fare tutto questo discorso. Perchè non si può fare tutto con le equazioni e "amen"? A che mi serve sapere che l'equazione $s=s(t)$ è una funzione?
@newton 
Sei sicuro?
@lisdap Si potrebbe iniziare con l'obiettare sul cosa intendi per equazione!
Sei sicuro? @lisdap Si potrebbe iniziare con l'obiettare sul cosa intendi per equazione!
"j18eos":
@lisdap Si potrebbe iniziare con l'obiettare sul cosa intendi per equazione!
Mi dite cosa non va nella mia domanda? A me sembra formulata correttamente. Per me un'equazione è "una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite", come detto da wikipedia.
OK, secondo passo: sull'intervallo \([a;b]\) che mi dici?
"j18eos":
OK, secondo passo: sull'intervallo \([a;b]\) che mi dici?
Allora, prendiamo una superficie. Per rappresentare questa superficie ho due modi:
1) scrivere un'equazione del tipo $f(x,y,z)=0$, le cui soluzioni sono esattamente le coordinate dei punti della superficie in questione;
2) scrivere un sistema di tre equazioni del tipo $x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)$. Assegnando progressivamente dei valori alla $u$ e alla $v$, ottengo tanti sistemi del tipo $x=a, y=b, z=c$, con $a,b,c in RR$, e le soluzioni di quest'ultimo sistema (che evidentemente sono i numeri $a,b,c$) costituiscono le coordinate della superficie. Nel caso di curve nello spazio il sistema è semplicemente del tipo $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ e $ [a,b]$ è l'insieme in cui varia la $t$.
Ti trovi fin qui? Spero di non aver detto cavolate!
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Lisdap, scusa la franchezza, ma sei sicuro di essere uno studente universitario di ingegneria?
Sei sicuro di aver studiato per qualche esame?
Si, sicurissimo, perché? Ti scannerizzo il libretto universitario?[/quote]
Aver dato un esame ed aver capito ciò che si è studiato sono cose distinte e separate.
In particolare, di solito, la seconda è condizione quasi-sufficiente alla prima; ma la prima condizione si guarda bene dall'essere quasi-sufficiente alla seconda.
"lisdap":
E' una domanda "scottante"? Mi sai dare una risposta?
Non mi pare di aver bestemmiato...
Non è scottante, ma la risposta è talmente palese che non vale nemmeno la pena esplicitarla.
Secondo te perché la scienza è progredita più speditamente negli ultimi quattro secoli rispetto ai precedenti tre millenni e mezzo?
In altre parole, basta confrontare le condizioni della Fisica prima e dopo i Principia Mathematica Philosophiae Naturalis di Newton per rendersi conto della "utilità pratica" del concetto di funzione.
"lisdap":
Ok, non dormo da qualche settimana però non mi sono rinc...
Beh, con questo caldo faresti meglio a riposare di più.
"lisdap":
Gugo, se io avessi dato retta a te avrei abbandonato l'università già da un pezzo. E invece come al solito ho fatto di testa mia, e ho fatto bene.
Certo che hai fatto bene: l'università ha carenza di fondi ultimamente, ed ogni euro in entrata è un buon euro.
"lisdap":
Il libro mi dice: l'equazione fisica che lega lo spazio percorso con il tempo, cioè l'equazione $s=s(t)$ si può vedere come una legge bla bla bla detta funzione di una variabile a valori reali. E io dico ok. Però non posso non chiedermi quale sia l'utilità di fare tutto questo discorso. Perchè non si può fare tutto con le equazioni e "amen"? A che mi serve sapere che l'equazione $s=s(t)$ è una funzione?
Ma che diamine vuol dire ciò?
Ancora non hai capito la differenza tra funzione ed equazione?
Ne stiamo parlando da quattro mesi credo...
sono del parere che gugo ti stesse elogiando perchè ti sei offeso?:D anche io lo penso...sarebbe bello in facoltà trovare persone che desiderano andarci veramente sul profondo nelle cose. ricordo di non essere stato pienamente soddisfatto sul come un prof ci aveva costruito R, e molti miei o lleghi dicevano.."ma che ti frega perchè non ti scrivevi in matematica:D"
tornando a noi.
Se ti chiedessi esattamente...cos'è per te un'equazione?
tornando a noi.
Se ti chiedessi esattamente...cos'è per te un'equazione?
"gugo82":
Certo che hai fatto bene: l'università ha carenza di fondi ultimamente, ed ogni euro in entrata è un buon euro.
Grazie, con i condizionatori a 16 gradi e le finestre aperte e con i water che gocciolano...
"gugo82":
Non è scottante, ma la risposta è talmente palese che non vale nemmeno la pena esplicitarla.
Io questa risposta non la vedo. Ok, sono miope però le parole del libro le leggo perfettamente.
lisdap non ti avevo letto bene. come giustamente dici un equazione è un uguaglianza tra più espressioni. A voler essere esatti, penso che si tratti di una proprietà, o meglio, di una proposizione. o meglio ancora, di una relazione (di equivalenza!) tra due oggetti che alla fine sono funzioni...correggetemi se sbaglio
Cmq penso non ci sia molto da capire. alla fine una funzione è un equazione, dove al primo membro c'è la f(x), al secondo membro c'è l'espressione che definisce la f al variare di x.
Intendo dire che se questa
a+b+c=0
tu la vedi come un'equazione, nulla ti vieta di scriverla nella forma
a = -(b+c)
avendo usando i principi di equivalenza delle equazioni. Quello che ottieni non è molto nuovo, è sempre un equazione, ma al primo membro hai una sola variabile, a, nel secondo membro hai una combinazione di b,c. A questo punto nulla ti vieta di scrivere, a come FUNZIONE di b,c. Lo abbiamo praticamente già fatto
a(b,c) = -(b+c)
A che pro farlo? semplicemente perchè a noi interessa, per scopi eminentemente pratici, trovarci UNA DELLE VARIABILI in funzione delle altre.
Cmq penso non ci sia molto da capire. alla fine una funzione è un equazione, dove al primo membro c'è la f(x), al secondo membro c'è l'espressione che definisce la f al variare di x.
Intendo dire che se questa
a+b+c=0
tu la vedi come un'equazione, nulla ti vieta di scriverla nella forma
a = -(b+c)
avendo usando i principi di equivalenza delle equazioni. Quello che ottieni non è molto nuovo, è sempre un equazione, ma al primo membro hai una sola variabile, a, nel secondo membro hai una combinazione di b,c. A questo punto nulla ti vieta di scrivere, a come FUNZIONE di b,c. Lo abbiamo praticamente già fatto
a(b,c) = -(b+c)
A che pro farlo? semplicemente perchè a noi interessa, per scopi eminentemente pratici, trovarci UNA DELLE VARIABILI in funzione delle altre.
"newton_1372":Perfetto.
Intendo dire che se questa
a+b+c=0
tu la vedi come un'equazione, nulla ti vieta di scriverla nella forma
a = -(b+c)
avendo usando i principi di equivalenza delle equazioni. Quello che ottieni non è molto nuovo, è sempre un equazione, ma al primo membro hai una sola variabile, a, nel secondo membro hai una combinazione di b,c
"newton_1372":
A questo punto nulla ti vieta di scrivere, a come FUNZIONE di b,c. Lo abbiamo praticamente già fatto
a(b,c) = -(b+c)
A che pro farlo? semplicemente perchè a noi interessa, per scopi eminentemente pratici, trovarci UNA DELLE VARIABILI in funzione delle altre.
Ma che significa questo? Secondo me la frase "trovarci UNA DELLE VARIABILI in funzione delle altre" non ha alcun senso.
Io prendo l'equazione $PV=nRT$ e la riscrivo equivalentemente come $P=nR(T/V)$ (2). Le due equazioni sono assolutamente identiche ed hanno ovviamente le stesse soluzioni. Ora qualcuno può venire a dirmi: "l'equazione (2) si può intendere come una legge che associa a due elementi di un certo insieme (la temperatura e il volume), un unico elemento di un altro insieme (la pressione)"....e io gli rispondo: "Beh, e allora? Si, è evidente che l'equazione (2) può essere vista come una "scatola" che prende due numeri e ne restituisce un altro, però non capisco cosa aggiunge questa osservazione a quello che già so".
"gugo82":
Ancora non hai capito la differenza tra funzione ed equazione?
Ne stiamo parlando da quattro mesi credo...
Non ho capito a cosa mi serve sapere che l'equazione fisica $s=1/2 g*t^2$ ($g$ numero) è una funzione di una variabile. $s=1/2 g*t^2$ è un'equazione fisica, ammette certe soluzioni e descrive un certo fenomeno sperimentale. Osservare che è anche una legge che associa a un entrata un'uscita non capisco quale grande passo in avanti rappresenti.
"gugo82":
Secondo te perché la scienza è progredita più speditamente negli ultimi quattro secoli rispetto ai precedenti tre millenni e mezzo?
In altre parole, basta confrontare le condizioni della Fisica prima e dopo i Principia Mathematica Philosophiae Naturalis di Newton per rendersi conto della "utilità pratica" del concetto di funzione.
Per l'ennesimavolta, non lo so. Tu sei il classico matematico (quindi devi esserne fiero, sei un matematico vero): dici che la risposta è palese, è evidente, è sotto gli occhi di tutti, che anche un non vedente la vedrebbe, però poi non la dici mai.
Visto che la risposta è tanto facile (a detta tua), allora perchè non la scrivi? Fai un opera di bene nei miei confronti e mi eviti ulteriori riflessioni.
Su internet leggo, a proposito delle funzioni di più variabili a valori vettoriali:
"Molti oggetti fisici, geometrici, ecc. sono rappresentati da questi strumenti matematici." Ma secondo me è sbagliato. Oggetti geometrici quali superfici, piani, linee curve, oggetti fisici quali campi vettoriali ecc. sono tutti rappresentati per mezzo di equazioni e sistemi di equazioni. Ad esempio, un campo vettoriale spaziale è rappresentato dal sistema di equazioni $a=a(x,y,z), b=b(x,y,z), c=c(x,y,z)$. Come ho già detto sopra, questo sistema di equazioni può essere visto come una funzione da $RR^3$ a $RR^3$ (e ciò è evidente dalla definizione di funzione quale legge). Ignorando però l'ultima affermazione (e cioè ignorando il concetto di funzione) non vedo cosa ci perdo.
Insomma, io quello di funzione non lo vedo come un concetto "naturale", "spontaneo", del quale non se ne può fare a meno.
Grazie.
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