L'utilità del pensare equazioni fisico/geomet. come funzioni
Consideriamo una linea nello spazio e rappresentiamola tramite le tre equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ (1), $t in [a,b]$. Il sistema (1) di tre equazioni può essere pensato come una legge che associa ad ogni elemento di $[a,b]$ un'unica terna di numeri reali, cioè è una funzione $RR->RR^3$. Cosa ho ottenuto di concreto facendo questa osservazione? Che vantaggi ottengo introducendo in questo caso il concetto di funzione? Perchè si è sentita la necessità di vedere il sistema (1) come una funzione $RR->RR^3$? Se non si è capito, continuo a non comprendere l'utilità del concetto di funzione (se un'utilità la ha).
Grazie.
Grazie.
Risposte
"newton_1372":
ma è l'unico modo possibile se vuoi qualcosa di definito "punto per punto"...non hai altra scelta che associare ad ogni punto dello spazio un valore che chiamo posizione, o velocità...nel concetto di funzione c'è insito il fatto che la grandezza è definita per ogni punto...
Puoi spiegarti meglio newton su questa questione?
no! in quel caso no conviene pensarla come luogo di punti! hai due variabili le cose si fanno complicate qui è meglio dire che ogni punto della curva PV=nrT deve soddisfare quell'equazione...
"lisdap":
Mi piace molto più un 25 che un 30 e lode.
Mettila in firma. E' una buona presentazione. Fidati.
hahahahahahaah
lisdap, PERFETTO. Come hai detto tu stesso, è una palla prendere infinite coppie e vedere a mano se c'è un punto più alto o più basso, e qual'è il valore di tale punto. va bene?
adesso pensa la tua formula come una funzione, scrivendo delle variabili in funzione di altre. Daccordo?
Bene, esiste un teorema di analisi che recita che se io ho una funzione, ne calcolo la derivata prima e questa viene 0 per un dato valore del dominio, e la prossima derivata non nulla calcolata nello stesso punto è positiva, allora in corrispondenza di tale valore ho un massimo. Quindi basta che ti calcoli la f di quel punto, ed ecco che hai trovato il valore massimo della grandezza che ti serviva!
semplice no?
il ppensare quella data relazione come una funzione ti ha permesso di applicare un teorema dell'analisi, e tramite esso a vedere delle cose, delle pproprietà del tuo insieme che prima per vederlo dovevi impazzirci.
Questo è solo un esempio, tu un oggetto lo puoi vedere in tanti modi diversi. Lo vedi come più ti conviene per poter applicare delle proprietà o degli asserti che sai essere per veri. Mi spiego?
adesso pensa la tua formula come una funzione, scrivendo delle variabili in funzione di altre. Daccordo?
Bene, esiste un teorema di analisi che recita che se io ho una funzione, ne calcolo la derivata prima e questa viene 0 per un dato valore del dominio, e la prossima derivata non nulla calcolata nello stesso punto è positiva, allora in corrispondenza di tale valore ho un massimo. Quindi basta che ti calcoli la f di quel punto, ed ecco che hai trovato il valore massimo della grandezza che ti serviva!
semplice no?
il ppensare quella data relazione come una funzione ti ha permesso di applicare un teorema dell'analisi, e tramite esso a vedere delle cose, delle pproprietà del tuo insieme che prima per vederlo dovevi impazzirci.
Questo è solo un esempio, tu un oggetto lo puoi vedere in tanti modi diversi. Lo vedi come più ti conviene per poter applicare delle proprietà o degli asserti che sai essere per veri. Mi spiego?
"newton_1372":
il ppensare quella data relazione come una funzione ti ha permesso di applicare un teorema dell'analisi, e tramite esso a vedere delle cose, delle pproprietà del tuo insieme che prima per vederlo dovevi impazzirci.
Mi piace il tuo pragmatismo newton, anche se la questione non è certamente finita qui!
"Hadronen":
Mettila in firma. E' una buona presentazione. Fidati.
Fatto, contento
?
A parte la solite chiacchiere da bar che amate fare quando si parla di queste cose, non vedo ancora risposta alle questioni poste qui:
Inoltre:
Non ho usato nessun teorema, nè il concetto di funzione o di derivata.
Secondo me voi analisti "dipendete" letteralmente dalle funzioni. E' una specie di droga...
Ora devo andare, più tardi risponderò a tutti coloro che sono intervenuti nella discussione.[/quote]
Ah, vabbé... Ora sono molto più tranquillo, dato che ho ottenuto questa autorevole conferma.
Ma lisdap... Hai approssimato \(\Delta V\) con \(\text{d}V\), eccetera: secondo te questo cos'altro è se non il teorema del differenziale?
Per caso pensi sia un piatto di pasta e patate?
"gugo82":
Come al solito, cosa significa "equazione"?
Cosa significa "risolvere un'equazione"?
Cosa significa "scrivere un'equazione"?
[...]
Che vuol dire "quest'equazione è una funzione"?
Una "equazione" non era solo un mezzo per sintetizzare dei dati?
(Ma poi quanti dati? In numero finito, immagino, perché non possiamo ancora misurare una cosa infinite volte... E ma allora a che ti servono le variabili continue?)
Inoltre:
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Scommetto che non hai usato il teorema del differenziale in quella discussione...
Non ho usato nessun teorema, nè il concetto di funzione o di derivata.
Secondo me voi analisti "dipendete" letteralmente dalle funzioni. E' una specie di droga...
Ora devo andare, più tardi risponderò a tutti coloro che sono intervenuti nella discussione.[/quote]
Ah, vabbé... Ora sono molto più tranquillo, dato che ho ottenuto questa autorevole conferma.
Ma lisdap... Hai approssimato \(\Delta V\) con \(\text{d}V\), eccetera: secondo te questo cos'altro è se non il teorema del differenziale?
Per caso pensi sia un piatto di pasta e patate?
vabbè gugo, in realtà cercavo di rispondere a lisdap, che purtroppo reputa che ancora non sia finita, vabbè.
Volevo piuttosto una tua opinione sul post situato in
Volevo piuttosto una tua opinione sul post situato in
ore 16.22...con l'errata corrige scritta un pò piu avanti
@newton: Il pragmatismo è importante, ed ho apprezzato i tuoi post (seppure contengono diverse inesattezze). Ma passare sopra alcuni errori concettuali seri come quelli che sistematicamente commette lisdap proprio non si può.
Tra le inesattezze, ti segnalo quella più clamorosa: hai sbagliato nel citare il "teorema di Analisi" sulle condizioni sufficienti di estremo:
Per renderti conto dell'errore credo ti basti meditare sul comportamento in \(0\) della funzione \(f(x)=x^3\).
Tra le inesattezze, ti segnalo quella più clamorosa: hai sbagliato nel citare il "teorema di Analisi" sulle condizioni sufficienti di estremo:
"newton_1372":
Bene, esiste un teorema di analisi che recita che se io ho una funzione, ne calcolo la derivata prima e questa viene 0 per un dato valore del dominio, e la prossima derivata non nulla calcolata nello stesso punto è positiva, allora in corrispondenza di tale valore ho un massimo.
Per renderti conto dell'errore credo ti basti meditare sul comportamento in \(0\) della funzione \(f(x)=x^3\).
se non sbaglio quel teorema mi pare il mio prof di analisi lo chiamasse il teorema di fermat aggiungendo non quello famoso.. ahaha è proprio di fermat quel teorema gugo o lo confondo?
Allora, scusate se insisto ma ho l'impressione che ci sia confusione sul concetto di equazione in fisica. Prendiamo una mole di gas ideale monoatomico che compie una trasformazione adiabatica. I libri dicono che vale l'equazione $P=c/V^(5/3)$ (1), dove $c$ è una costante.
Mi rivolgo a Gugo: potresti spiegarmi cosa significa che vale l'equazione (1) e come viene ricavata sperimentalmente?
La risposta la so, ma voglio capire se è la stessa che mi darai tu.
Grazie.
Mi rivolgo a Gugo: potresti spiegarmi cosa significa che vale l'equazione (1) e come viene ricavata sperimentalmente?
La risposta la so, ma voglio capire se è la stessa che mi darai tu.
Grazie.
Lisdap, ti poni in modo un pò irritante, stai attento, ho visto che già altre volte ti hanno trattato per come sembra che il tuo comportamento meriti.
Cmq ci ho meditato, e davvero mi sembra la cosa piu banale del mondo. In un equazione le variabili sono importanti allo stesso modo, non c'è una gerarchia fra di loro. In una funzione invece tu concentri la tua attenzione su una VARIABILE SOLA, quella che a te INTERESSA per scopi pratici. Se ci fosse un'equazione che lega fra loro i migliaia di valori che assumono i titoli azionari in borsa, ti fa comodo scrivere IL TUO titolo in funzione di tutti gli altri. Perchè è il tuo che devi controllare, se il tuo titolo va in negativo tu perdi grana, capisci?
E poi ripeto, l'unico modo che hai per definire delle grandezze PUNTO PER PUNTO è quello di vedere che valore assume quella grandezza nel tuo punto, e, se non lo puoi calcolare direttamente, vederne il limite per x che tende al tuo punto.
Già nell'idea stessa di dare una DEFINIZIONE della tua grandezza, si presuppone già l'idea di funzione: se scrivi
$\rho=M/V$ stai dicendo che per ogni M, per ogni V, esiste una grandezza che chiami $\rho$, detta DENSITA, e la tua $\rho$ varia in funzione di M e V, cioè è una funzione $\rho(M,V)$.
Cmq ci ho meditato, e davvero mi sembra la cosa piu banale del mondo. In un equazione le variabili sono importanti allo stesso modo, non c'è una gerarchia fra di loro. In una funzione invece tu concentri la tua attenzione su una VARIABILE SOLA, quella che a te INTERESSA per scopi pratici. Se ci fosse un'equazione che lega fra loro i migliaia di valori che assumono i titoli azionari in borsa, ti fa comodo scrivere IL TUO titolo in funzione di tutti gli altri. Perchè è il tuo che devi controllare, se il tuo titolo va in negativo tu perdi grana, capisci?
E poi ripeto, l'unico modo che hai per definire delle grandezze PUNTO PER PUNTO è quello di vedere che valore assume quella grandezza nel tuo punto, e, se non lo puoi calcolare direttamente, vederne il limite per x che tende al tuo punto.
Già nell'idea stessa di dare una DEFINIZIONE della tua grandezza, si presuppone già l'idea di funzione: se scrivi
$\rho=M/V$ stai dicendo che per ogni M, per ogni V, esiste una grandezza che chiami $\rho$, detta DENSITA, e la tua $\rho$ varia in funzione di M e V, cioè è una funzione $\rho(M,V)$.
Quindi non vedo dove sta il tuo problema, il concetto di funzione è davvero intuitivo ed elementare, esiste dalla notte dei tempi, fin da quando il cavernicolo nella preistoria ti sbatteva la sua clava in testa perchè gli avevi rubato la sua lancia...perchè nella caverna, per ogni lancia esiste uno e un solo ominide tale che f(lancia)=Asterix.
MI sono lasciato prendere dallo scherzo, ma spero che il concetto insito che ho voluto esprimere sia chiaro...
MI sono lasciato prendere dallo scherzo, ma spero che il concetto insito che ho voluto esprimere sia chiaro...
non è un up, ma ho dimenticato a ripondere su $PV^\gamma$. Non è una legge che ricavi sperimentalmente, o meglio, puoi farlo imbastendo un esperimento, ma io lo lascerei fare ai fisici sperimentali...in realtà le leggi sperimentali sono quelle di boyle, gay-lussac, clapeyron e l'altra. da questa ricavi
$PV=nRT$ (1)
usando questa, e il famoso primo principio della dinamica
$\delta Q=nc_v dT + PdV$ (2)
anche questa è una legge sperimentale. se la trasformazione è adiabatica $dQ=0$. Poi ti trovi T in funzione di P e V e ti calcoli il differenziale, perchè a te serve dT dopo di che integri.
Attenzione: l'equazione di stato dei gas perfetti vale solo se si è in stadio di equilibrio. quindi $PV^\gamma$ è costante SOLO se la trasformazione è reversibile. (e cioè mai, LOL)
$PV=nRT$ (1)
usando questa, e il famoso primo principio della dinamica
$\delta Q=nc_v dT + PdV$ (2)
anche questa è una legge sperimentale. se la trasformazione è adiabatica $dQ=0$. Poi ti trovi T in funzione di P e V e ti calcoli il differenziale, perchè a te serve dT dopo di che integri.
Attenzione: l'equazione di stato dei gas perfetti vale solo se si è in stadio di equilibrio. quindi $PV^\gamma$ è costante SOLO se la trasformazione è reversibile. (e cioè mai, LOL)
"newton_1372":
Non è una legge che ricavi sperimentalmente, o meglio, puoi farlo imbastendo un esperimento, ma io lo lascerei fare ai fisici sperimentali...in realtà le leggi sperimentali sono quelle di boyle, gay-lussac, clapeyron e l'altra
Ok, allora prendiamo la legge di Boyle $P=k/V$, $k in RR$.
Mi dici tutti i passaggi e i ragionamenti che hanno condotto a questa equazione?
Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando
(anche se i miei interventi potranno sembrare irritanti, in realtà non è così 
).Perchè ho fatto questa domanda? Perchè voglio innanzitutto capire se sul modo attraverso il quale si arriva a scrivere un'equazione fisica siamo della stessa opinione.
l'esperimento pratico non è che lo ricordi, ma non è difficile da intuire. si prende un gas, lo si mette dentro un recipiente, con un barometro che misura la pressione. il recipiente lo chiudiamo con un pistone. applichiamo una forza al pistone in modo da tenere il pistone bloccato, fermo a determinati volumi prestabiliti, e misuriamo la pressione. prendiamo un 30 di questi dati, li mettiamo in un grafico, e otteniamo tanttissimi punti sparsi ma che comunque si raccolgono intorno a una curva centrale. ci sembra che sia un'iperbole...allora col metodo del $\Chi^2$ fittiamo questi punti ottenuti, ottenendo una funzione del tipo $P=1/V k$ (ci trviamo cioè k in modo da minimizzare gli errori). Dopodiche ccontrolliamo che questa curva descriva i dati sperimentali abbastanza bene. Si fa il test del chi quadro, e se questo test risponde bene, prendiamo per vera la formula $P=1/V k$.
"newton_1372":
l'esperimento pratico non è che lo ricordi, ma non è difficile da intuire. si prende un gas, lo si mette dentro un recipiente, con un barometro che misura la pressione. il recipiente lo chiudiamo con un pistone. applichiamo una forza al pistone in modo da tenere il pistone bloccato, fermo a determinati volumi prestabiliti, e misuriamo la pressione. prendiamo un 30 di questi dati, li mettiamo in un grafico, e otteniamo tanttissimi punti sparsi ma che comunque si raccolgono intorno a una curva centrale.
Perfetto.
"newton_1372":
...allora col metodo del $\Chi^2$ fittiamo questi punti ottenuti, ottenendo una funzione del tipo $P=1/V k$ (ci trviamo cioè k in modo da minimizzare gli errori). Dopodiche ccontrolliamo che questa curva descriva i dati sperimentali abbastanza bene. Si fa il test del chi quadro, e se questo test risponde bene, prendiamo per vera la formula $P=1/V k$.
Beh, qui io ho un'opinione leggermente diversa dalla tua. Innanzitutto ti dico che non ho studiato statistica e non so cosa sia il test del chi quadro. Comunque, una volta che abbiamo ottenuto per il nostro gas trenta coppie pressione-volume, la domanda spontanea non è chiedersi: quale equazione queste coppie soddisfano?
Grazie.
NO. E per due motivi.
non puoi effettuare misure prive di incertezza, non solo perchè non esistono degli strumenti a precisione infinita, ma anche perchè ogni fenomeno fisico e soggetto a un indeterminazione quantistica (eisenberg). è vero che questo influisce solo su scala atomica, ma in ogni caso la misura è sempre soggetta a errori. Quindi quello che tu sperimentalmente trovi è un insieme di punti "alla rinfusa" ma che si raccolgono piu o meno attorno a un valore centrale. Non troverai un equazione che descriva perfettamente l'insieme dei punti che hai preso, e anche se la trovassi, stai pur certo che se fai altre 30 misure troverai un'equazione diversa. L'unica cosa sensata che puoi fare è cercare di vedere come si comporta la tua variabile in funzione dell'altra...cioè cerchi la curva che piu si avvicina ai tuoi dati sperimentali... un test oggettivo come quello del chi quadro ti dice poi quanto la tua legge descrive bene i punti sperimentali...
non puoi effettuare misure prive di incertezza, non solo perchè non esistono degli strumenti a precisione infinita, ma anche perchè ogni fenomeno fisico e soggetto a un indeterminazione quantistica (eisenberg). è vero che questo influisce solo su scala atomica, ma in ogni caso la misura è sempre soggetta a errori. Quindi quello che tu sperimentalmente trovi è un insieme di punti "alla rinfusa" ma che si raccolgono piu o meno attorno a un valore centrale. Non troverai un equazione che descriva perfettamente l'insieme dei punti che hai preso, e anche se la trovassi, stai pur certo che se fai altre 30 misure troverai un'equazione diversa. L'unica cosa sensata che puoi fare è cercare di vedere come si comporta la tua variabile in funzione dell'altra...cioè cerchi la curva che piu si avvicina ai tuoi dati sperimentali... un test oggettivo come quello del chi quadro ti dice poi quanto la tua legge descrive bene i punti sperimentali...
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