L'utilità del pensare equazioni fisico/geomet. come funzioni
Consideriamo una linea nello spazio e rappresentiamola tramite le tre equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ (1), $t in [a,b]$. Il sistema (1) di tre equazioni può essere pensato come una legge che associa ad ogni elemento di $[a,b]$ un'unica terna di numeri reali, cioè è una funzione $RR->RR^3$. Cosa ho ottenuto di concreto facendo questa osservazione? Che vantaggi ottengo introducendo in questo caso il concetto di funzione? Perchè si è sentita la necessità di vedere il sistema (1) come una funzione $RR->RR^3$? Se non si è capito, continuo a non comprendere l'utilità del concetto di funzione (se un'utilità la ha).
Grazie.
Grazie.
Risposte
Premttendo che mi sento molto vicino al modo di pensare di lisdap e non posso chiarire quello che chiedi, volevo dirti che il pensare l'equazione, ad esempio dei gas che hai citato, come funzione, ti esplicita il fatto che una grandezza "dipende" da un'altra, ovvero al variare di alcune grandezze (temperatura ad esempio) variano le altre o l'altra. Credo quindi che la parola chiave in tutto il discorso sia proprio "dipende"; parola che credo sfugga se vedi le uguaglianze solo come equazioni, ovvero semplicisticamente solo come "primo membro = secondo membro". In questo senso mi viene da pensare che il concetto di equazione nuda e cruda sia una cosa statica, mentre la funzione mi sembra una cosa dinamica;
Poi un'altra cosa: le equazioni "viste" come funzioni ti permettono di graficarle, investigare su altre proprietà, derivarle, integrarle, ricercare massimi, minimi, etc.. Tutte cose "matematiche" ma che traducono in simboli le relazioni naturali esistenti. Potresti fare tutte queste cose se le vedi solo come equazioni?
P.S. Mi scuso con i matematici se il mio linguaggio è tutt'altro che scientifico.
Poi un'altra cosa: le equazioni "viste" come funzioni ti permettono di graficarle, investigare su altre proprietà, derivarle, integrarle, ricercare massimi, minimi, etc.. Tutte cose "matematiche" ma che traducono in simboli le relazioni naturali esistenti. Potresti fare tutte queste cose se le vedi solo come equazioni?
P.S. Mi scuso con i matematici se il mio linguaggio è tutt'altro che scientifico.
quoto completamente jojo.il passo avanti è che dal notare che c'è un legame matematico tra varie variabili e grandezze, si passa al poter conoscere il valore di una variabile particolare supponendo le altre note. Questo è proprio, penso, il fine ultimo delle scienze esatte: poter scrivere una grandezza come f(grandezze note) permette di trovare il valore di quella grandezza PER OGNI combinazione di valori delle variabili note. Questo le da una caratteristica che trovo affascinantissima: la predittività. dal fatto che so che esiste una
$x(t)=f(t)$
dato un qualunque istante di tempo (anche futuro!) io sono in grado di determinarmi l'esatta posizione dell'oggetto che sto esaminando.
vorrei aggiungere una piccola riflessione la cui correzione lascio ai piu esperti.
Le funzioni sono inoltre oggetti molto particolari ed eleganti, e li posso pensare immersi in uno spazio vettoriale infinitamente generato. ovvero una qualunque funzione posso scriverla come combinazione lineare di funzioni generatrici...quindi se penso quelle relazioni come delle funzioni, ho tutte le belle "proprietà" che eredito dagli spazi vettoriali (si chiamano "spazi funzionali" mi pare...)
ricordo di aver letto questa cosa, non vorrei aver frainteso tutto, attendo chi ne sa più di me.
P.S. Riguardo agli oggetti che elencavi, rette, coniche, quadriche, piani....essi (a voler stringare molto) non sono altro che insiemi di punti di $R^N$. Facciamo così. Sia ${Q\subset R^N}$. ora hai un semplice insieme di vettori di $R^N$. non ci fai nulla. Ora fa un piccolo salto logico: per ogni n-1 reali ordinati $a_1,a_2,\cdots,a_(n-1)$, esisterà un ennesimo numero reale $a_n$ tale che $(a_1,a_2,\cdots,a_(n-1), a_n)\in\Q$.
Il mio insieme Q di partenza sarà anche il grafico della seguente applicazione
$f:R^{n-1}\mapsto \R$
$ f((a_1),(a_2),(\vdots),(a_(n-1)))=a_n$
Bene, adesso ammettiamo che Q sia un insieme compatto (cioè limitato e che contiene tutti i suoi punti di accumulazione). Per Weierstrass dedurresti che ESISTE max f(R^n-1), ovvero che esisteranno n-1 particolari $a_i$ tale che $a_n$ è il massimo.
Se non avessi visto Q come applicazione non avresti mai potuto conseguire questo risultato. E' una cosa ben generalizzabile: dall'analisi hai tantissimi teoremi e proprietà sulle funzioni. Lo sforzo di pensare un insieme come il grafico di un'applicazione è dunque più che fruttuoso...
$x(t)=f(t)$
dato un qualunque istante di tempo (anche futuro!) io sono in grado di determinarmi l'esatta posizione dell'oggetto che sto esaminando.
vorrei aggiungere una piccola riflessione la cui correzione lascio ai piu esperti.
Le funzioni sono inoltre oggetti molto particolari ed eleganti, e li posso pensare immersi in uno spazio vettoriale infinitamente generato. ovvero una qualunque funzione posso scriverla come combinazione lineare di funzioni generatrici...quindi se penso quelle relazioni come delle funzioni, ho tutte le belle "proprietà" che eredito dagli spazi vettoriali (si chiamano "spazi funzionali" mi pare...)
ricordo di aver letto questa cosa, non vorrei aver frainteso tutto, attendo chi ne sa più di me.
P.S. Riguardo agli oggetti che elencavi, rette, coniche, quadriche, piani....essi (a voler stringare molto) non sono altro che insiemi di punti di $R^N$. Facciamo così. Sia ${Q\subset R^N}$. ora hai un semplice insieme di vettori di $R^N$. non ci fai nulla. Ora fa un piccolo salto logico: per ogni n-1 reali ordinati $a_1,a_2,\cdots,a_(n-1)$, esisterà un ennesimo numero reale $a_n$ tale che $(a_1,a_2,\cdots,a_(n-1), a_n)\in\Q$.
Il mio insieme Q di partenza sarà anche il grafico della seguente applicazione
$f:R^{n-1}\mapsto \R$
$ f((a_1),(a_2),(\vdots),(a_(n-1)))=a_n$
Bene, adesso ammettiamo che Q sia un insieme compatto (cioè limitato e che contiene tutti i suoi punti di accumulazione). Per Weierstrass dedurresti che ESISTE max f(R^n-1), ovvero che esisteranno n-1 particolari $a_i$ tale che $a_n$ è il massimo.
Se non avessi visto Q come applicazione non avresti mai potuto conseguire questo risultato. E' una cosa ben generalizzabile: dall'analisi hai tantissimi teoremi e proprietà sulle funzioni. Lo sforzo di pensare un insieme come il grafico di un'applicazione è dunque più che fruttuoso...
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Ancora non hai capito la differenza tra funzione ed equazione?
Ne stiamo parlando da quattro mesi credo...
Non ho capito a cosa mi serve sapere che l'equazione fisica $s=1/2 g*t^2$ ($g$ numero) è una funzione di una variabile. $s=1/2 g*t^2$ è un'equazione fisica, ammette certe soluzioni e descrive un certo fenomeno sperimentale. Osservare che è anche una legge che associa a un entrata un'uscita non capisco quale grande passo in avanti rappresenti.[/quote]
Scusa se insisto, lisdap, ma sei serio?
Prendiamo l'esempio più banale del mondo.
Se hai studiato Fisica I, sai certamente che le varie caratteristiche cinematiche di un moto sono legate alla sua legge oraria, i.e. alla funzione che descrive lo spazio in funzione del tempo.
In particolare, se lo spazio percorso da un "punto materiale" è espresso mediante la funzione \(f:[0,T]\to \mathbb{R}^3\) regolare, allora la velocità istantanea del punto e la sua accelerazione coincidono con le derivate prima e seconda di \(f\).
Inoltre, sai che le caratteristiche dinamiche di un moto sono legate a quelle cinematiche mediante i principi di Newton; in particolare le cause del moto, i.e. le forze, sono direttamente proporzionali alla sua accelerazione.
Ciò importa che è possibile descrivere completamente il moto di un punto materiale nello spazio mediante equazioni differenziali ordinarie.*
Cosa consente di fare ciò?
Beh, ad esempio, se sei nel vuoto ed in dimensioni "piccole", le equazioni differenziali ti consentono di dire che due corpi qualsiasi (e.g., una piuma d'oca ed una sfera di ferro di 5 chili) lasciati cadere nello stesso istante e soggetti alla stessa gravità, toccano terra contemporaneamente perché hanno la stessa legge oraria.
Questo Aristotele, il massimo filosofo (e quindi fisico) dell'antichità, non lo sapeva; e perciò non lo sapeva nessuno fino agli studi di Galileo (i quali furono resi in maniera teoricamente più completa da Newton nei suddetti Principia).
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Secondo te perché la scienza è progredita più speditamente negli ultimi quattro secoli rispetto ai precedenti tre millenni e mezzo?
In altre parole, basta confrontare le condizioni della Fisica prima e dopo i Principia Mathematica Philosophiae Naturalis di Newton per rendersi conto della "utilità pratica" del concetto di funzione.
Per l'ennesimavolta, non lo so. Tu sei il classico matematico (quindi devi esserne fiero, sei un matematico vero): dici che la risposta è palese, è evidente, è sotto gli occhi di tutti, che anche un non vedente la vedrebbe, però poi non la dici mai.
Visto che la risposta è tanto facile (a detta tua), allora perchè non la scrivi? Fai un opera di bene nei miei confronti e mi eviti ulteriori riflessioni.[/quote]
L'ho appena scritta, quindi puoi evitare ulteriori riflessioni.
(E, tra parentesi, è una cosa su cui avresti dovuto già meditare per conto tuo studiando Fisica I.)
"lisdap":
Su internet leggo, a proposito delle funzioni di più variabili a valori vettoriali:
"Molti oggetti fisici, geometrici, ecc. sono rappresentati da questi strumenti matematici." Ma secondo me è sbagliato. Oggetti geometrici quali superfici, piani, linee curve, oggetti fisici quali campi vettoriali ecc. sono tutti rappresentati per mezzo di equazioni e sistemi di equazioni. Ad esempio, un campo vettoriale spaziale è rappresentato dal sistema di equazioni $a=a(x,y,z), b=b(x,y,z), c=c(x,y,z)$. Come ho già detto sopra, questo sistema di equazioni può essere visto come una funzione da $RR^3$ a $RR^3$ (e ciò è evidente dalla definizione di funzione quale legge). Ignorando però l'ultima affermazione (e cioè ignorando il concetto di funzione) non vedo cosa ci perdo.
Ed io non vedo cosa ci guadagni.
Spiegalo.
Ma comunque il problema di fondo è che tu usi una definizione di "equazione" che non significa nulla (è presa da WIKIpedia, santo iddio!!!).
"lisdap":
Insomma, io quello di funzione non lo vedo come un concetto "naturale", "spontaneo", del quale non se ne può fare a meno.
Ma infatti nessuno ha mai detto che sia "naturale": infatti ci sono voluti più di duemila anni per elaborare questo concetto ed applicarlo alle scienze.
Quello che stupisce è che tu ancora non capisca quanto questo "marchingegno" sia importante (nonostante tutti i tuoi studi universitari siano rivolti a questo) e che per te non sia ancora diventato "naturale" e "spontaneo".
Ad esempio, già hai avuto a che fare con la cinematica e la dinamica del punto e del corpo rigido, nonché con la termodinamica e la trasmissione del calore; presto o tardi avrai a che fare con la meccanica delle vibrazioni, le costruzioni, etc... Tutta roba in cui regna incontrastata l'applicazione della Matematica, e soprattutto del concetto di funzione, alla descrizione dei fenomeni fisici ed alla previsione del loro svolgersi nel tempo!
Quindi, a questo punto dei tuoi studi, non mi puoi venire a chiedere: "Ma a cosa servono le funzioni?"... A meno che tu non voglia farmi credere che davvero non hai capito nulla di ciò che hai studiato finora.
__________
* Nel caso in esame, l'equazione è del secondo ordine; tuttavia, nella descrizione di alcuni fenomeni fisici -vedi, l'accartocciamento di una lamina pinzata al bordo- si arriva ad equazioni a derivate parziali anche al quarto ordine.
gugo vorrei qualche opinione su quanto ho scritto nel mio precedente post...ci tengo:D
Errata Corrige post precedente: non è affatto vero che dati n-1 reali esiste un ennesimo tale che la lista appartiene a Q: ciò sarebbe vero solo se Q=R^n. Ma il problema si risolve facilmente pensando la f non definita su tutto $R^(n-1)$, bensì su un suo sottoinsieme $J\subset R^(n-1)$ che rappresenta il dominio della f stessa. J sarebbe l'insieme delle n-1uple tale che esiste un $a_n\in\R$ tale che la lista $(a_1,a_2,\cdots a_n)\in\Q$.
Altra rettifica:Non deve essere Q ad essere compatto per valere weierstrass, bensì J.
Errata Corrige post precedente: non è affatto vero che dati n-1 reali esiste un ennesimo tale che la lista appartiene a Q: ciò sarebbe vero solo se Q=R^n. Ma il problema si risolve facilmente pensando la f non definita su tutto $R^(n-1)$, bensì su un suo sottoinsieme $J\subset R^(n-1)$ che rappresenta il dominio della f stessa. J sarebbe l'insieme delle n-1uple tale che esiste un $a_n\in\R$ tale che la lista $(a_1,a_2,\cdots a_n)\in\Q$.
Altra rettifica:Non deve essere Q ad essere compatto per valere weierstrass, bensì J.
"gugo82":
Scusa se insisto, lisdap, ma sei serio?
Si che sono serio
"gugo82":
Prendiamo l'esempio più banale del mondo.
Se hai studiato Fisica I
Si, ho studiato Fisica 1 e l'ho passata anche con un voto alto...
"gugo82":
sai certamente che le varie caratteristiche cinematiche di un moto sono legate alla sua legge oraria, i.e. alla funzione che descrive lo spazio in funzione del tempo.
QUi però tu già mi parli di funzione. Che cos'è la legge oraria? La legge oraria è un'equazione che lega la posizione di un punto materiale in movimento con il tempo. Come si ricava questa equazione? Si ricava facendo misure di posizione e di tempo per tutto l'intervallo di studio del fenomeno; si ottengono quindi delle coppie di valori e ci si chiede quale equazione tali coppie soddisfano. L'equazione è la legge oraria. Tu già mi parli di funzione, che è un concetto successivo. La legge oraria è un'equazione vettoriale con due incognite, il tempo e la posizione. E poi usi l'espressione "spazio in funzione del tempo"? E che significa? Niente!
"gugo82":La velocità è una grandezza fisica derivata definita come il rapporto tra una lunghezza e un tempo. Fine. La derivata della funzione "legge oraria" è già un concetto più approfondito e di cui se ne può fare a meno (tant'è che la velocità istantanea si può definire come il rapporto tra una piccola lunghezza e un piccolo tempo, senza invocare la definizione di funzione, di derivata, di limite di rapporto incrementale ecc...)
allora la velocità istantanea del punto e la sua accelerazione coincidono con le derivate prima e seconda di \(f\).
"gugo82":
Cosa consente di fare ciò?
Beh, ad esempio, se sei nel vuoto ed in dimensioni "piccole", le equazioni differenziali ti consentono di dire che due corpi qualsiasi (e.g., una piuma d'oca ed una sfera di ferro di 5 chili) lasciati cadere nello stesso istante e soggetti alla stessa gravità, toccano terra contemporaneamente perché hanno la stessa legge oraria
Equazioni differenziali? Ma se non ho capito l'utilità del concetto di funzione perchè mi parli di equazioni differenziali?
"gugo82":
Ma comunque il problema di fondo è che tu usi una definizione di "equazione" che non significa nulla (è presa da WIKIpedia, santo iddio!!!).
Bene, allora risolviamo questo problema di fondo. Nella fisica l'equazione la vedo come uno strumento per "sintetizzare" certi fatti sperimentali. Non va bene?
"lisdap":
Quello che stupisce è che tu ancora non capisca quanto questo "marchingegno" sia importante (nonostante tutti i tuoi studi universitari siano rivolti a questo) e che per te non sia ancora diventato "naturale" e "spontaneo".
Ad esempio, già hai avuto a che fare con la cinematica e la dinamica del punto e del corpo rigido, nonché con la termodinamica e la trasmissione del calore
Ma per studiare la Termodinamica o la trasmissione del calore il concetto di funzione non è assolutamente necessario. L'unico oggetto matematico di cui ci si serve nella fisica 1, 2 e tecnica è l'equazione. Vedi ad esempio il mio post sulla differenziazione dell'equazione di stato dei gas perfetti:
differenziare-l-equazione-di-stato-che-significa-t97358.html
Come puoi vedere alla fine, il ragionamento che ho fatto è impeccabile (a detta di baldo89, studente di Fisica nonchè laureato), e non ho minimamente parlato di funzioni, di derivate ecc..
In ogni caso, tu non mi hai ancora risposto alla domanda: "data l'equazione della retta $y=mx+q$, cosa ci guadagno osservando che questa equazione è una funzione...?"
lisdap leggi i miei due post precedenti
"newton_1372":
Questo le da una caratteristica che trovo affascinantissima: la predittività. dal fatto che so che esiste una
$x(t)=f(t)$
dato un qualunque istante di tempo (anche futuro!) io sono in grado di determinarmi l'esatta posizione dell'oggetto che sto esaminando.
Si, m questo fatto è insito già nell'equazione stessa. Se il comportamento di un gas perfetto è regolato dall'equazione $PV=nRT$, e io del gas conosco $n, R, T, P$, allora risolvendo l'equazione mi posso calcolare il volume. E questo senza dover parlare di funzioni!
A me il concetto di funzione non convince, lo vedo una forzatura. Avrà anche la sua bellezza matematica ma, nella fisica e nelle applicazioni, non ne colgo il senso.
ti ho mostrato nel mio post precedente che se vedi un insieme di punti come il grafico di una funzione, sei in grado di applicare al tuo insieme tutte le proprietà e i teoremi dell''analisi, come weierstrass ma era solo un esempio. inoltre data la velocità di un punto, e comodissimo saper calcolare la posizione tramite un integrazione, e l'integrale è definito su una funzione...
insomma, l'equazione definisce un insieme di punti. tramite la funzione tu ti chiedi: dato un determinato valore x della variabile, qual è quel valore di y tale che il punto (x,y) soddisfa la mia equazione? per gli scopi pratici è questo che ti serve...
insomma, l'equazione definisce un insieme di punti. tramite la funzione tu ti chiedi: dato un determinato valore x della variabile, qual è quel valore di y tale che il punto (x,y) soddisfa la mia equazione? per gli scopi pratici è questo che ti serve...
scusa ma mi interessa questo argomento e vorrei provare a dire la mia forse ciò che dirò è roba già sentita,cmq provo a risponderti per come la vedo io... l'espressione y=mx+q può essere letta come una funzione in cui mi immagino di avere una macchina in cui digito x e lui moltiplica x per m e somma q questa roba che esce è l'output della funzione torna no? quindi andando a vedere sul piano cartesiano troviamo una retta infinita di di punti che rispondono a questa legge posso leggerla invece come una equazione ma non è proprio un equazione ma una condizione che DEVE essere verificata e ovvero y-mx-q=0 ok? ora quali sono i punti che verificano questa condizione tutti i punti su una retta appunto la cui tangente..... ma non è questo l'importante bensì che uno è una funzione e infatti può essere letta come y(x)=mx+q cioè quella y stà a indicarmi dove stà l'output e qual'è l'imput se avessi un asse y invece che ortogonale rispetto all'asse x i punti prenderebbero una diversa strada cosa ci guadagni a dire che è una funzione?dipende cosa vuoi farci una retta nulla ma una espressione del tipo y=cos(x) puoi trovarti i punti di massimo tramite derivazione pensa se mi mettessi a cercare le coppie che verificano y-cos(x)=0 ! la funzione diciamo ti dice la stessa cosa in modo più preciso prendi un corpo si muove con la legge y(t)=cos(t) bhe cosa stò dicendo stò dicendo tutto sul suo moto,dico all'istante (t) il corpo si trova a (y) se ti dicessi un corpo si muove soddisfando la legge y-cos(t)=0 capisci che è la stessa cosa? soltanto detto in modo molto più ingarbugliato? per quanto riguarda il PV=nRT si parla di più variabili quindi la cosa è un'pò diversa ricavandoti una variabile avresti P(V,R,T)=.... qui parlare di funzione non conviene... meglio tornare all'altra definizione..cmq capisci che entrambe descrivono gli stessi punti nel piano sono soltanto due modi di vedere le cose non capisci il concetto di funzione in s(t)=1/2gt^2 scusa ma non resisto a scrivere s(t) XD allora dimmi lo spazio percorso da un corpo che parte fermo e accellera con un accelerazione g per 3 secondi per poi fermarsi.questo risponde alla tua domanda?
andrebbe rivista un pò l'ortografia...comunque il tuo nick calza a pennello in questa discussione psycho...ahaha
tornando a noi, mr hide voleva dire che puoi vedere questo maledetto insieme di punti (nel nostro caso, la retta di equazione $y=mx+q$) come il grafico di una macchinetta che tu gli dai in pasto la x e lei ti restituisce uno e un solo valore della y.
perchè lo fai? beh ovvio, ti piacerebbe per esempio sapere qual'è il punto della x in cui la curva ha un massimo (nel caso di funzioni a piu variabili, come l'eq. di stato dei gas perfetti, sapere come ottenere la massima temperatura variando opportunamente P e V)...e cosa vuoi usare? la proprietà che in punti di massimo e minimo la derivata fa 0...ma la derivata è definita per una funzione! se volessi risolvere il problema del trovare il massimo valore che la y può assumere al variare di x, come procederesti partendo dal tuo "oggetto" che chiami equazione "y=mx+q"?
Altra cosa riguardo alla velocità o l'accelerazione.
La velocità che tu definisci lunghezza/tempo è la velocità media, essa non ti fornisce un informazione esatta punto per punto. se vuoi sapere che velocità ha l'oggetto nel punto $\vec r_0=(x,y)$ non puoi far altro che procedere così
$\lim_{t\to t_0} (\vec r -\vec r_0)/(t-t_0)$
Il limite è definito su una funzione...e quella lì è nient''altro che la derivata di r in dt...ergo, senza il concetto di funzione non potresti definire la velocità ESATTA di un corpo in un punto, ma solo una velocità media in un intervallo (piccolissimo ma non infinitesimo)
tornando a noi, mr hide voleva dire che puoi vedere questo maledetto insieme di punti (nel nostro caso, la retta di equazione $y=mx+q$) come il grafico di una macchinetta che tu gli dai in pasto la x e lei ti restituisce uno e un solo valore della y.
perchè lo fai? beh ovvio, ti piacerebbe per esempio sapere qual'è il punto della x in cui la curva ha un massimo (nel caso di funzioni a piu variabili, come l'eq. di stato dei gas perfetti, sapere come ottenere la massima temperatura variando opportunamente P e V)...e cosa vuoi usare? la proprietà che in punti di massimo e minimo la derivata fa 0...ma la derivata è definita per una funzione! se volessi risolvere il problema del trovare il massimo valore che la y può assumere al variare di x, come procederesti partendo dal tuo "oggetto" che chiami equazione "y=mx+q"?
Altra cosa riguardo alla velocità o l'accelerazione.
La velocità che tu definisci lunghezza/tempo è la velocità media, essa non ti fornisce un informazione esatta punto per punto. se vuoi sapere che velocità ha l'oggetto nel punto $\vec r_0=(x,y)$ non puoi far altro che procedere così
$\lim_{t\to t_0} (\vec r -\vec r_0)/(t-t_0)$
Il limite è definito su una funzione...e quella lì è nient''altro che la derivata di r in dt...ergo, senza il concetto di funzione non potresti definire la velocità ESATTA di un corpo in un punto, ma solo una velocità media in un intervallo (piccolissimo ma non infinitesimo)
esatto è proprio questo il punto...trall'altro lisdap ho letto alcuni tuoi post sul dx e quelle robe li anche per quello mi piacerebbe dirti la mia visto che ci ho pensato un'pò e sono arrivato ad una conclusione interessante,cmq spero tu abbia tratto qualcosa dal mio lungo poema
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Scusa se insisto, lisdap, ma sei serio?
Si che sono serio
"gugo82":
Prendiamo l'esempio più banale del mondo.
Se hai studiato Fisica I
Si, ho studiato Fisica 1 e l'ho passata anche con un voto alto...
"gugo82":
sai certamente che le varie caratteristiche cinematiche di un moto sono legate alla sua legge oraria, i.e. alla funzione che descrive lo spazio in funzione del tempo.
Qui però tu già mi parli di funzione. Che cos'è la legge oraria? La legge oraria è un'equazione che lega la posizione di un punto materiale in movimento con il tempo.[/quote]
La legge oraria è la funzione che descrive la posizione al variare del tempo... Cfr. qui (noto con ilarità che quando WIKI dà una definizione corretta, tu non la prendi nemmeno in considerazione
)."lisdap":
Come si ricava questa equazione? Si ricava facendo misure di posizione e di tempo per tutto l'intervallo di studio del fenomeno; si ottengono quindi delle coppie di valori e ci si chiede quale equazione tali coppie soddisfano. L'equazione è la legge oraria. Tu già mi parli di funzione, che è un concetto successivo. La legge oraria è un'equazione vettoriale con due incognite, il tempo e la posizione. E poi usi l'espressione "spazio in funzione del tempo"? E che significa? Niente!
Come al solito, cosa significa "equazione"?
Cosa significa "risolvere un'equazione"?
Cosa significa "scrivere un'equazione"?
Per me, un'equazione è quello che ti ho detto in altri luoghi (anche se generalizzazioni sono possibili per includere altri casi importanti) usando una definizione abbastanza chiara e pulita; in particolare, la mia definizione di equazione si basa su quella di funzione che è preesistente.
"lisdap":La velocità è una grandezza fisica derivata definita come il rapporto tra una lunghezza e un tempo. Fine. La derivata della funzione "legge oraria" è già un concetto più approfondito e di cui se ne può fare a meno (tant'è che la velocità istantanea si può definire come il rapporto tra una piccola lunghezza e un piccolo tempo, senza invocare la definizione di funzione, di derivata, di limite di rapporto incrementale ecc...)[/quote]
[quote="gugo82"]allora la velocità istantanea del punto e la sua accelerazione coincidono con le derivate prima e seconda di \(f\).
Lisdap, famo a capisse.
Vuoi fare un discorso di livello universitario, o vuoi che ti parli come farei con un bimbo di dieci anni (al quale può andar bene che la velocità sia sempre definita come un rapporto di spazio percorso su tempo impiegato)?
Sinceramente, se vuoi abbassare in questo modo il livello, ti lascio andare per la tua strada e ti auguro che qualcuno ti segua (casomai spostando tutto nella stanza Scuola Secondaria di I grado).
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Cosa consente di fare ciò?
Beh, ad esempio, se sei nel vuoto ed in dimensioni "piccole", le equazioni differenziali ti consentono di dire che due corpi qualsiasi (e.g., una piuma d'oca ed una sfera di ferro di 5 chili) lasciati cadere nello stesso istante e soggetti alla stessa gravità, toccano terra contemporaneamente perché hanno la stessa legge oraria
Equazioni differenziali? Ma se non ho capito l'utilità del concetto di funzione perchè mi parli di equazioni differenziali?[/quote]
Perché la bontà di un'idea, nella scienza, si misura a posteriori sulla base delle deduzioni sul mondo che consente di fare.
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Ma comunque il problema di fondo è che tu usi una definizione di "equazione" che non significa nulla (è presa da WIKIpedia, santo iddio!!!).
Bene, allora risolviamo questo problema di fondo. Nella fisica l'equazione la vedo come uno strumento per "sintetizzare" certi fatti sperimentali. Non va bene? [/quote]
E che vuol dire?
Io non ti sto chiedendo un'opinione, ma una definizione.
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Quello che stupisce è che tu ancora non capisca quanto questo "marchingegno" sia importante (nonostante tutti i tuoi studi universitari siano rivolti a questo) e che per te non sia ancora diventato "naturale" e "spontaneo".
Ad esempio, già hai avuto a che fare con la cinematica e la dinamica del punto e del corpo rigido, nonché con la termodinamica e la trasmissione del calore
Ma per studiare la Termodinamica o la trasmissione del calore il concetto di funzione non è assolutamente necessario. L'unico oggetto matematico di cui ci si serve nella fisica 1, 2 e tecnica è l'equazione.[/quote]
Come al solito, scambi delle scorciatoie manuali con la teoria che c'è dietro... Succedeva coi differenziali, succede adesso.
Non sei maturato affatto nel frattempo.
"lisdap":
Vedi ad esempio il mio post sulla differenziazione dell'equazione di stato dei gas perfetti:
https://www.matematicamente.it/forum/dif ... 97358.html
Come puoi vedere alla fine, il ragionamento che ho fatto è impeccabile (a detta di baldo89, studente di Fisica nonchè laureato), e non ho minimamente parlato di funzioni, di derivate ecc..
Ah, no?
Scommetto che non hai usato il teorema del differenziale in quella discussione...
"lisdap":
In ogni caso, tu non mi hai ancora risposto alla domanda: "data l'equazione della retta $y=mx+q$, cosa ci guadagno osservando che questa equazione è una funzione...?"
Non ti ho risposto perché la domanda non ha senso così com'è posta.
Che vuol dire "l'equazione è una funzione"?
Una "equazione" non era solo un mezzo per sintetizzare dei dati?
(Ma poi quanti dati? In numero finito, scommetto, perché non possiamo ancora misurare una cosa infinite volte... E ma allora a che ti servono le variabili continue?)
Aggiungo una cosa sulla velocità.
Mah, io non ho dato Fisica, però direi che la velocità è una grandezza fisica e aggiungerei vettoriale, pertanto è ben definita quando sono note modulo, direzione e verso e tutto ciò non me lo dice il rapporto fra la lunghezza e il tempo, credo. Poi ripeto, non ho dato Fisica, quindi che qualcuno mi corregga.
"lisdap":
La velocità è una grandezza fisica derivata definita come il rapporto tra una lunghezza e un tempo. Fine.
Mah, io non ho dato Fisica, però direi che la velocità è una grandezza fisica e aggiungerei vettoriale, pertanto è ben definita quando sono note modulo, direzione e verso e tutto ciò non me lo dice il rapporto fra la lunghezza e il tempo, credo. Poi ripeto, non ho dato Fisica, quindi che qualcuno mi corregga.
@psycho92:
Per favore, se hai un po' di pietà, non riesumare quella discussione.
@newton_1372: Appena ho un po' di tempo, dò un'occhiata e ti dico.
"psycho92":
tra l'altro lisdap ho letto alcuni tuoi post sul dx e quelle robe li anche per quello mi piacerebbe dirti la mia visto che ci ho pensato un'pò e sono arrivato ad una conclusione interessante
Per favore, se hai un po' di pietà, non riesumare quella discussione.
@newton_1372: Appena ho un po' di tempo, dò un'occhiata e ti dico.
in modo sintentico sarebbe il limite del rapporto incrementale dei vettori posizione ovviamente l'asse x diventa l'asse t cioè tempo... in modo più semplice come piace a me... la velocità scalare è una funzione ottenuta derivando rispetto al tempo la funzione x(t)
"gugo82":
Scommetto che non hai usato il teorema del differenziale in quella discussione...
Non ho usato nessun teorema, nè il concetto di funzione o di derivata.
Secondo me voi analisti "dipendete" letteralmente dalle funzioni. E' una specie di droga...
Ora devo andare, più tardi risponderò a tutti coloro che sono intervenuti nella discussione.
ma è l'unico modo possibile se vuoi qualcosa di definito "punto per punto"...non hai altra scelta che associare ad ogni punto dello spazio un valore che chiamo posizione, o velocità...nel concetto di funzione c'è insito il fatto che la grandezza è definita per ogni punto...
"lisdap":
Secondo me voi analisti "dipendete" letteralmente dalle funzioni. E' una specie di droga...
Beh in un certo senso questo è pure vero.
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Disclaimer: Questo post non significa assolutamente che io avalli in qualche modo le tue elucubrazioni, che continuo a ritenere inutili seghe mentali. Aggiungo che, se tu dedicassi metà del tempo e delle energie che dissipi in questo modo a studiare e fare esercizi, prenderesti tutti 30 agli esami e capiresti molto meglio la fisica e l'ingegneria.
"dissonance":
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Disclaimer: Questo post non significa assolutamente che io avalli in qualche modo le tue elucubrazioni, che continuo a ritenere inutili seghe mentali. Aggiungo che, se tu dedicassi metà del tempo e delle energie che dissipi in questo modo a studiare e fare esercizi, prenderesti tutti 30 agli esami e capiresti molto meglio la fisica e l'ingegneria.
Ma io non voglio prendere tutti 30, né laurearmi con il massimo dei voti
Mi piace molto più un 25 che un 30 e lode. Al liceo, sebbene andavo molto bene, non ho mai preso il massimo (uscito con 97/100). La perfezione non fa proprio al caso mio
Sono contento del mio percorso così com'è e non ho assolutamente alcun rimpianto, nè intenzione di abbandonare
Allora, mi rivolgo a psycho (al quale consiglio di curare di più la punteggiatura onde evitare di far venire l'affanno a chi legge ) e newton.
Riprendiamo l'equazione di stato scritta nella forma $P=nR(T/V)$.
Se ho capito bene, per evidenziare l'utilità del concetto di funzione voi sostanzialmente avete detto questo:
"Un problema interessante (1) è capire se, fra tutti i valori che possono assumere $T$ e $V$, ce ne sono alcuni che, inseriti nell'equazione fanno si che il corrispondente valore della $P$ sia il massimo o il minimo possibile. In altre parole, mi posso chiedere per quali valori della temperatura e del volume la pressione del gas perfetto è la più bassa o la più alta possibile".
Per trovare una soluzione a tale problema abbiamo due modi:
1) Quello che io chiamo "brutale" (ma impossibile da attuare nella pratica, vista l'infinità del processo), e che consiste nell'assegnare a $T$ e $V$ tutti i valori ammissibili, risolvere l'equazione calcolando i vari valori della pressione e vedere se ce ne è uno più basso o uno più alto;
2) Pensare l'equazione $P=nR(T/V)$ come una "macchinetta" che prende in ingresso due numeri (i valori di $V$ e $T$) e restituisce quello di pressione $P$.
Se ho capito bene, il modo più efficace per risolvere il problema (1) consiste nel pensare l'equazione $P=nR(T/V)$ come una funzione di due variabili a valori reali. Siete d'accordo?
) e newton.Riprendiamo l'equazione di stato scritta nella forma $P=nR(T/V)$.
Se ho capito bene, per evidenziare l'utilità del concetto di funzione voi sostanzialmente avete detto questo:
"Un problema interessante (1) è capire se, fra tutti i valori che possono assumere $T$ e $V$, ce ne sono alcuni che, inseriti nell'equazione fanno si che il corrispondente valore della $P$ sia il massimo o il minimo possibile. In altre parole, mi posso chiedere per quali valori della temperatura e del volume la pressione del gas perfetto è la più bassa o la più alta possibile".
Per trovare una soluzione a tale problema abbiamo due modi:
1) Quello che io chiamo "brutale" (ma impossibile da attuare nella pratica, vista l'infinità del processo), e che consiste nell'assegnare a $T$ e $V$ tutti i valori ammissibili, risolvere l'equazione calcolando i vari valori della pressione e vedere se ce ne è uno più basso o uno più alto;
2) Pensare l'equazione $P=nR(T/V)$ come una "macchinetta" che prende in ingresso due numeri (i valori di $V$ e $T$) e restituisce quello di pressione $P$.
Se ho capito bene, il modo più efficace per risolvere il problema (1) consiste nel pensare l'equazione $P=nR(T/V)$ come una funzione di due variabili a valori reali. Siete d'accordo?
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