Equadiff a variabili separabili e metodo urang-utang©
E' in rete l'ultima versione sulle equazioni differenziali a variabili separabili, con la descrizione del metodo urang-utang©:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm
NB: ho messo il link corretto (la pagina originariamente linkata non esiste più)
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm
NB: ho messo il link corretto (la pagina originariamente linkata non esiste più)
Risposte
"Epimenide93":
... C'è da dire che nonostante tutto c'è una sparuta minoranza di matematici che continua a sviluppare roba nell'ambito dell'analisi non standard. ...
A me piace

Ho scoperto da poco proprio qui che si chiama analisi non standard quella "roba" divertente che avevo letto anni fa di J.Keisler: non avrei mai pensato che una visione così "alternativa" corrispondesse ad un nome così importante ...
Comunque, dai, è facile capire una derivata in quel modo, ammettilo ...

Non so fin dove ci si possa spingere con quella prospettiva, però è una modalità più "smooth" per entrare nel campo dell'analisi ... e forse l'obiettivo di chi sviluppa in quell'ambito è proprio questo. Isn't it?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Comunque, dai, è facile capire una derivata in quel modo, ammettilo ...
Ma indubbiamente! Se noti non ho mai osato dire il contrario, anzi. Solo che il "contesto" (la parola più adatta sarebbe una traduzione perfetta della parola inglese "framework") algebrico e logico in cui l'analisi non standard si sviluppa è decisamente troppo complicato, il gioco non vale la candela.
"axpgn":
mi pare sia tutto formalmente corretto.
Direi proprio di sì, c'è molto lavoro dietro ed è una teoria che è stata sistemata per bene. Il problema è che per rendere tutto formalmente corretto ciò che sta alla base è un macchinario mostruoso, che poi permette di dare definizioni pulite e intuitive. L'analisi matematica odierna, come sviluppata comunemente, può causare qualche difficoltà all'inizio, ma una volta superate tali difficoltà iniziali fila liscia come farebbe l'altra e richiede una base molto meno pretenziosa (e ripeto, il paragone lo faccio col campo reale, che non è una conquista matematica da nulla e che comunque "sottostà" agli iperreali). E francamente, al di là delle difficoltà iniziali, circoscritte all'approccio alla materia, trovo che la teoria odierna sebbene meno intuitiva resti comunque molto elegante.
"axpgn":
Non so fin dove ci si possa spingere con quella prospettiva
Come ho detto, se non ricordo male i due approcci sono equivalenti. Ignoro totalmente come ciò sia possibile, dal momento che gli iperreali non formano un campo completo, ma tant'è.
"axpgn":
però è una modalità più "smooth" per entrare nel campo dell'analisi...
Dipende. A dare una trattazione assiomatica dei reali, nell'analisi odierna ci si entra molto facilmente e l'assioma di completezza riesce a dare un bel po' di motivazione per tutto ciò che riguarda i primi studi dell'analisi propriamente detta (andando al di là del mero "calculus"). Per gli iperreali e la struttura di campo loro annessa anche una trattazione puramente assiomatica è già un casino, e cominciare a parlare di derivate senza neanche conoscere le proprietà dell'insieme numerico sul quale si lavora non mi sembra una buona idea.
"axpgn":
e forse l'obiettivo di chi sviluppa in quell'ambito è proprio questo. Isn't it?
Quanto a ciò, non ne ho la più pallida idea.
Chiaramente il tutto è solo il mio punto di vista, ma mi pare sia abbastanza condiviso. Comunque il mio intervento non voleva essere una discussione sui limiti dell'analisi non standard, non ne so abbastanza per poter fare una trattazione del genere, volevo solo per completezza mettere in chiaro che se si vuole lavorare "normalmente" ci si può scordare degli infinitesimi, ma che, a patto di lavorare in un contesto "strano", non sono del tutto irrecuperabili. Poi, com'è chiaro, per me non vale la pena di recuperarli, ma come si dice de gustibus non disputandum.
@Epimenide93: Non mi hai convinto
Su cosa basi precisamente la tua opinione? Hai studiato la costruzione del campo iperreale? Hai ristudiato almeno qualche modulo di Analisi nel linguaggio non standard? Altrimenti basi tutto su opinioni di altri, e la tua perde di valore. Era questo a cui mi riferivo:
Forse ho usato un termine decisamente inappropriato: più che conoscenza, farsi un'opinione degna di questo nome richiede esperienza. Esperienza che io non ritengo di avere.
Certo, i "conservatori" potranno essere in grassa maggioranza, ma ciò non mi sembra affatto sufficiente a condizionare un'opinione.[nota]A proposito di opinioni di altri, mi ha sorpreso quella di Gödel: ci sono buoni motivi per credere che l'Analisi non standard in una versione o in un'altra sarà l'Analisi del futuro.[/nota]
Il mio tono non vuol essere polemico, per carità
D'altro canto, come ho già ripetuto, non ho una posizione in merito alla faccenda, non sono né pro né contro.
Non ho un'idea molto precisa di quanto mostruoso sia il macchinario (mi manca qualche nozione di Logica Formale). D'altra parte, detto terra terra, non disdegno affatto l'idea di fare uno "sforzo" all'inizio per "star più tranquillo" dopo (e certo non mi riferisco alla derivata di un polinomio
in questo senso non vedo grandi vantaggi a lavorare con gli infinitesimi, anche se qualche loro sostenitore contrabbanda per tali queste scemenze).
A livello didattico poi, il problema si dovrebbe poter raggirare facilmente con un approccio assiomatico (già sperimentato con successo in America da non ricordo chi), come si fa spesso anche coi reali, rimandando queste "questioni da adulti" a quando si sarà acquisita la maturità necessaria per affrontarle.
Buona giornata ragazzi

"Plepp":
Credo che per potersi fare un'idea degna di essere chiamata tale sulla faccenda sia necessario andare fino in fondo, e che ciò richieda tanta, tanta conoscenza. Morale: per ora non ritengo di avere gli strumenti giusti per comprendere/apprezzare appieno l'Analisi Non Standard, quindi sospendo il giudizio.
Forse ho usato un termine decisamente inappropriato: più che conoscenza, farsi un'opinione degna di questo nome richiede esperienza. Esperienza che io non ritengo di avere.
Certo, i "conservatori" potranno essere in grassa maggioranza, ma ciò non mi sembra affatto sufficiente a condizionare un'opinione.[nota]A proposito di opinioni di altri, mi ha sorpreso quella di Gödel: ci sono buoni motivi per credere che l'Analisi non standard in una versione o in un'altra sarà l'Analisi del futuro.[/nota]
Il mio tono non vuol essere polemico, per carità

"Epimenide93":
Il problema è che per rendere tutto formalmente corretto ciò che sta alla base è un macchinario mostruoso, che poi permette di dare definizioni pulite e intuitive.
Non ho un'idea molto precisa di quanto mostruoso sia il macchinario (mi manca qualche nozione di Logica Formale). D'altra parte, detto terra terra, non disdegno affatto l'idea di fare uno "sforzo" all'inizio per "star più tranquillo" dopo (e certo non mi riferisco alla derivata di un polinomio

A livello didattico poi, il problema si dovrebbe poter raggirare facilmente con un approccio assiomatico (già sperimentato con successo in America da non ricordo chi), come si fa spesso anche coi reali, rimandando queste "questioni da adulti" a quando si sarà acquisita la maturità necessaria per affrontarle.
Buona giornata ragazzi

"Epimenide93":
[quote="axpgn"]... però è una modalità più "smooth" per entrare nel campo dell'analisi...
Dipende. ...[/quote]
Certo, dipende ... ma precisando meglio quella mia frase non mi riferivo a chi farà della matematica il proprio mestiere o comunque una fetta importante del proprio lavoro, ma alla grande maggioranza che studierà derivate e integrali alle superiori o al massimo li userà come strumenti nel proprio impiego.
D'altra parte sarà anche vero che l'analisi moderna ha "buttato fuori" l'infinitesimo (uso il periodo ipotetico perché non ho le conoscenze per affermarlo ma mi fido ampiamente di te ...


Diversamente da Plepp non considero "scemenze" utilizzarlo per derivare i polinomi (o meglio per introdurre quei concetti); giustamente lui le considera così vedendole dal lato "alto" della questione (a scanso di equivoci non sono ironico) ma io dall'altro lato penso alla maggioranza di cui sopra che fatica a digerire quel $dx$ (... e pure i $delta$ e gli $epsilon$ ...

Cordialmente, Alex
P.S.: Se lisdap avesse iniziato con l'analisi non std forse ci saremmo risparmiati qualche centinaio di post, o no?

E poi dici che non è utile ...



"Plepp":
Hai studiato la costruzione del campo iperreale?
Sì, perché ero curioso di capire com'è fatto un campo non archimedeo. Al di là dell'analisi non standard gli iperreali sono una di quelle costruzioni patologiche (che solitamente sono prerogativa dei topologi

"Plepp":
Hai ristudiato almeno qualche modulo di Analisi nel linguaggio non standard?
Sì, limitandomi al calcolo differenziale propriamente detto, non ho visto nulla sul calcolo integrale. È tutto molto "smooth" come diceva Alex. Mi viene in mente una metafora fatta dal mio prof di analisi mentre parlava di tutt'altro (integrazione alla Lebesgue) «Ci sono essenzialmente due modi per trattarla, ed uno dei due all'inizio è molto più facile. Ma noi lo faremo nel modo difficile, perché con quello facile dobbiamo nascondere della polvere sotto al tappeto, e prima o poi quella polvere verrà fuori dall'altro lato».
"Plepp":
Esperienza che io non ritengo di avere.
Esperienza neanch'io ne ho, ma quel che so mi basta per concludere che non fa per me, forse sbaglio a sconsigliarla, ma penso sia naturale avere la tendenza a sconsigliare anche ad altri cose che non ci sono piaciute. Potrei farti lo stesso discorso sull'approccio intuizionista. Capisco le ragioni che ha alla base e che addirittura può aggiungere concretamente qualcosa rispetto all'approccio più diffuso, eppure non fa per me ed essendo io sostenitore convinto di una matematica fatta anche in maniera non costruttiva (in particolare di una sorta di validità "platonica" dell'assioma della scelta) non condivido l'approccio, di conseguenza se mi trovassi a parlare casualmente della logica/matematica intuizionista probabilmente ne parlerei in modo molto critico, sebbene in fondo trovo anche giusto che qualcuno la porti avanti trovando modi costruttivi per fare le cose.
Il fatto è che l'analisi è andata avanti ed il concetto di limite ha influenzato molti altri rami della matematica. Tieni conto che sono solo uno studente, e già per quel po' di matematica che ho visto i limiti ed i discorsi legati alla completezza sono ubiqui, e quello che io ho studiato sono solo le basi della matematica moderna, che al momento posso solo guardare col binocolo. L'idea di riscrivere tutto quello che è stato scritto finora (perché comunque si tratta di riscrivere, non basta un piccolo adattamento) per rifondare tutto su una base equivalente a quella che abbiamo, ma che rende più semplice la presentazione di argomenti elementari, mi sembra un'inutile ed enorme spreco di energie; magari tra qualche anno salta fuori un gruppo di ricerca che si prende la briga di farlo e gliene saremo grati, ma al momento mi sembra un'ipotesi surreale. Poi, francamente, in matematica ci sono concetti molto più difficili di quello di differenziale, sviluppare un po' di elasticità mentale non può essere una cosa negativa.
Ma, ancora una volta, la mia non voleva essere un'apologia dell'analisi tradizionale ed un'invettiva contro l'analisi non standard (mi spiace si sia rivelata esserlo, ho lasciato trasparire un po' troppo la mia opinione), volevo solo provare a spiegare a lisdap perché non si può fare analisi come la faceva Leibniz, perché ci si fonda su una contraddizione logica (stesso motivo per cui non si fonda la matematica sulla teoria ingenua degli insiemi). Poi di fronte a teorie equivalenti, ciascuna coi suoi pro e contro, ognuno studia quel che gli pare. La mia opinione è fin troppo evidente (


Mi piacerebbe sentire il parere di qualcuno più maturo di me al riguardo, alla fine io parlo da scolaro e ho smesso ieri di mettermi le dita nel naso, ma forse è il caso di spostarsi in un altra discussione.
Mentre scrivevo, ha risposto Alex
"axpgn":
ma mi fido ampiamente di te ...
Non farlo. Prima di scrivere cerco di assicurarmi di non scrivere idiozie, ma capita anche che ne scriva (e di recente ho preso un paio di svarioni non da poco), tieni conto che dal punto di vista matematico sono un lattante.
"axpgn":
Se lisdap avesse iniziato con l'analisi non std forse ci saremmo risparmiati qualche centinaio di post, o no?
Sinceramente, ne dubito
