Equadiff a variabili separabili e metodo urang-utang©

[Fioravante Patrone1]

E' in rete l'ultima versione sulle equazioni differenziali a variabili separabili, con la descrizione del metodo urang-utang©:


http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm

NB: ho messo il link corretto (la pagina originariamente linkata non esiste più)

[Sk_Anonymous]

"dissonance":tu le tratti come questioni di principio, e il cortocircuito che ne deriva ti impedisce di stare tranquillo. Essendo questioni di metodo, esse semplicemente non hanno le risposte che ti aspetti.

Esatto, sono questioni di metodo e che riguardano le applicazioni, quindi a un matematico puro possono anche non interessare......tuttavia sono questioni che io non posso tralasciare e che devo assolutamente comprendere a fondo. Non facciamo prima a rispondere alla domanda? Tanto tu hai più di 10000 messaggi, quindi messaggio più messaggio meno......XD

Comunque io non mollo dissonance, prima o poi sono sicuro che troverò tutte le risposte che cercavo e troverò soddisfazione.

[Epimenide93]

Sul Pagani-Salsa volume 1 a pagina 291 c'è una considerazione in tal proposito che forse può aiutarti a farti un'idea tua sulla questione; se lo hai a disposizione prova a guardare, altrimenti appena posso faccio una scansione e carico il frammento di pagina suddetto.

[gugo82]

"lisdap":[quote="gugo82"]Uffa... Lisdap, rispondi un momento a queste domande: cos'è \(\text{d}f\)? cos'è \(\text{d} x\)? che cos'è \(f^\prime (x)\)?

Ciao, allora non mi sembra una domanda particolarmente difficile. $df$ coincide per definizione con $f'(x)*Deltax$, quindi nel caso particolare in cui al posto della $f$ ci piazzo la $x$ ottengo che $dx$ coincide con $Deltax$. $f'(x)$ è uno dei tanti simboli che indica la derivata.[/quote]
Lisdap, dai la tipica risposta dell'ingegnere: una formula.
Ora, una formula in sé non significa nulla e significa tutto... Dipende da chi la legge.
Ed il problema, qui, non è se chi la legge sa come la deve leggere, ma se chi la scrive sa come la deve leggere.

Torno a ripetere: che cos'è \(\text{d}f\)? E specifico: è un numero? una funzione? un elemento di uno spazio astratto? un "simbolo e basta"?
La stessa cosa per \(\text{d}x\): cos'è? Un numero? una funzione? etc...
E per \(f^\prime (x)\): cos'è? Un numero? una funzione? etc...

Per il resto, l'uso del differenziale nelle applicazioni è una scappatoia formale che consente di fare qualche conto in tranquillità, e basta così.
La liceità di quei conti è un'altra questione e dipende da come immagini che funzionino le cose che hai davanti, non dai simboli che usi.

[magliocurioso]

"lisdap":Comunque io non mollo dissonance, prima o poi sono sicuro che troverò tutte le risposte che cercavo e troverò soddisfazione.

Prova a rispondere uno che ha mollato l'impresa già diverso tempo fa. Per prima cosa, penso che dovresti fare tesoro delle parole di gugo82

"gugo82":Ora, una formula in sé non significa nulla e significa tutto... Dipende da chi la legge.
Ed il problema, qui, non è se chi la legge sa come la deve leggere, ma se chi la scrive sa come la deve leggere.

Penso che il nocciolo della questione sia proprio questo. Ad esempio, spesso mi trovo a riflettere sul fatto che le formule contengono molte più informazioni di quelle che riusciamo a percepire. Spesso è sufficiente apprendere qualche nuova conoscenza matematica per leggere le formule che già si conoscono in una nuova ottica. O, quanto meno, a me capita moltospesso questa "emozione", quasi come se avessi scoperto chissà cosa anche se alla fine "riscopro" cose che altri hanno già scoperto molto prima di me e che in genere chiunque raggiunge un certo livello di preparazione [spesso nemmeno poi così elevato] riesce a raggiungere. Molto probabilmente bisogna sostituire il termine "scoprire" col termine "imparare".Potrebbe essere anche questo il reale motivo di questa annosa questione e se fosse davvero così, per risolverla teoricamente potrebbe essere sufficiente acquisire un livello di competenza matematica superiore a quello posseduto nel momento in cui si riscontra la "difficoltà" [penso però che sia un discorso di validità generale e non relegato solamente a questa specifica discussione].

Comunque, prima di abbandonare la questione ero anche giunto alla conclusione che molto probabilmente per risolvere definitivamente questo "problema" [o quanto meno per tentare di risolverlo], potrebbe essere necessario, come dire, "riscrivere" tutti i libri di fisica/ingegneria sostituendo i formalismi improprio con quelli che dovrebbero essere quelli rigorosi. Tempo fa ci provai provando a "correggere" un libro di fisica ma dopo poco mi passò la voglia perché mi andavo ad intoppare in problemi molto più grandi di me che non sapevo come risolvere.

Potresti farlo tu come esercizio e vedere cosa succede

Tergiversando un poco, provo a fare una "provocazione" anche se in realtà non voglio fomentare discussioni inutili, ma semplicemente condividere una personalissima opinione maturata di recente. Come sarà già stato detto tantissime altre volte altrove su questo forum, non bisogna dimenticare che il compito principale di fisici ed ingegneri è rispettivamente quello di studiare/spiegare fenomeni e risolvere problemi, quasi che non importa come vengano risolti. Certo, poi ovviamente anche fisici ed ingegneri usano la matematica nei loro studi ma molto probabilmente sono "costretti" a farne usi formalmente scorretti ed impropri semplicemente perché non è quello il loro lavoro. Per poter usare la matematica alla perfezione senza nessun errore il loro percorso di studi si allungherebbe ulteriormente senza però apportare nessun beneficio ulteriore in quella che sarà la loro effettiva competenza professionale e pertanto è stato scelto il "male minore". Diversamente sarebbero dei matematici e, molto probabilmente "è necessario" che ne facciano un uso non proprio preciso perché diversamente si concentrerebbero più sui dettagli matematici piuttosto che sui loro problemi di lavoro.

E se stiamo poi a vedere, qualcosa del genere avviene un poco in quasi tutti CdL: molti percorsi di studi, anche quelli molto diversi fra loro, possono condividere le stesse materie materie [non dico tutte ma alcune] ma ovviamente cambiano i programmi e le finalità in funzione all'obiettivo didattico e professionale che si prefigge il percorso di studi.

Credo di aver scritto anche troppo.

[gugo82]

@ magliocurioso:

"magliocurioso":Potresti farlo tu come esercizio e vedere cosa succede

Guarda che queste sono cose "serie", non è che si possono fare come esercizio o per diletto... La ricerca di una possibile sistemazione assiomatica della Fisica è il 6° dei famosi 23 problemi di Hilbert, tanto per ricordarlo.

Per quanto riguarda la Meccanica, molto è stato fatto e gli strumenti utili per sistemare assiomaticamente tale branca sono per lo più di natura geometrico-differenziale.
Per tutto il resto della Fisica, si sta ancora lavorando.

Ma questo poco c'entra con i temi proposti da lisdap (dal quale, ovviamente, gradirei leggere risposte ai tre quesiti di cui sopra).
Lisdap non riesce a capire quali sono i fondamenti dei ragionamenti euristici della Fisica e/o crede che essi dipendano da, o siano legati da nessi causali a, le notazioni introdotte nel Calcolo.
Ora, come dicevo giorni fa a qualcuno che credeva lo insultassi (non c'è peggior sordo...), tra l'euristica e la teoria ci sono rapporti stretti, il più delle volte non formali o non formalizzabili in maniera semplice, ma esse vivono su due mondi separati.
Voler stabilire dei nessi fissi ed immutabili tra i due mondi è solo un esercizio di stile, abbastanza inutile, ed, in un certo senso, privo di significato vero e proprio.

[Sk_Anonymous]

A gugo: secondo me $df$ può essere considerata come una legge che associa alla coppia $(f, Deltax)$ una certa quantità. Tu che dici?

[gugo82]

Ora non dico niente.
Mi aspetto tu faccia un discorso "serio" prendendo casomai spunto dalle mie domande; io lo commenterò, se necessario.

[Sk_Anonymous]

A gugo:
OT......prima hai parlato di assiomatizzazione della fisica. Ciò significa porre a base della fisica dei termini primitivi e delle proposizioni primitive (assiomi) da cui far discendere (mediante deduzioni) tutto il sapere fisico? Se si, quale sarebbe l'utilità nel fare una cosa simile? si può parlare secondo te di capriccio matematico? L'assiomatizzazione è un modo di procedere matematico, perchè applicarlo anche alla fisica? Non si rischierebbe di perdere il "contenuto fisico"? Esigenza di perfezione forse?

[gugo82]

Aspetto sempre risposta a quelle tre domandine.

Per il resto, che è evidentemente OT:
[ot]

"lisdap":A gugo:
OT......prima hai parlato di assiomatizzazione della fisica. Ciò significa porre a base della fisica dei termini primitivi e delle proposizioni primitive (assiomi) da cui far discendere (mediante deduzioni) tutto il sapere fisico? Se si, quale sarebbe l'utilità nel fare una cosa simile? si può parlare secondo te di capriccio matematico? L'assiomatizzazione è un modo di procedere matematico, perchè applicarlo anche alla fisica? Non si rischierebbe di perdere il "contenuto fisico"? Esigenza di perfezione forse?

A cosa è servito assiomatizzare la Geometria? A cosa è servito assiomatizzare (in tempi più recenti ed in ordine cronologico) il Calcolo Infinitesimale, la Logica, la Teoria degli Insiemi, il Calcolo delle Probabilità?
Ogni teoria che si rispetti è una teoria matematica; altri tipi di teoria, in ambito scientifico, non hanno ragione di essere.

Per quanto riguarda il supposto "contenuto fisico", perché sei tanto sicuro che la Fisica abbia qualcosa che sia lecito chiamare "contenuto fisico"?
Che cos' è la Fisica, secondo te? Cosa fa?[/ot]

[vict85]

Ciò che noi chiamiamo fisica è solamente un continuo tentativo di modellizzare la componente della realtà “osservabile” che noi consideriamo afferente alla fisica. A mio avviso non ha molto senso assiomatizzare una modellizzazione in quando la loro correttezza risiede in qualcosa che è esterno al modello. Al limite può avere senso parlare di costruzione formalmente corretta dei modelli.

@ Lisdap: io penso che tu non colga il fatto che l’assioma è il punto debole e non quello forte di una teoria. Un assioma è una premessa, qualcosa in cui devi avere fede. Avere assiomi ritengo quindi che renda la fisica inutilmente rigida senza dargli nessun vantaggio reale. La correttezza o meno di una teoria fisica sta nella sua aderenza ad una serie di esperimenti (aderenza che dipende dalla interpretazione di un modello la cui correttezza formale è indipendente da quella fisica).

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Aspetto sempre risposta a quelle tre domandine.

Allora, riprovo a rispondere alle 3 domande:
1) che cos'è $f'(x)$? $f'(x)$ coincide per definizione con $lim-(h->0) (f(x+h)-f(x))/h$. $f'(x)$ viene detto "funzione derivata di $f(x)$ (o più semplicemente derivata di $f(x)$)", ed è quindi una funzione;
2) che cos'è $dx$? $dx$ coincide con $Deltax$ che a sua volta coincide con $h$, dove $h$ sta per "numero reale non nullo";
3) che cos'è $df(x)$? $df(x)$ coincide con $f'(x)*Deltax$. In particolare, si ha ad esempio che $d(3x^2)$ coincide con $6x*Deltax$. $d3x^2$ è quindi una funzione di $x$ e di $Deltax=dx$.
Spero che le risposte siano soddisfacenti, più di questo non riesco a scrivere.

Quanto all'uso dei differenziali nelle applicazioni, tu dici che si tratta di "scappatoie formali". Ho riflettuto a lungo su queste tue parole però davvero non riesco a comprenderne il contenuto. Cosa intendi quando dici che si tratta solo di manipolazioni formali ecc..?
Io, coerentemente con ciò che ho studiato in analisi, quando in Fisica leggo un dV ad esempio mi aspetto che V sia una certa funzione; infatti in analisi si definisce $df$, dove $f$ sta appunto per funzione. Il problema però è che ragionando in questi termini non riesco a venirne fuori. Quando in fisica leggo un simbolo come dS, mi aspetto che la "d" faccia riferimento alla "d" di $df$ che viene definito in analisi, e quindi mi aspetto che $S$ sia una funzione, tuttavia poi i testi associano quasi sempre ai dS, dV ecc...il termine "infinitesimo" o "piccolissimo" o "molto piccolo". E allora mi viene il dubbio che la matematica che stia usando colui che fa questo discorso non è l'analisi moderna, ma il vecchio calcolo infinitesimale C.I fondato appunto sul concetto di infinitesimo. Però poi mi chiedo: se davvero si sta usando il vecchio C.I, perché i prof. e i libri non avvisano lo studente? E non riesco a dare una risposta. Perché il mencuccini silvestrini spende un buon 20% di pagine in richiami di analisi quando poi l'analisi che usa non è quella che spiega nelle sue stesse pagine?
grazie per un'eventuale risposta.

[gugo82]

"lisdap":[quote="gugo82"]Aspetto sempre risposta a quelle tre domandine.

Allora, riprovo a rispondere alle 3 domande:
1) che cos'è $f'(x)$? $f'(x)$ coincide per definizione con $lim-(h->0) (f(x+h)-f(x))/h$. $f'(x)$ viene detto "funzione derivata di $f(x)$ (o più semplicemente derivata di $f(x)$)", ed è quindi una funzione;[/quote]
Falso.

"lisdap":2) che cos'è $dx$? $dx$ coincide con $Deltax$ che a sua volta coincide con $h$, dove $h$ sta per "numero reale non nullo";

E che vuol dire?

"lisdap":3) che cos'è $df(x)$? $df(x)$ coincide con $f'(x)*Deltax$. In particolare, si ha ad esempio che $d(3x^2)$ coincide con $6x*Deltax$. $d3x^2$ è quindi una funzione di $x$ e di $Deltax=dx$.

Falso.

Sono definizioni base del Calcolo che ogni studente del primo anno dovrebbe conoscere e saper spiegare adeguatamente... Impegnati un po', please.

"lisdap":Spero che le risposte siano soddisfacenti, più di questo non riesco a scrivere.

Strano, perché ne abbiamo parlato milleduecento volte sul forum. Una ricerca, visto che stai sollevando la questione, sarebbe stato opportuno farla.

"lisdap":Quanto all'uso dei differenziali nelle applicazioni, tu dici che si tratta di "scappatoie formali". Ho riflettuto a lungo su queste tue parole però davvero non riesco a comprenderne il contenuto. Cosa intendi quando dici che si tratta solo di manipolazioni formali ecc...?

Quelle manipolazioni sono solo formali e si basano sull'interpretazione euristica del Calcolo Differenziale ed Integrale.
Ad esempio, il fatto euristico che \(f(x+\text{d} x)-f(x)=\text{d} f=f^\prime (x)\ \text{d} x\) si basa sul teorema del differenziale, il quale garantisce che (fintantoché \(f\) è sufficientemente regolare) puoi approssimare l'incremento subito dalla \(f\) in un intervallo "piccolo" con un multiplo dell'ampiezza di tale intervallo.
Questo è un esempio banale; ma tanto basta per far capire come vanno intese le approssimazioni scritte sui testi di Fisica, Chimica, Ingegneria, Economia, etc...

"lisdap":Io, coerentemente con ciò che ho studiato in analisi, quando in Fisica leggo un dV ad esempio mi aspetto che V sia una certa funzione; infatti in analisi si definisce $df$, dove $f$ sta appunto per funzione.

Spesso e volentieri, non funziona così perché il simboletto \(\text{d}\) è usato, in prima battuta, per denotare variazioni piccine picciò del simbolo che lo segue, come se quel simbolo rappresentasse una "variabile indipendente".
Ad esempio, il simbolo \(\text{d} V\) è semplicemente il volume di una porzione di spazio molto piccola.

Però all'occorrenza (cioé quando ce n'è bisogno, ad esempio, per fare o per semplificare i conti) si introduce dipendenza del simbolo che segue \(\text{d}\) da altre variabili e si usa il Calcolo per stabilire relazioni tra il \(\text{d} (\text{vecchia variabile})\) e le quantità \(\text{d} (\text{nuove variabili})\).

Per esempio, consideriamo sempre il volume. Se chiamiamo \(x,y,z\) le tre classiche coordinate cartesiane ortogonali dei punti dello spazio euclideo rispetto ad un riferimento cartesiano, il volume di un parallelepipedino piccino picciò dipende unicamente dalla lunghezza degli spigoli, cioé dalle quantità \(x-x_0\), \(y-y_0\), \(z-z_0\) (in cui \((x,y,z)\) e \((x_0,y_0,z_0)\) sono, rispettivamente, le coordinate del vertice più lontano e di quello più vicino all'origine del riferimento), mediante la relazione:
\[
V(x,y,z;x_0,y_0,z_0) =(x-x_0)(y-y_0)(z-z_0)\; ,
\]
la quale, tra le altre cose, importa:
\[
V(x_0,y_0,z_0;x_0,y_0,z_0)=0\; .
\]
Se chiami \(\text{d} x\), \(\text{d} y\) e \(\text{d}z\) le ampiezzine piccine picciò degli spigoli del tuo parallelelpipedino piccino picciò (qui stai introducendo nuove variabili indipendenti!!!), dalla precedente segue:
\[
V(x_0+\text{d} x,y_0+\text{d} y,z_0+\text{d}z; x_0,y_0,z_0)=\text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z\; ,
\]
e quindi il volumetto piccino picciò \(\text{d} V\), che rappresenta la variazione della funzione \(V(x,y,z;x_0,y_0,z_0)\) intorno al punto \((x_0,y_0,z_0)\) quando si prendano incrementi piccini picciò \(\text{d} x\), \(\text{d} y\) e \(\text{d} z\) è dato da:
\[
\text{d} V = V(x_0+\text{d} x,y_0+\text{d} y,z_0+\text{d}z; x_0,y_0,z_0) - V(x_0,y_0,z_0)=\text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z - 0 = \text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z\; .
\]

Tuttavia, il volumetto piccino picciò \(\text{d} V=\text{d} x\ \text{d} y\ \text{d} z\) può essere ancora scomodo per far di conto. Ed allora si introducono altre variabili indipendenti (e.g., le coordinate polari \((\rho, \theta, \phi)\)) e si cerca di esprimere \(\text{d} x\), \(\text{d} y\) e \(\text{d} z\) in funzione delle variazioni piccine picciò delle nuove coordinate (e.g., \(\text{d}\rho\), \(\text{d}\theta\) e \(\text{d}\phi\))... Etc.

"lisdap":Il problema però è che ragionando in questi termini non riesco a venirne fuori.
Quando in fisica leggo un simbolo come dS, mi aspetto che la "d" faccia riferimento alla "d" di $df$ che viene definito in analisi, e quindi mi aspetto che $S$ sia una funzione, tuttavia poi i testi associano quasi sempre ai dS, dV ecc... il termine "infinitesimo" o "piccolissimo" o "molto piccolo". E allora mi viene il dubbio che la matematica che stia usando colui che fa questo discorso non è l'analisi moderna, ma il vecchio calcolo infinitesimale C.I fondato appunto sul concetto di infinitesimo. Però poi mi chiedo: se davvero si sta usando il vecchio C.I, perché i prof. e i libri non avvisano lo studente? E non riesco a dare una risposta. Perché il mencuccini silvestrini spende un buon 20% di pagine in richiami di analisi quando poi l'analisi che usa non è quella che spiega nelle sue stesse pagine?

Il problema, lisdap, come ho detto altrove, è una certa rigidità mentale... Alcuni credono ancora che, in Matematica, tutto sia fissato una volta per tutte.
Tuttavia non è così: le notazioni cambiano (nella Storia, ovviamente, ma anche nel medesimo istante tra varie discipline) e pure le interpretazioni di quelle notazioni cambiano (nella Storia, ovviemente, ma anche nel medesimo istante tra varie discipline), perché ... Insomma, la situazione è estremamente fluida: la Matematica e le applicazioni sono acqua che scorre, non ghiaccio polare.

Inoltre, la liceità del ragionamento fisico non dipende da "quale" Calcolo uno stia utilizzando, perché di Calcolo Infinitesimale (a parte modelli nonstandard, che comunque è di dubbia utilità) ce n'è uno solo, che si è sviluppato nei secoli.
La liceità del ragionamento si basa sulle ipotesi che metti alla base del ragionamento... Ad esempio, in Fisica classica si assume sempre che le funzioni con cui si ha a che fare siano \(C^\infty\) e ciò rende lecite tutte le applicazioni del Calcolo Differenziale ed Integrale che vuoi.

***

Ad ogni modo, lisdap, da ora in avanti mi taccio.
Ascolta un consiglio: parla della questione con qualche tuo docente di Fisica e di Analisi (o, al limite, con qualche collega più esperto) e ragionaci sopra da solo, in modo da raggiungere un tuo equilibrio.
Inoltre, lascia perdere internet e tutta la marea di informazioni che vi trovi scritte, poiché servono solo a confonderti di più.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":
Quelle manipolazioni sono solo formali e si basano sull'interpretazione euristica del Calcolo Differenziale ed Integrale.
Ad esempio, il fatto euristico che \(f(x+\text{d} x)-f(x)=\text{d} f=f^\prime (x)\ \text{d} x\) si basa sul teorema del differenziale, il quale garantisce che (fintantoché \(f\) è sufficientemente regolare) puoi approssimare l'incremento subito dalla \(f\) in un intervallo "piccolo" con un multiplo dell'ampiezza di tale intervallo.
Questo è un esempio banale; ma tanto basta per far capire come vanno intese le approssimazioni scritte sui testi di Fisica, Chimica, Ingegneria, Economia, etc...

Che $Deltaf$ fosse ben approssimato da $df$ quando $dx$ diventa piccin picciò come dici tu mi era già noto da tempo. Non capisco perché tu usi il segno di uguaglianza quando in realtà andrebbe usato il segno di "circa uguale" essendo quella che hai scritto un'approssimazione.

"gugo82":
Spesso e volentieri, non funziona così perché il simboletto \(\text{d}\) è usato, in prima battuta, per denotare variazioni piccine picciò del simbolo che lo segue, come se quel simbolo rappresentasse una "variabile indipendente".
Ad esempio, il simbolo \(\text{d} V\) è semplicemente il volume di una porzione di spazio molto piccola.

E che significa "molto piccola"? In realtà nella maggior parte dei casi il simboletto $d$ davanti a una variabile indica la variazione infinitesima di quella variabile, e questi sono concetti e ragionamenti tipici del calcolo di leibniz. Perché infinitesimo, cioè diverso da zero ma più piccolo di ogni altra quantità, viene confuso con "molto piccolo"? Perché una quantità infinitesima è impossibile da visualizzare mentalmente, tuttavia, visto che non c'è grandissima differenza tra un volume di $0,00000000000000000000001 m^3$ e un volume infinitesimo, si usa il termine molto piccolo.

Per il resto è tutto ok, anche se non mi sembra di aver fatto grandi progressi dopo aver letto questa tua risposta.
Terrò a mente il tuo consiglio di parlare con qualche docente di fisica o di analisi, anche se dubito otterrò le risposte che cerco considerando che i docenti sono i primi (insieme ai libri) a generare queste incomprensioni.
Infine, che la matematica sia acqua che scorre e non ghiaccio polare lo condivido (anche se in passato credevo che la matematica fosse sostanzialmente immutabile nel tempo). Ad esempio mi ha incuriosito notare come in un testo di analisi della metà dell'800 pescato su google libri il limite anziché essere indicato con "lim" era indicato con una specie di L maiuscola piuttosto strana.
Ciao.

[gugo82]

"lisdap":[quote="gugo82"]
Quelle manipolazioni sono solo formali e si basano sull'interpretazione euristica del Calcolo Differenziale ed Integrale.
Ad esempio, il fatto euristico che \(f(x+\text{d} x)-f(x)=\text{d} f=f^\prime (x)\ \text{d} x\) si basa sul teorema del differenziale, il quale garantisce che (fintantoché \(f\) è sufficientemente regolare) puoi approssimare l'incremento subito dalla \(f\) in un intervallo "piccolo" con un multiplo dell'ampiezza di tale intervallo.
Questo è un esempio banale; ma tanto basta per far capire come vanno intese le approssimazioni scritte sui testi di Fisica, Chimica, Ingegneria, Economia, etc...

Che $Deltaf$ fosse ben approssimato da $df$ quando $dx$ diventa piccin picciò come dici tu mi era già noto da tempo. Non capisco perché tu usi il segno di uguaglianza quando in realtà andrebbe usato il segno di "circa uguale" essendo quella che hai scritto un'approssimazione.[/quote]
Perché guardi la pagliuzza che è nell'occhio del tuo fratello e non ti accorgi della trave che è nel tuo? Come puoi dire al tuo fratello: "Permetti che tolga la pagliuzza che è nel tuo occhio", mentre tu non vedi la trave che è nel tuo? (cit.)

"lisdap":[quote="gugo82"]
Spesso e volentieri, non funziona così perché il simboletto \(\text{d}\) è usato, in prima battuta, per denotare variazioni piccine picciò del simbolo che lo segue, come se quel simbolo rappresentasse una "variabile indipendente".
Ad esempio, il simbolo \(\text{d} V\) è semplicemente il volume di una porzione di spazio molto piccola.

E che significa "molto piccola"? In realtà nella maggior parte dei casi il simboletto $d$ davanti a una variabile indica la variazione infinitesima di quella variabile, e questi sono concetti e ragionamenti tipici del calcolo di leibniz. Perché infinitesimo, cioè diverso da zero ma più piccolo di ogni altra quantità, viene confuso con "molto piccolo"? Perché una quantità infinitesima è impossibile da visualizzare mentalmente, tuttavia, visto che non c'è grandissima differenza tra un volume di $0,00000000000000000000001 m^3$ e un volume infinitesimo, si usa il termine molto piccolo.[/quote]
Gli "infinitesimi", come li hai appena descritti, non esistono... Roba di base di Analisi I.

[vict85]

Sinceramente mi chiedo perché non si abbandonino del tutto i valori reali e non si passi ad usare gli intorni e gli insiemi. Sinceramente li trovo ugualmente intuitivi. L'unica vera differenza è avere a che fare con insiemi di valori invece che valori.

[dissonance]

@vict: Questa sarebbe sostanzialmente la interval arithmetics dell'analisi numerica, no? Proprio l'altro giorno sono stato ad un talk di un tedesco, diceva che negli anni Ottanta in Germania andava per la maggiore ma ora è stata un po' abbandonata. Non che c'entri molto con questa discussione...

[vict85]

No, mi riferisco semplicemente all'uso dell'approccio topologico.

[Sk_Anonymous]

OT: ma a che ora andate a dormire ragazzi ?

[Fioravante Patrone1]

Segnalo il paragrafo 3.2: "Trattiamoli con discre(tizza)zione", ovviamente da:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf

A mio parere fa capire cosa abbia in mente un fisico, ingegnere, etc., quando usa il metodo del genere Pongo.
E anche perché poi succeda, se non ci sono punti delicati, che in fondo "funzioni" il metodo che, dopo tutto, appartine alla famiglia degli Hominidae.

Buone vacanze a tutti, matematici e non

[Sk_Anonymous]

A Gugo: mi sa che hai ragione anche questa volta! Ma hai l`abbonamento alla ragione?

A dissonance: mi sa che ti devo fare una bella tirata di orecchie!

Forse ho capito. Ora, Gugo, ti faccio una domanda alla volta così procediamo in modo ordinato ed espongo stavolta i miei dubbi in modo chiaro.

Consideriamo le scritture $dV$, $dS$, $dm$, $dT$ che in Fisica frequentemente si incontrano. Sei d'accordo sul fatto che $V$, $m$, $S$, $T$ debbano stare per "certe cose"? Ad esempio, $T$ potrebbe stare per "temperatura di un corpo".

Se sei d'accordo su ciò, la prima difficoltà che incontro quanto leggo un testo tecnico è capire per cosa stiano precisamente quei simboli. Spesso il libro non li definisce. Scrive direttamente una formulona senza dirmi ad esempio che cos'è di preciso $T$.