Equadiff a variabili separabili e metodo urang-utang©
E' in rete l'ultima versione sulle equazioni differenziali a variabili separabili, con la descrizione del metodo urang-utang©:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm
NB: ho messo il link corretto (la pagina originariamente linkata non esiste più)
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm
NB: ho messo il link corretto (la pagina originariamente linkata non esiste più)
Risposte
"magliocurioso":
[quote="Fioravante Patrone"]Non prometto niente (anche perché sono giornate un po' impegnate), ma se ci metto le mani addosso provo a scannerizzarla.
Te ne sarei PROFONDAMENTE grato
[/quote]
Niente scanner, non era fattibile in modo semplice.
Ma li ho riscritti con LaTeX:
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
Rimarrai deluso!
"Fioravante Patrone":
Rimarrai deluso!
E perché mai?!?!
Anzi, GRAZIE!!!
Ho letto con piacere la precedente discussione sul dx.
Ho anche letto con un profondo senso di gratitudine la dispensa preparata da Fioravante sul dx
Ho però ancora un piccolo dubbio su questo "dx". Ho l'impressione che fisici ed ingegneri attribuiscano un significato DIVERSO a questo simbolo e che non riesco a trovare su nessun testo [forse proprio perché è sbagliato oppure perché troppo impreciso se non proprio GREZZO]
Come si fanno i conti alla maniera corretta senza usare i dx?
Ho anche letto con un profondo senso di gratitudine la dispensa preparata da Fioravante sul dx
Ho però ancora un piccolo dubbio su questo "dx". Ho l'impressione che fisici ed ingegneri attribuiscano un significato DIVERSO a questo simbolo e che non riesco a trovare su nessun testo [forse proprio perché è sbagliato oppure perché troppo impreciso se non proprio GREZZO]
Come si fanno i conti alla maniera corretta senza usare i dx?
"magliocurioso":
... Ho l'impressione che fisici ed ingegneri attribuiscano un significato DIVERSO a questo simbolo...
Nella matematica applicata, $dx$ denota la differenza tra due valori della $x$. Come è noto, nell'ambito dei numeri reali non esistono gli "infinitesimi", cioè numeri arbitrariamente piccoli ma non nulli; tuttavia, è sempre possibile trovare due numeri reali la cui differenza sia arbitrariamente piccola e non nulla.
Se fissiamo un valore della variabile indipendente x, diciamo $x_1$, possiamo sempre trovare un numero reale $x_2$ maggiore di $x_1$ tale che $x_2-x_1<\epsilon$, per qualsiasi $\epsilon$ positivo. Questa differenza si può denotare con $dx$, oppure con $h$, ed è una nuova variabile.
Ne consegue che $x_2=x_1+dx$: questa espressione mostra che $x_2-x_1$ è una variabile che dipende linearmente da $dx$.
Nel caso di una funzione, si cerca di ottenere qualcosa di simile.
Si indaga se sia possibile scrivere $f(x_2)=f(x_1+dx)=f(x_1)+ \mu dx$.
In generale la risposta è no, però per alcune funzioni (che chiamiamo differenziabili), è possibile ottenere
un'uguaglianza approssimata:
$f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+dx)-f(x_1)=\mu dx +o(dx)$,
quindi l'incremento contiene una parte lineare e una parte trascurabile quando $dx$ è sufficientemente piccolo. La parte lineare è chiamata differenziale di f nel punto $x_1$.
"Sidereus":No, forse nella tua "matematica applicata".
Nella matematica applicata, $dx$ denota la differenza tra due valori della $x$.
"Sidereus":Spero che tu stia scherzando
Se fissiamo un valore della variabile indipendente x, diciamo $x_1$, possiamo sempre trovare un numero reale $x_2$ maggiore di $x_1$ tale che $x_2-x_1<\epsilon$, per qualsiasi $\epsilon$ positivo. Questa differenza si può denotare con $dx$, oppure con $h$, ed è una nuova variabile.
"Sidereus":Ma perché non provi a imparanti l'ABC della matematica, invece di sparare sciocchezze?
Ne consegue che $x_2=x_1+dx$: questa espressione mostra che $x_2-x_1$ è una variabile che dipende linearmente da $dx$.
Per la parte finale del post: idee altrettanto confuse.
Ma la parte davvero raccapricciante è questa:
Come è noto, nell'ambito dei numeri reali non esistono gli "infinitesimi", cioè numeri arbitrariamente piccoli ma non nulli; tuttavia, è sempre possibile trovare due numeri reali la cui differenza sia arbitrariamente piccola e non nulla.
"Fioravante Patrone":
Niente scanner, non era fattibile in modo semplice.
Ma li ho riscritti con LaTeX:
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
Azz! E io mi ero perso questi appunti! Dear Fioravante, thanks so much!
"WiZaRd":
[quote="Fioravante Patrone"]
Niente scanner, non era fattibile in modo semplice.
Ma li ho riscritti con LaTeX:
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
Azz! E io mi ero perso questi appunti! Dear Fioravante, thanks so much![/quote]
Caro WiZaRd, grazie.
Colgo però l'occasione per esplicitare come mai dicevo a magliocurioso: "rimarrai deluso".
Io credo che la domanda "Chi è dx" abbia tre livelli di risposta:
- quello di fatto formale che si trova nei miei appunti (sono forse un piccolo passo oltre il formalismo le considerazioni su $\phi$ e $\phi(x)$). E che si trova in un sacco di libri.
- la spiegazione del modo in cui i fisici e tanti altri usano questo "dx". Questa è una parte interessante, la cui risposta dovrebbe assomigliare alle cose che dicevo qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/0000 ... simato.pdf
Ed è un po' quello che magliocurioso richiedeva qualche post sopra.
Mi piacerebbe un giorno provare a dare una risposta articolata a questa seconda domanda. Dire cosa pensano i fisici (e non solo) quando lo usano, dire perché e percome certi metodi funzionano, quali possono essere i loro punti deboli, etc.
Aggiungo che immagino ci siano già in giro delle ottime risposte a questo secondo livello di domanda, e inviterei chi passa di qui a provare a cercare cose carine su libri o in rete.
- un terzo livello (un po' come per la mafia
), quasi di carattere sociologico. Come mai ci siano così tante incomprensioni, tante difficoltà a "parlarsi" su questi argomenti. Non credo di avere gli strumenti culturali e scientifici per rispondere a questo ultimo livello di domanda.La tua "diatriba" con VINX89 nel post su urang-utang in "Generale" è un po' un esempio "in sedicesimo" di ciò a cui mi sto riferendo.
"Fioravante Patrone":
Mi piacerebbe un giorno provare a dare una risposta articolata a questa seconda domanda. Dire cosa pensano i fisici (e non solo) quando lo usano, dire perché e percome certi metodi funzionano, quali possono essere i loro punti deboli, etc.
Aspetterò con ansia questo gran giorno
"Fioravante Patrone":
Aggiungo che immagino ci siano già in giro delle ottime risposte a questo secondo livello di domanda.
Dove posso reperire materiale per approfondire? Ma bene qualsiasi cosa, un link, un riferimento bibliografico, un viaggio in un monastero alla ricerca di un libro perduto, qualsiasi cosa
In realtà non sono rimasto deluso, anzi ho letto con piacere quello che hai scritto e l'ho trovato molto utile. E' ovvio che la problematica del dx è una vera problematica, soprattutto per l'uso che ne fanno i fisici e gli ingegneri, e quindi una risposta completamente esaustiva richiderebbe un trattato di un bel pò di pagine, ma già i tuoi appunti (questi e gli altri due sull'urang-utang©) sono un inizio. E come dice magliocurioso, attenderò il giorno in cui pubblicherai il trattato in questione.
Saluti,
WiZ
Saluti,
WiZ
"Fioravante Patrone":
Ma la parte davvero raccapricciante è...
... la tua maleducazione.
Rieccomi a rompere le scatole sull'argomento urang utang
Recentemente ho avuto modo di confrontarmi con alcuni colleghi e mi hanno obiettato dicendo che l'urang utang non è altro che l'applicazione del metodo di integrazione per sostituzione.
Non ho saputo rispondere a questa affermazione ma non mi sembra molto corretta.
Recentemente ho avuto modo di confrontarmi con alcuni colleghi e mi hanno obiettato dicendo che l'urang utang non è altro che l'applicazione del metodo di integrazione per sostituzione.
Non ho saputo rispondere a questa affermazione ma non mi sembra molto corretta.
Basta che gli rispondi che il metodo di integrazione per sostituzione è un artificio formale, in quanto anche li si tratta il $(dy)/(dx)$ come se fosse effettivamente una frazione, andando ad usare termini da fare accapponare la pelle per uno attento alla correttezza formale di quello che si fa: si parla di parte differenziale come se uno studente del primo anno di Analisi oggi sapesse cosa sono le forme differenziali.
Inoltre l'integrazione per sostituzione la applicano così, alla buona, senza notare che il teorema che consente di applicare una tale strategia richiede tra le altre cose l'invertibilità del mostro che usi per sostituire.
Il che ci riporta al punto iniziale: $(dy)/(dx)$ viene trasformato per magia in una frazione con la $y$ che campa beta e senza portare spese alla $x$.
Il tutto, ovviamente, IMHO.
Inoltre l'integrazione per sostituzione la applicano così, alla buona, senza notare che il teorema che consente di applicare una tale strategia richiede tra le altre cose l'invertibilità del mostro che usi per sostituire.
Il che ci riporta al punto iniziale: $(dy)/(dx)$ viene trasformato per magia in una frazione con la $y$ che campa beta e senza portare spese alla $x$.
Il tutto, ovviamente, IMHO.
Quindi il metodo di integrazione per sostituzione e il metodo urang utang per risolvere le equazioni diffrenziali sono la stessa cosa?
Non sono la stessa cosa, si fondano sulla stessa idea sbagliata: non sono la stessa cosa perché sono due metodi tecnici usati per fare due cose diverse (il metodo urang-utang© per risolvere un'equazione, l'integrazione per parti per calcolare un integrale), ma si fondano sullo stesso uso distorto del simbolo $(dy)/(dx)$.
Per effettuare una integrazione per sostituzione c'è un apposito teorema, ma quando si integra in questo modo, quasi tutti se ne fregano del teorema, piazzano una funzione qualunque con la quale lavorano implicitamente nelle più rosee ipotesi di benessere e tirano fuori l'integrale sfruttando l'artificio formale che vede quella notazione come un rapporto.
Mi son dimenticato di dire che il metodo di integrazione per sostituzione esiste in modo corretto col suo teorema, diventa una cosa sbagliata nel momento in cui ci si convince che esso consista nell'uso del trucco formale sulla famosa frazione etc etc
Per effettuare una integrazione per sostituzione c'è un apposito teorema, ma quando si integra in questo modo, quasi tutti se ne fregano del teorema, piazzano una funzione qualunque con la quale lavorano implicitamente nelle più rosee ipotesi di benessere e tirano fuori l'integrale sfruttando l'artificio formale che vede quella notazione come un rapporto.
Mi son dimenticato di dire che il metodo di integrazione per sostituzione esiste in modo corretto col suo teorema, diventa una cosa sbagliata nel momento in cui ci si convince che esso consista nell'uso del trucco formale sulla famosa frazione etc etc
Ritornando al discorso urang utang oggetto della presente discussione ho ""scoperto"" che secondo coloro che apprezzano questo metodo, esiste un'altra "importante proprietà". Tenetevi forte perché questa è fantastica:
"L'urang utang permette di scambiare l'ordine di derivazione, permettendo di trasformare un'equazione differenziale in un'altra equazione differenziale più facile da risolvere"
Se non ci credete ecco cosa mi sono ritrovato fra gli appunti presi a lezione. Quando li ho riletti l'altra notte sono rimasto incredulo [ho davvero scritto io quella bestemmia?!]
Guardate che roba
$ y'(x^2y^3 + xy) = 1$
$ dy(x^2y^3 + xy) = dx$
$ x^2y^3 + xy = dx/dy $
$ x^2y^3 + xy = x' $
$ x' - xy = x^2y^3 $
che e ora "magicamente" diventata un'equazione di Bernoulli
Qual è invece il metodo corretto per evitare di fare come ha fatto il mio prof?
"L'urang utang permette di scambiare l'ordine di derivazione, permettendo di trasformare un'equazione differenziale in un'altra equazione differenziale più facile da risolvere"
Se non ci credete ecco cosa mi sono ritrovato fra gli appunti presi a lezione. Quando li ho riletti l'altra notte sono rimasto incredulo [ho davvero scritto io quella bestemmia?!]
Guardate che roba
$ y'(x^2y^3 + xy) = 1$
$ dy(x^2y^3 + xy) = dx$
$ x^2y^3 + xy = dx/dy $
$ x^2y^3 + xy = x' $
$ x' - xy = x^2y^3 $
che e ora "magicamente" diventata un'equazione di Bernoulli
Qual è invece il metodo corretto per evitare di fare come ha fatto il mio prof?
Risposta a occhio.
Direi che per fare i discorsi sopra uno ipotizza che $y$ sia invertibile (bisognera' alla fine vedere se torna) e usando la formula sulla derivata di $y^{-1}$ trova un'equazione per $y^{-1}$
Direi che per fare i discorsi sopra uno ipotizza che $y$ sia invertibile (bisognera' alla fine vedere se torna) e usando la formula sulla derivata di $y^{-1}$ trova un'equazione per $y^{-1}$
Ho riletto per l'ennesima volta la dispensa "chi è dx?" E ora mi sorge spontanea questa domanda: A cosa serve? Fino ad ora mi sembra che ad eccezione dell'uso IMPROPRIO che se ne fa nel metodo urang utang non abbia particolari applicazioni. O molto probabilmente ha tantissime applicazioni che io devo ancora scoprire
Che posso dire...Fioravanti for President!!!
Io stò cercando di studiare le equazioni in questione e sinceramente stò per impazzire....
Adesso grazie questo incantevole foro ho trovato queste dispense...spero di capire almeno l'essenziale
Comunque complimenti vivissimi, sono davvero ben fatte...E in più sono anche moooolto divertenti (ancora ho letto solo la prima dispensa
)
P.S: Io vorrei Fioravanti come Prof!!!!
Ciao Ciao
Io stò cercando di studiare le equazioni in questione e sinceramente stò per impazzire....
Adesso grazie questo incantevole foro ho trovato queste dispense...spero di capire almeno l'essenziale
Comunque complimenti vivissimi, sono davvero ben fatte...E in più sono anche moooolto divertenti (ancora ho letto solo la prima dispensa
) P.S: Io vorrei Fioravanti come Prof!!!!
Ciao Ciao
"Samy21":
P.S: Io vorrei Fioravanti come Prof!!!!
Credo sia un poco difficile dacché Fioravanti padre è commentatore televisivo per le discipline di nuoto trasmesse dalla RAI e il Fioravanti figlio è un ex olimpionico che adesso né gareggia né commenta
"WiZaRd":
[quote="Samy21"]
P.S: Io vorrei Fioravanti come Prof!!!!
Credo sia un poco difficile dacché Fioravanti padre è commentatore televisivo per le discipline di nuoto trasmesse dalla RAI e il Fioravanti figlio è un ex olimpionico che adesso né gareggia né commenta
[/quote]Potrebbe anche riferirsi a tal Mario Fioravanti che insegna credo in Spagna.
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