Sistemi di disequazioni

[Bad90]

Ho risolto il seguente sistema di disequazioni, non ho avuto problemi nel risolverli, solo che sto avendo un po di problemini nel dare la soluzione finale
Non mi dilungo nei passaggi, data la semplicità esecutiva delle disequazioni......

$ { ( 2x^2-5x-3>0 ),( x^2-4<0 ),( 2x+3>0 ):} $

Risolvo la prima.

Utilizzo l'equazione associata, correggetemi se sbaglio, ma si fa questo in quanto si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:

$ 2x^2-5x-3>0 $

Mi porta alle $ x $ che sono

$ x> -1/2; x> 3 $

In questo primo caso, la disequazione è verificata per gli intervalli

$ x<-1/2; x > 3 $

Risolvo la seconda.

$ x^2-4<0 $

Si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:

$ x^2-4 = 0 $

Che mi porta ad avere le soluzioni

$ x>2;x> -2 $

Bene, ho già detto che in questa disequazione di secondo grado, vi è una potenza pari $ x^2 $ , quindi si potrà risolvere l'equazione associata $ x^2-4=0 $ . Le due soluzioni $ x_1>+2 $ e $ x_2> -2 $ . Queste indicano che il $ Delta>0 $ , e siccome $ a=1>0 $ e il segno della disequazione è $ <0 $ , i due segni sono discordi e quindi la disequazione è verificata nell'intervallo $ -2
Risolvo la terza.

$ 2x+3>0 $

Mi porta al seguente risultato:

$ x> -3/2 $

In questo caso, la disequazione è verificata per tutto $ R $ , quindi $ x in R $ , infatti ho unica linea continua verso destra, quindi prende tutti i valori positivi, dite che ho detto bene per questa terza disequazione?

Adesso devo arrivare alla conclusione finale
Cosa devo dire? Come bisogna esprimersi?

Sempre se tutto quello che ho scritto sopra fila bene , cerco di trarre le conclusioni e spero di non dire eresie.....
Ho tracciato il grafico dei segni, ed ho cercato i settori che verificati in primis singolarmente, danno contemporaneamente "tutte e tre" delle zone verificate in comune! Quella zona è $ -3/2
Dite che ho detto tutto correttamente?

Grazie mille!

[chiaraotta1]

Con qualche correzione ....

"Bad90":
...
$ { ( 2x^2-5x-3>0 ),( x^2-4<0 ),( 2x+3>0 ):} $

Risolvo la prima.

Utilizzo l'equazione associata:

$2x^2-5x-3=0$

$Delta=49>0$

Calcolo le radici che sono

$x_1= -1/2; x_2= 3$

In questo caso ($a=2>0, Delta>0, verso >0$) la disequazione è verificata per

$x<-1/2; x > 3$


Risolvo la seconda.


$x^2-4<0$

Utilizzo l'equazione associata:

$x^2-4=0$

$Delta=16>0$

Calcolo le radici che sono

$x_1= -2; x_2= 2$

In questo caso ($a=1>0, Delta>0, verso <0$) la disequazione è verificata per

$-2
Risolvo la terza.

$2x+3>0$

Mi porta al seguente risultato:

$ x> -3/2$

Rappresento in una tabella le regioni in cui sono verificate le diverse disequazioni ($=$) e individuo le regioni in cui sono verificate simultaneamente:

$|( , -2, ,-3/2, , -1/2, , 2, , 3, ,),(=, \|, =, \|, =, \|, , \|, , \|, =, 2x^2-5x-3>0),( , \|, =, \|, =, \|, =, \|, , \|, , x^2-4<0),( , \|, , \|, =, \|, =, \|, =, \|, =, 2x+3>0),( , \|, , \|, =, \|, , \|, , \|, , text(intersezione))|$

L'intersezione si ha per $-3/2

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[Bad90]

Ciao chiarotta, ho aggiornato l'ultima parte delle soluzioni, dici che va bene?
Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":......
l'equazione associata:

$ 2x^2-5x-3>0 $

Se è un'equazione, allora $ 2x^2-5x-3=0 $

"Bad90":
Mi porta alle $ x $ che sono

$ x> -1/2; x> 3 $

Le soluzioni dell'equazione associata sono $ x= -1/2; x= 3 $

"Bad90":

Si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:

$ x^2-4 = 0 $

Che mi porta ad avere le soluzioni

$ x>2;x> -2 $

Le soluzioni dell'equazione associata sono $ x=-2;x=2$

"Bad90":
$ 2x+3>0 $

Mi porta al seguente risultato:

$ x> -3/2 $

In questo caso, la disequazione è verificata per tutto $ R $ , quindi $ x in R $ ...

Ma come " la disequazione è verificata per tutto $ R $"? Non era verificata per $ x> -3/2 $?

"Bad90":
Ho tracciato il grafico dei segni, ed ho cercato i settori che verificati in primis singolarmente, danno contemporaneamente "tutte e tre" delle zone verificate in comune! Quella zona è $ -3/2

Non capisco, che vuol dire "mentre il resto delle soluzioni è $ S= O/ $"?

[Bad90]

"chiaraotta":Mi porta al seguente risultato:

$ x> -3/2 $

In questo caso, la disequazione è verificata per tutto $ R $ , quindi $ x in R $ ...

Ho fatto confusione, perchè ho pensato inizialmente la soluzione corretta, cioè che è verificata per $ x> -3/2 $ solo che poi mi sono confuso con il fatto che il settore positivo verso destra, sarebbe stato $ x in R $, solo che questo sarebbe stato possibile solo se es. fosse stato $ x>3/2 $ , giusto?

[Bad90]

"chiaraotta":Non capisco, che vuol dire "mentre il resto delle soluzioni è $ S= O/ $"?

Ho detto questo, perchè se l'unica soluzione è $ -3/2
Allora ho detto che $ S= O/ $.

Non è così?

[chiaraotta1]

"Bad90":
Ho fatto confusione, perchè ho pensato inizialmente la soluzione corretta, cioè che è verificata per $ x> -3/2 $ solo che poi mi sono confuso con il fatto che il settore positivo verso destra, sarebbe stato $ x in R $, solo che questo sarebbe stato possibile solo se es. fosse stato $ x>3/2 $ , giusto?

Scusa, ma proprio non riesco a capire quello che vuoi dire. In ogni caso mi sembra che, se siamo d'accordo sul fatto che le soluzioni di $2x+3>0$ siano $x > -3/2$, allora basta.....

"Bad90":[quote="chiaraotta"]Non capisco, che vuol dire "mentre il resto delle soluzioni è $ S= O/ $"?

Ho detto questo, perchè se l'unica soluzione è $ -3/2
Allora ho detto che $ S= O/ $.

Non è così? [/quote]

Mi sembra che, "se l'unica soluzione è $ -3/2

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[Bad90]

Scusami non voglio creare confusione....
Sono pienamente d'accordo con quello che mi hai detto
Se le soluzioni sono quelle, allora sono solo quelle!

Cercherò di modificare questo mio modo di ragionare nel risolvere gli esercizi.....

Ti ringrazio!

[Bad90]

Dunque, ho risolto il seguente sistema di disequazioni, e penso di riuscire a darmi una risposta al risultato $ S= O/ $
Il sistema di disequazioni è:

$ { ( 4(x+2)+1<5(x+1)+3x-15 ),( 3x^2+2(2x+1)<0 ):} $

Non mi metto a scrivere tutti i passaggi in quanto il risultato finale coincide con quello del testo, arrivo subito al dunque.

$ { ( 4x-19>0 ),( 3x^2+4x+2<0 ):} $

A colpo d'occhio noto già la soluzione, quindi non bisogna fare niente altro che dire $ S= O/ $ perchè la seconda disequazione è posta $ <0 $ ma si sa benissimo che è una disuguaglianza che è sempre positiva, quindi è falsa!
Segue, e penso che segue $ S= O/ $

Cosa ne dite?
Grazie mille!

[chiaraotta1]

Nel trinomio $3x^2+4x+2$ si ha che $a=3>0$ e $Delta/4=4-6=-2<0$. Quindi il trinomio è $>0$ per ogni $x$ e la disequazione $3x^2+4x+2<0$ non ha soluzioni. Di conseguenza l'intersezione delle soluzioni della prima disequazione con queste è $S=O/$.

[Bad90]

"chiaraotta":Nel trinomio $3x^2+4x+2$ si ha che $a=3>0$ e $Delta/4=4-6=-2<0$. Quindi il trinomio è $>0$ per ogni $x$ e la disequazione $3x^2+4x+2<0$ non ha soluzioni. Di conseguenza l'intersezione delle soluzioni della prima disequazione con queste è $S=O/$.

Chiarotta, ti invidio
In meno di 3 riga hai spiegato dettagliatamente il mio romanzo! Grazie mille!

[Bad90]

Vorrei avere le idee più chiare sulla seguente disequazione avente $ S= O/ $ , sono arrivato alla stessa conclusione, solo che vorrei chiarire un punto.

$ { ( (x+2)^2+(x+1)^2>41 ),( (4-x)^2+(2x-1)^2<10 ):} $

Si arriva a questa:

$ { ( 2x^2+6x-36>0 ),( 5x^2-12x+7<0 ):} $

Osservando la seconda disequazione, mi viene subito in mente che è falsa perchè sarà sempre $ >0 $ , bene , e io ho pensato va bene come soluzione $ S= O/ $

Ho voluto comunque risolvere la seconda disequazione che mi ha dato i seguenti valori $ x>7/5;x>1 $ (è corretto dire valori? oppure bisogna chiamarli risultati? ).
Ho notato che non vi erano settori in comune, quindi è lo stesso $ S= O/ $

Adesso mi chiedo, cosa sarebbe bastato fare per dire la giusta soluzione? Risolverla a colpo d'occhio sapendo che è falsa perchè è $ <0 $ quando invece è sempre $ >0 $ (Personalmente io sarei d'accordo sul fare così! )
Oppure bisogna risolverla e ricavare le x e vedere i settori comuni?

Grazie mille!

[Bad90]

Ancora un caso di $ S= O/ $

$ { ( 1/3x(x-1)>x+8/3 ),( (3x-1)^2+(x-3)(x+2)+2x<0 ):} $

Mi porta a

$ { ( x^2-4x-8>0) ,( 2x^2-x-1<0 ):} $

Osservo la seconda disequazione e penso che non potrà mai essere $ <0 $ , tutto al più può essere $ >=0 $

Basta questo per dire che $ S= O/ $

[Gi81]

E perchè ma la seconda disequazione non potrà mai essere minore di zero?

Se $x=0$ abbiamo $-1$, che è minore di $0$.

[Bad90]

"Gi8":E perchè ma la seconda disequazione non potrà mai essere minore di zero?

Se $x=0$ abbiamo $-1$, che è minore di $0$.

Mi sa che hai proprio ragione!
Non ho pensato di porre $ x=0 $

Comunque risolvendola sono arrivato alle seguenti $ x $ :

Per la prima avrò: $ x_1>2+2sqrt(3) $ $ ^^ x_2>2-2sqrt(3) $

Per la seconda avrò le seguenti $ x_1>1 ^^ x> -1/2 $

Segue $ S= O/ $


Ti ringrazio!

[Gi81]

Sono sbagliati alcuni segni $>$

[chiaraotta1]

"Bad90":....

$ { ( (x+2)^2+(x+1)^2>41 ),( (4-x)^2+(2x-1)^2<10 ):} $

Si arriva a questa:

$ { ( 2x^2+6x-36>0 ),( 5x^2-12x+7<0 ):} $
....

${((x+2)^2+(x+1)^2>41),((4-x)^2+(2x-1)^2<10):} ->{(2x^2+6x-36>0),(5x^2-12x+7<0):}-> {(x^2+3x-18>0),(5x^2-12x+7<0):}$.

Per risolvere la disequazione $x^2+3x-18>0$ utilizzo l'equazione associata $x^2+3x-18=0$. Calcolo $Delta=9-4(-18)=81=9^2>0$. Quindi le radici che sono $x_1=-6, x_2=3$. In questo caso ($a=1>0, Delta>0, verso>0$) la disequazione è verificata per $x<-6 vv x>3$.

Per risolvere la disequazione $5x^2-12x+7<0$ utilizzo l'equazione associata $5x^2-12x+7=0$. Calcolo $Delta/4=36-5(7)=1>0$. Quindi le radici che sono $x_1=1, x_2=7/5$. In questo caso ($a=1>0, Delta>0, verso<0$) la disequazione è verificata per $1
Rappresento in un grafico le soluzioni e ne cerco l'intersezione:

$|( , -6, ,1, , 7/5, , 3, , ),(=, \|, , \|, , \|, , \|, =, x^2+3x-18>0),( , \|, , \|, =, \|, , \|, , 5x^2-12x+7<0),( , \|, , \|, , \|, , \|, , text(intersezione))|$.

Le soluzioni delle due disequazioni non si intersecano e quindi il sistema non ha soluzioni: $S=O/$.

[Bad90]

Io pensavo che la seguente $ 5x^2-12x+7<0 $ non poteva essere minore di zero

Grazie mille!

[Bad90]

"Gi8":Sono sbagliati alcuni segni $>$

No, sono le $ x $ ma non ho verificato le disequazioni!

[chiaraotta1]

"Bad90":
...
$ { ( x^2-4x-8>0) ,( 2x^2-x-1<0 ):} $
...

Per risolvere la disequazione $x^2-4x-8>0$ utilizzo l'equazione associata $x^2-4x-8=0$. Calcolo $Delta/4=4+8=12>0$. Quindi le radici che sono $x_1=2-2sqrt(3),\ x_2=2+2sqrt(3)$. In questo caso ($a=1>0, \ Delta>0, verso>0$) la disequazione è verificata per $x<2-2sqrt(3) vv x>2+2sqrt(3)$.

Per risolvere la disequazione $2x^2-x-1<0$ utilizzo l'equazione associata $2x^2-x-1=0$. Calcolo $Delta=1-4*2*(-1)=9=3^2>0$. Quindi le radici che sono $x_1=-1/2, \ x_2=1$. In questo caso ($a=2>0, Delta>0, verso<0$) la disequazione è verificata per $-1/2
Rappresento in un grafico le soluzioni e ne cerco l'intersezione:

$|( , 2-2sqrt(3), ,-1/2, , 1, , 2+2sqrt(3), , ),(=, \|, , \|, , \|, , \|, =, x^2-4x-8>0),( , \|, , \|, =, \|, , \|, , 2x^2-x-1<0),( , \|, , \|, , \|, , \|, , text(intersezione))|$.

Le soluzioni non si intersecano e quindi il sistema non ha soluzioni: $S=O/$.

[Bad90]

Grazie mille, avevo pensato male nel dare la soluzione $ S= O/ $