Sistemi di disequazioni

[Bad90]

Ho risolto il seguente sistema di disequazioni, non ho avuto problemi nel risolverli, solo che sto avendo un po di problemini nel dare la soluzione finale
Non mi dilungo nei passaggi, data la semplicità esecutiva delle disequazioni......

$ { ( 2x^2-5x-3>0 ),( x^2-4<0 ),( 2x+3>0 ):} $

Risolvo la prima.

Utilizzo l'equazione associata, correggetemi se sbaglio, ma si fa questo in quanto si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:

$ 2x^2-5x-3>0 $

Mi porta alle $ x $ che sono

$ x> -1/2; x> 3 $

In questo primo caso, la disequazione è verificata per gli intervalli

$ x<-1/2; x > 3 $

Risolvo la seconda.

$ x^2-4<0 $

Si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:

$ x^2-4 = 0 $

Che mi porta ad avere le soluzioni

$ x>2;x> -2 $

Bene, ho già detto che in questa disequazione di secondo grado, vi è una potenza pari $ x^2 $ , quindi si potrà risolvere l'equazione associata $ x^2-4=0 $ . Le due soluzioni $ x_1>+2 $ e $ x_2> -2 $ . Queste indicano che il $ Delta>0 $ , e siccome $ a=1>0 $ e il segno della disequazione è $ <0 $ , i due segni sono discordi e quindi la disequazione è verificata nell'intervallo $ -2
Risolvo la terza.

$ 2x+3>0 $

Mi porta al seguente risultato:

$ x> -3/2 $

In questo caso, la disequazione è verificata per tutto $ R $ , quindi $ x in R $ , infatti ho unica linea continua verso destra, quindi prende tutti i valori positivi, dite che ho detto bene per questa terza disequazione?

Adesso devo arrivare alla conclusione finale
Cosa devo dire? Come bisogna esprimersi?

Sempre se tutto quello che ho scritto sopra fila bene , cerco di trarre le conclusioni e spero di non dire eresie.....
Ho tracciato il grafico dei segni, ed ho cercato i settori che verificati in primis singolarmente, danno contemporaneamente "tutte e tre" delle zone verificate in comune! Quella zona è $ -3/2
Dite che ho detto tutto correttamente?

Grazie mille!

[Bad90]

Scusate, non mi viene in mente un concetto mentre sto risolvendo un sistema di disequazione.......
Se ho una disequazione frazionaria, tipo questa:

$ (x^2-1)/(x^2+1)>0 $

So benissimo che il numeratore sara' verificato per $ x>1;x<-1 $ ma so pure che il denominatore sara' sempre positivo "obbligatoriamente", perfetto, ma come si rappresenta sul grafico dei segni il denominatore?

Grazie mille.

[chiaraotta1]

"Bad90":....
$ (x^2-1)/(x^2+1)>0 $

So benissimo che il numeratore sara' verificato per $ x>1;x<-1 $
....

Non è che il numeratore sia verificato. Il numeratore è $>0$ per $ x>1;x<-1 $ ...


Comunque, se la disequazione è $(x^2-1)/(x^2+1)>0$, la tabella dei segni di numeratore e denominatore è

$|( , -1, , 1, ,),( +, \|, -, \|, +, x^2-1),( +, \|, +, \|, +, x^2+1),(+, \|, -, \|, +, (x^2-1)/(x^2+1))|$.

Poiché si cerca dove il rapporto è $>0$, le soluzioni sono $x<-1 vv x>1$.

[Bad90]

Allora il denominatore si puo' rappresentare con una linea continua che attraversa tutto il grafico?
Grazie mille.

[chiaraotta1]

"Bad90":.. il denominatore si puo' rappresentare con una linea continua che attraversa tutto il grafico?
....

A me pare molto più evidente un grafico in cui ci sono dei $+$ o dei $-$ nelle diverse regioni, piuttosto che linee continue o tratteggiate. Quindi io faccio i grafici come li ho postati qui.

[Bad90]

Ok, scusami la confusione che ho fatto!
Grazie mille!

[Bad90]

Provo a fare questo esercizio e spero che tutti gli step esecutivi saranno giusti

Risolvere il seguente sistema di disequazioni frazionarie:

$ { ( (2)/(x^2+2)>=0 ),( (x^2-4x+3)/(3x+2)<0 ):} $

Prima disequazione.

Per $ N>=0 $ sarà $ 2>=0 $ sarà sempre vera.
Per $ D>0 $ sarà $ x^2+2>0 $ sempre.

Poichè $ N $ ed $ D $ sono sempre positivi, la disequazione è sempre verificata per qualsiasi valore di $ x $

Correggetemi se sbaglio,

Seconda disequazione.

Per $ N>0 $ sarà $ x>1; x>3 $ sarà verificata insieme $ D>0 $ per $ 1 Va bene fin quì?

Concludo......
Essendo la prima disequazione sempre vera, il sistema è verificato per $ x<-2/3 $ e $ 1
Ho detto tutto correttamente?

Vi ringrazio anticipatamente!

[chiaraotta1]

Risolvere il seguente sistema di disequazioni frazionarie:

$ { ( (2)/(x^2+2)>=0 ),( (x^2-4x+3)/(3x+2)<0 ):} $

Prima disequazione.
$(2)/(x^2+2)>=0$

$ N>=0 $ se $ 2>=0 $, il che è sempre vero.
$ D>0 $ se $ x^2+2>0$, il che è sempre vero.

Poichè $ N $ ed $ D $ sono sempre positivi, la disequazione è verificata per qualsiasi valore di $ x $

Seconda disequazione.
$ (x^2-4x+3)/(3x+2)<0$

Per studiare il segno del numeratore $x^2-4x+3$ utilizzo l'equazione associata $x^2-4x+3=0$.
Calcolo $Delta/4=4-3=1>0$.
Quindi le radici che sono $x_1=1,\ x_2=3$.
In questo caso ($a=1>0, \ Delta>0$) il numeratore è $>0$ per $x<1 vv x>3$.

Studio il segno del denominatore $3x+2$.
Il denominatore è $>0$ per $x> -2/3$.

A questo punto faccio la tabella dei segni:
$|( , -2/3, , 1, , 3, ,),( +, \|, +, \|, -, \|, +, x^2-4x+3),( -, \|, +, \|, +, \|, +, 3x+2),( -, \|, +, \|, -, \|, +, (x^2-4x+3)/(3x+2))|$

Poiché la disequazione è
$(x^2-4x+3)/(3x+2)<0$,
le soluzioni corrispondono alle regioni con il segno $-$.
Quindi: $x< -2/3 vv 1
Essendo la prima disequazione sempre vera, il sistema è verificato per $ x< -2/3 $ e $1

Cita

Segnala

[Bad90]

Perfetto, sono contento di aver fatto bene!
Grazie mille!

[Bad90]

Risolvo la seguente:

$ { ( (-x^2-3x)/(7)-1<0 ),( (x+1)/2-(x+3)/3>0 ):} $

Prima disequazione:

$ x^2+3x+7>0 $ ha un $ Delta>0 $ con $ a>0 $ è una disequazione che sarà sempre positiva.

Seconda disequazione:

$ x-3>0 $ sarà $ x>3 $

L'insieme soluzioni sarà $ S=x>3 $

Il mio dubbio è riguardo alla prima disequazione
E' una disequazione sempre positiva, è questo non è un dubbio, nessun punto della parabola sarà intersezione di $ x $ e nemmeno questo è n dubbio!

Ma come posso giustificare il seguente risultato $ S=x>3 $
Non ce bisogno di fare il grafico?

Secondo me si può arrivare alla conclusione senza fare il grafico, voi cosa ne dite

Grazie mille!

[Bad90]

Non mi è chiara il seguente sistema:

$ { ( 2x(x-4)>x+11 ),( (8)/(x^2-6x)+3/x+1<0 ):} $

Prima disequazione:

$ 2x^2-9x-11>0 $ risolvo l'equazione associata $ x_1=11/2;x_2=-1 $ quindi sarà verificata per $ x>11/2;x<-1 $

Seconda disequazione

Per $ N>0 $ risolvo l'equazione associata $ x_1=5;x_2=-2 $ quindi sarà verificata per $ x>5;x<-2 $

Per $ D>0 $ risolvo la disequazione $ x_1=0;x_2= 6$ quindi sarà verificata per $ x>6;x<-0 $

Quindi essendo la disequazione $ <0 $ sarà verificata da $ 0
Come faccio a dare la conclusione finale? Non ci sto riuscendo

Insomma io sto cercando di prendere i settori che verificano le disequazioni e che sono in comune, ma niente!
Il testo mi dice che la soluzione è

$ -2
Non sto riuscendo a capire

Provo a dire qualche mia supposizione che mi viene in mente osservando il risultato.....

Se io verifico il la disequazione del numeratore o il denominatore, singolarmente, non ho alcun problema, nemmeno se considero un solo numeratore o un solo denominatore, perfetto fin quì, il metodo è chiarissimo
Se ho come in questo caso una doppia soluzione della prima disequazione ed ho 4 soluzione della seconda disequazione, mi danno nel complessivo 6 valori di $ x $ , che messi insieme nel grafico dei segni, andrò ad utilizzare il metodo dei segni e bla bla bla..... perfetto fin quì!

Ma adesso alla fine del grafico, dopo aver tracciato le 6 linee, e fatto la moltiplicazione dei segni, in fondo al grafico ho questa sequanza di segni:

$ + .... - .... + .... - .... + .... - .... + $

A cosa devo credere per il corretto risultato?
Dovrò credere che se la prima disequazione è positiva e sempre verificata e quindi devo riferirmi alla seconda disequazione e trovare i settori negativi e quindi $ -2

Ho provato a dire qualcosa, ma non ne sono sicuro!


Grazie anticipatamente!

[chiaraotta1]

"Bad90":
....

$ x^2+3x+7>0 $ ha un $ Delta>0 $ con $ a>0 $ è una disequazione che sarà sempre positiva.

No. $Delta = 9-4*7=9-28=-19<0$.
Poiché $a=1>0$ e $Delta<0$, allora $x^2+3x+7>0$ per ogni $x$.

"Bad90":

Seconda disequazione:

$ x-3>0 $ sarà $ x>3 $

....

Quindi l'intersezione delle soluzioni coincide con le soluzioni della seconda. Per cui è $S=x>3$ .

[Bad90]

Scusami ma ho sbagliato a scrivere il $ Delta $ , volevo dire lo stesso che hai detto tu!
Grazie per avermi corretto!

[Bad90]

Adesso mi sono affossato con questa:

$ { ( (2x-5)/(x^2-5x+4)<0 ),( (3x-4)/(x^2-3x)<2 ):} $

La prima disequazione mi porta a

$ N>0 $ con $ x>5/2 $ verificato per $ x>5/2 $

$ D>0 $ con $ x>4 $ e $ x>1 $ verificato per $ x>4 $ e $ x<1 $

La prima disequazione essendo $ <0 $ sarà verificata per $ x<1 $ e $ 5/2
La seconda disequazione mi porta a

$ (2x^2-9+4)/(x(x-3))>0 $

$ N>0 $ con $ x>4;x>1/2 $ verificato per $ x>4 $ e $ x<1/2 $

$ D>0 $ con $ x>0 $ e $ x>3 $ verificato per $ x>3 $ e $ x<0 $

La seconda disequazione essendo $ >0 $ sarà verificata per $ x<0 $ e $ 1/24$

La conclusione mi torna difficoltosa!
Come bisogna determinare il risultato complessivo?

Non mi è chiara la chiave risolutiva di questa disequazioni frazionarie!
Penso che si tratta di confusione dovuta a troppe line nel grafico?!?!?!

[Bad90]

Scusate, falso allarme, ho rifatto gli schemi con piu' chiarezza e sono riuscito a risolverle, ma grazie lo stesso.

[chiaraotta1]

"Bad90":
$ { ( 2x(x-4)>x+11 ),( (8)/(x^2-6x)+3/x+1<0 ):} $

La prima disequazione $2x^2-9x-11>0$ ha soluzioni $x<-1 vv x>11/2$.

Risolvo la seconda disequazione
$8/(x^2-6x)+3/x+1<0->8/(x(x-6))+3/x+1<0->(8+3(x-6)+1(x^2-6x))/(x(x-6))<0->(x^2-3x-10)/(x(x-6))<0$

Studio il segno del numeratore utilizzando l'equazione associata $x^2-3x-10=0$.
Calcolo $Delta=8+40=49=7^2>0$.
Calcolo le radici $x_1=-2, \ x_2=5$.
Poiché $a=1>0$ e $Delta>0$, il numeratore è $>0$ per $x< -2 vv x>5$.

Studio il segno del denominatore utilizzando l'equazione associata $x^2-6x=0$.
Calcolo $Delta/4=9=3^2>0$.
Calcolo le radici $x_1=0, \ x_2=6$.
Poiché $a=1>0$ e $Delta>0$, il denominatore è $>0$ per $x< 0 vv x>6$.

Faccio una tabella dei segni:

$|( , -2, , 0, , 5, , 6, ,), ( +, \|, -, \|, -, \|, +, \|, +, x^2-3x-10), ( +, \|, +, \|, -, \|, -, \|, +, x^2-6x), ( +, \|, -, \|,+, \|, -, \|, +, (x^2-3x-10)/(x^2-6x))|$.

Poiché la disequazione ha verso $<0$, prendo le regioni in cui c'è il segno $-$.
Le soluzioni quindi sono $-2
Rappresento in un grafico le soluzioni delle due disequazioni e ne cerco l'intersezione:

$|( , -2, , -1, , 0, ,5, , 11/2, , 6, , ),( =, \|,= , \|,, \|, , \|, , \|,= , \|, =, 2x^2-9x-11>0),( , \|,=, \|,=, \|, , \|, =, \|,=, \|, , (x^2-3x-10)/(x(x-6))<0),( , \|,= , \|, , \|, , \|, , \|,= , \|, , text(intersezione))|$

"Bad90":
...
la soluzione è

$ -2

[Bad90]

Grazie mille per aver fatto maggior chiarezza. Comunque mi restano altre 4 o 5 pagine di esercizi e poi darò inizio alla geometria analitica, esponenziali e logaritmi!
Spero di finire quanto prima queste ultime pagine, così posso continuare con gli argomenti!

[Bad90]

Giusto una domanda...
Sto cercando di prendere dimestichezza con il risolvere a colpo d'occhio gli esercizi, va bene quanto segue?

$ x^2-2x+6>0 $

Ha il $ Delta<0 $ ma la disequazione è sempre vera per qualsiasi $ x $ !



Grazie mille!

[Bad90]

Se ho la seguente disequazione $ 3x^2-5x+6>=0 $ avrò il $ Delta<0 $ ma la disequazione è falsa perchè sarà sempre $ >0 $ e mai $ =0 $

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
$ x^2-2x+6>0 $
Ha il $ Delta<0 $ ma la disequazione è sempre vera per qualsiasi $ x $ !
..

Caso $a=1>0, \ Delta/4=1-6=-5<0, \ verso >0$ la disequazione è vera per qualsiasi $x$.

"Bad90":
...
$ 3x^2-5x+6>=0 $ avrò il $ Delta<0 $ ma la disequazione è falsa perchè sarà sempre $ >0 $ e mai $ =0 $
....

Caso $a=3>0, \ Delta=25-4*3*6=-47<0, \ verso >=0$ la disequazione è vera. Infatti per qualsiasi $x$ $3x^2-5x+6$ è $>0$..

[Bad90]

"chiaraotta":
Caso $a=3>0, \ Delta=25-4*3*6=-47<0, \ verso >=0$ la disequazione è vera. Infatti per qualsiasi $x$ $3x^2-5x+6$ è $>0$..

Ma non potrà mai essere $ =0 $ !
Per quel motivo ho detto che non sarebbe stata vera.....
Non mi è chiaro il perchè della tua "sicuramente giusta" conclusione