Sistemi di disequazioni

[Bad90]

Ho risolto il seguente sistema di disequazioni, non ho avuto problemi nel risolverli, solo che sto avendo un po di problemini nel dare la soluzione finale
Non mi dilungo nei passaggi, data la semplicità esecutiva delle disequazioni......

$ { ( 2x^2-5x-3>0 ),( x^2-4<0 ),( 2x+3>0 ):} $

Risolvo la prima.

Utilizzo l'equazione associata, correggetemi se sbaglio, ma si fa questo in quanto si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:

$ 2x^2-5x-3>0 $

Mi porta alle $ x $ che sono

$ x> -1/2; x> 3 $

In questo primo caso, la disequazione è verificata per gli intervalli

$ x<-1/2; x > 3 $

Risolvo la seconda.

$ x^2-4<0 $

Si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:

$ x^2-4 = 0 $

Che mi porta ad avere le soluzioni

$ x>2;x> -2 $

Bene, ho già detto che in questa disequazione di secondo grado, vi è una potenza pari $ x^2 $ , quindi si potrà risolvere l'equazione associata $ x^2-4=0 $ . Le due soluzioni $ x_1>+2 $ e $ x_2> -2 $ . Queste indicano che il $ Delta>0 $ , e siccome $ a=1>0 $ e il segno della disequazione è $ <0 $ , i due segni sono discordi e quindi la disequazione è verificata nell'intervallo $ -2
Risolvo la terza.

$ 2x+3>0 $

Mi porta al seguente risultato:

$ x> -3/2 $

In questo caso, la disequazione è verificata per tutto $ R $ , quindi $ x in R $ , infatti ho unica linea continua verso destra, quindi prende tutti i valori positivi, dite che ho detto bene per questa terza disequazione?

Adesso devo arrivare alla conclusione finale
Cosa devo dire? Come bisogna esprimersi?

Sempre se tutto quello che ho scritto sopra fila bene , cerco di trarre le conclusioni e spero di non dire eresie.....
Ho tracciato il grafico dei segni, ed ho cercato i settori che verificati in primis singolarmente, danno contemporaneamente "tutte e tre" delle zone verificate in comune! Quella zona è $ -3/2
Dite che ho detto tutto correttamente?

Grazie mille!

[Gi81]

Bene, mi fa piacere
Ora passiamo al secondo sistema: ${(C(x)>=0),(D(x)>=0),(C(x)
Siccome sia $C(x)$ che $D(x)$ sono non negativi,
possiamo elevare al quadrato l'ultima disequazione: $[C(x)]^2
Quindi si ha ${(C(x)>=0),(D(x)>=0),([C(x)]^2 A questo punto puoi notare che la condizione $D(x)>=0$ è inutile,
perchè l'ultima disequazione dice già che $D(x)$ è maggiore di $[C(x)]^2$ (che è certamente una quantità positiva).

Ecco, il sistema diventa ${(C(x)>=0),([C(x)]^2

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[Bad90]

Perfetto, adesso è tutto chiaro!
L'altra cosa che non sto capendo è...., cosa ti fa capire che si usa l'intersezione o l'unione
Ti ringrazio!

[Bad90]

Non sto riuscendo a risolvere la seguente disequazione:

$ x/(sqrt2)+ (sqrt(2))/(sqrt(2)-2)>x -(1)/(2-sqrt(2)) $

Help!

[chiaraotta1]

$ x/sqrt(2)+ sqrt(2)/(sqrt(2)-2)>x -1/(2-sqrt(2)) $
$x- x/(sqrt2)< (sqrt(2))/(sqrt(2)-2)+(1)/(2-sqrt(2)) $
$x(1-1/sqrt(2))< (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)-2) $
$x(sqrt(2)-1)/sqrt(2)< -(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)(sqrt(2)-1)) $
$x(sqrt(2)-1)/sqrt(2)< -1/sqrt(2) $
$x(sqrt(2)-1)< -1 $
$x< -1/(sqrt(2)-1)=-(sqrt(2)+1) $

[Bad90]

Non sto capendo l'ultimo passaggio, insomma come hai fatto a portare al numeratore quel valore che poi hai cambiato di segno facendolo diventare $ sqrt2 +1 $ ????

[Pianoth]

Ha razionalizzato:
$(-1)/(sqrt(2)-1)=((-1)(sqrt(2)+1))/((sqrt(2)-1)(sqrt(2)+1))=(-(sqrt(2)+1))/(2-1)=-(sqrt(2)+1)$

[Bad90]

"Pianoth":Ha razionalizzato:
$(-1)/(sqrt(2)-1)=((-1)(sqrt(2)+1))/((sqrt(2)-1)(sqrt(2)+1))=(-(sqrt(2)+1))/(2-1)=-(sqrt(2)+1)$

Accipicchia, adesso ricordo che esiste la razionalizzazione!
Penso che ci vorrà qualche giorno per ritornare in sesto con la matematica

Ti ringrazio!

[Bad90]

Scusa ma non sto capendo da questo passaggio:

$x- x/(sqrt2)< (sqrt(2))/(sqrt(2)-2)+(1)/(2-sqrt(2)) $

Cosa ha fatto al secondo membro per arrivare alla seguente?

$x(1-1/sqrt(2))< (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)-2) $

[chiaraotta1]

$sqrt(2)/(sqrt(2)-2)+1/(2-sqrt(2))=sqrt(2)/(sqrt(2)-2)-1/(sqrt(2)-2)=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)-2)$.

[Bad90]

"chiaraotta":$sqrt(2)/(sqrt(2)-2)+1/(2-sqrt(2))=sqrt(2)/(sqrt(2)-2)-1/(sqrt(2)-2)=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)-2)$.

Accipicchia, e sulla base di cosa hai fatto quel passaggio

Mi sembra che hai moltiplicato per $ -1 $
Ho capito che hai moltiplicato per $ -1 $, ma come fai a farti venire in mente queste regole Insomma, a cosa pensi per riuscire a districarti

[Bad90]

E invece nell'ultimo passaggio, cosa hai fatto

$x< -1/(sqrt(2)-1)=-(sqrt(2)+1) $

Non sto capendo quale metodo hai utilizzato per arrivare a quella conclusione
Penso che tu abbia razionalizzato moltiplicando per $ 1+sqrt2 $ !

Giusto

[Bad90]

Sto cercando di capire la seguente disequazione...

Se mi capita di avere la seguente disequazione:

$ (2x-3)(x^2 - 2x - 3)(2x^2 - 3x +1)<0 $

Penso che posso arrivare alle soluzioni prendendo singolarmente le parentesi, giusto?

$ (2x-3)<0 $

$ (x^2 - 2x - 3)<0 $

$(2x^2 - 3x +1)<0 $

E risolvendo singolarmente prendendo le soluzioni comuni??????

Insomma, quando faccio il grafico dei segni, cosa devo prendere come soluzione?
Il testo mi dice che le soluzioni sono:

$ x<-1 $ , $ 1/2
A me sembra che in queste zone, facendo il grafico dei segni, le zone portano ad un risultato positivo della disequazione, almeno quando prendo l'intersezione!

Insomma, come posso fare per capire il risultato che mi da il testo
Facendo il vrafico dei segni, che zone devo cercare???

[chiaraotta1]

Per risolvere la disequazione
$(2x-3)(x^2 - 2x - 3)(2x^2 - 3x +1)<0$,
riscrivo i fattori che compaiono a primo membro:
$2x-3=2(x-3/2)$,
$x^2 - 2x - 3=(x+1)(x-3)$,
$2x^2 - 3x +1=2(x^2-3/2x+1/2)=2(x-1)(x-1/2)$.

Da cui
$(2x-3)(x^2 - 2x - 3)(2x^2 - 3x +1)=2(x-3/2)(x+1)(x-3)2(x-1)(x-1/2)=$
$4(x+1)(x-1/2)(x-1)(x-3/2)(x-3)$
e la disequazione si può scrivere come
$4(x+1)(x-1/2)(x-1)(x-3/2)(x-3)<0$
che è equivalente (dividendo per $4$, che è un numero $>0$) a
$(x+1)(x-1/2)(x-1)(x-3/2)(x-3)<0$.

Facendo una tabella dei segni dei 5 fattori si ottiene
$|( , -1, , 1/2, , 1, , 3/2, ,3, , ),( -, \|, +, \|, +, \|, +, \|, +, \|,+, x+1),( -, \|, -, \|, +, \|, +, \|, +, \|,+, x-1/2),( -, \|, -, \|, -, \|, +, \|, +, \|,+, x-1),( -, \|, -, \|, -, \|, -, \|, +, \|,+, x-3/2),( -, \|, -, \|, -, \|, -, \|, -, \|,+, x-3), ( -, \|, +, \|, -, \|, +, \|, -, \|,+, \text(prodotto))|$

Considerato il verso della disequazione ($<0$), le soluzioni corrispondono alle regioni in cui il prodotto è $<0$ e quindi sono:
$x<-1$, $1/2

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[giammaria2]

Oltre al metodo indicato da chiaraotta potevi anche usare il tuo (io lo preferisco perché fa tracciare meno righe); se però vuoi che la linea continua indichi il più, nelle tue disequazioni devi sempre mettere il $>0$ e non il $<0$, qualunque sia il verso della disequazione data.
Alla fine non devi fare l'intersezione (che significa che vuoi che tutte le disequazioni siano verificate) ma chiederti il segno: ad esempio, se hai due righe tratteggiate ed una continua il ragionamento è (meno)*(meno)*(più)=(più) e quella zona non ti va bene perché la disequazione iniziale chiedeva il meno.

[Bad90]

Ma come si risolve la seguente disequazione?

$ (|x+2|)/(x-3)<2 $

[burm87]

Con i classici sistemi:

${(x+2>=0),((x+2)/(x-3)<2):}$ $U$ ${(x+2<0),((-(x+2))/(x-3)<2):}$

[Bad90]

Ma non capisco perchè il testo dice che deve essere $ x<3 $ e $ x>8 $

[burm87]

Per se svolgi i due sistemi ed unisci le soluzioni quello che risulta è proprio $x<3 vv x>8$.

Andando nel dettaglio, il primo sistema risulta essere:

${(x>=-2),(x<3 vv x>8):}$

che ha soluzione $-2<=x<3 vv x>8$.

Il secondo sistema invece:

${(x<-2),(x<4/3 vv x>3):}$

che ha soluzione $x<-2$.

Unisci le due soluzioni e il gioco è fatto.

[Bad90]

Ho fatto, solo che nel primo sistema, abbiamo imposto la condizione $ >= $ , perchè invece si considera $ > $ oppure $ < $

[burm87]

Non credo di aver ben capito la domanda.