Sistemi di disequazioni
Ho risolto il seguente sistema di disequazioni, non ho avuto problemi nel risolverli, solo che sto avendo un po di problemini nel dare la soluzione finale 
Non mi dilungo nei passaggi, data la semplicità esecutiva delle disequazioni......
$ { ( 2x^2-5x-3>0 ),( x^2-4<0 ),( 2x+3>0 ):} $
Risolvo la prima.
Utilizzo l'equazione associata, correggetemi se sbaglio, ma si fa questo in quanto si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:
$ 2x^2-5x-3>0 $
Mi porta alle $ x $ che sono
$ x> -1/2; x> 3 $
In questo primo caso, la disequazione è verificata per gli intervalli
$ x<-1/2; x > 3 $
Risolvo la seconda.
$ x^2-4<0 $
Si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:
$ x^2-4 = 0 $
Che mi porta ad avere le soluzioni
$ x>2;x> -2 $
Bene,
ho già detto che in questa disequazione di secondo grado, vi è una potenza pari $ x^2 $ , quindi si potrà risolvere l'equazione associata $ x^2-4=0 $ . Le due soluzioni $ x_1>+2 $ e $ x_2> -2 $ . Queste indicano che il $ Delta>0 $ , e siccome $ a=1>0 $ e il segno della disequazione è $ <0 $ , i due segni sono discordi e quindi la disequazione è verificata nell'intervallo $ -2
Risolvo la terza.
$ 2x+3>0 $
Mi porta al seguente risultato:
$ x> -3/2 $
In questo caso, la disequazione è verificata per tutto $ R $ , quindi $ x in R $ , infatti ho unica linea continua verso destra, quindi prende tutti i valori positivi, dite che ho detto bene per questa terza disequazione?
Adesso devo arrivare alla conclusione finale
Cosa devo dire? Come bisogna esprimersi?
Sempre se tutto quello che ho scritto sopra fila bene , cerco di trarre le conclusioni e spero di non dire eresie..... 
Ho tracciato il grafico dei segni, ed ho cercato i settori che verificati in primis singolarmente, danno contemporaneamente "tutte e tre" delle zone verificate in comune! Quella zona è $ -3/2
Dite che ho detto tutto correttamente?
Grazie mille!
Non mi dilungo nei passaggi, data la semplicità esecutiva delle disequazioni......
$ { ( 2x^2-5x-3>0 ),( x^2-4<0 ),( 2x+3>0 ):} $
Risolvo la prima.
Utilizzo l'equazione associata, correggetemi se sbaglio, ma si fa questo in quanto si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:
$ 2x^2-5x-3>0 $
Mi porta alle $ x $ che sono
$ x> -1/2; x> 3 $
In questo primo caso, la disequazione è verificata per gli intervalli
$ x<-1/2; x > 3 $
Risolvo la seconda.
$ x^2-4<0 $
Si ha una potenza pari e quindi è possibile utilizzare l'equazione associata:
$ x^2-4 = 0 $
Che mi porta ad avere le soluzioni
$ x>2;x> -2 $
Bene,
ho già detto che in questa disequazione di secondo grado, vi è una potenza pari $ x^2 $ , quindi si potrà risolvere l'equazione associata $ x^2-4=0 $ . Le due soluzioni $ x_1>+2 $ e $ x_2> -2 $ . Queste indicano che il $ Delta>0 $ , e siccome $ a=1>0 $ e il segno della disequazione è $ <0 $ , i due segni sono discordi e quindi la disequazione è verificata nell'intervallo $ -2Risolvo la terza.
$ 2x+3>0 $
Mi porta al seguente risultato:
$ x> -3/2 $
In questo caso, la disequazione è verificata per tutto $ R $ , quindi $ x in R $ , infatti ho unica linea continua verso destra, quindi prende tutti i valori positivi, dite che ho detto bene per questa terza disequazione?
Adesso devo arrivare alla conclusione finale
Cosa devo dire? Come bisogna esprimersi?
Sempre se tutto quello che ho scritto sopra fila bene
, cerco di trarre le conclusioni e spero di non dire eresie..... Ho tracciato il grafico dei segni, ed ho cercato i settori che verificati in primis singolarmente, danno contemporaneamente "tutte e tre" delle zone verificate in comune! Quella zona è $ -3/2
Dite che ho detto tutto correttamente?
Grazie mille!
Risposte
Se un numero è $>0$ è anche $>=0$ .... $21$ è $>0$ ed è anche $>=0$.
"chiaraotta":
Se un numero è $>0$ è anche $>=0$ .... $21$ è $>0$ ed è anche $>=0$.
Vorrei saperlo dimostrare....
Se $ 21>=0 $ allora potrà essere $ 21>0 $ perchè effettivamente è $ >0 $ , ma $ 21=0 $
Ma si riferisce ad una possibile equazione?
Il simbolo $>=$ significa che tutto va bene sia quando è maggiore che quando è uguale; se anche capita che l'uguale non valga mai, ci basta il maggiore. E' un po' come per la parola "almeno": se dico che per votare bisogna avere almeno 18 anni e in un paesetto non ci sono giovani, non escludo certo i vecchi dal voto.
"giammaria":
Il simbolo $>=$ significa che tutto va bene sia quando è maggiore che quando è uguale; se anche capita che l'uguale non valga mai, ci basta il maggiore. E' un po' come per la parola "almeno": se dico che per votare bisogna avere almeno 18 anni e in un paesetto non ci sono giovani, non escludo certo i vecchi dal voto.
Perfetto
Adesso ho compreso il concetto perfettamente
Non so come fai, ma riesci sempre a trovare il modo per rendere facili i concetti ad una testa dura come me!
Ti ringrazio vivamente!
Esperienza e forse anche dono di madre natura. Comunque, mi lusinghi.
"giammaria":
Esperienza e forse anche dono di madre natura. Comunque, mi lusinghi.
Certamente
, penso che quando un qualcosa è evidente è bene evidenziarlo, è bene dirlo ed è un piacere vedere persone tali in una epoca in cui la superficialità dilaga! E' una dote di natura anche il saper condividere con gli altri le proprie esperienze, il proprio sapere. Quindi non mi resta che continuare a ringraziarti! 
Sto riprendendo alcuni concetti, ho cominciato a studiare bene analisi matematica, solo che no sto ricordando perfettamente lo studio delle seguenti disequazioni:
$ ax>=b $
e
$ ax<=b $
Poi un'altra cosa che non ricordo è questa definizione:
Dati due numeri reali $ a $ e $ b $ , con $ a
- Intervallo aperto ( $ a,b $ ) di estremi $ a $ e $ b $ l'insieme dei valori $ x $ tali che $ a
- Intervallo chiuso [ $ a,b $ ] di estremi $ a $ e $ b $ l'insieme dei valori $ x $ tali che $ a<=x<=b $
Ma perchè nell'intervallo chiuso compare quel $ <= $
Help!
$ ax>=b $
e
$ ax<=b $
Poi un'altra cosa che non ricordo è questa definizione:
Dati due numeri reali $ a $ e $ b $ , con $ a
- Intervallo aperto ( $ a,b $ ) di estremi $ a $ e $ b $ l'insieme dei valori $ x $ tali che $ a
- Intervallo chiuso [ $ a,b $ ] di estremi $ a $ e $ b $ l'insieme dei valori $ x $ tali che $ a<=x<=b $
Ma perchè nell'intervallo chiuso compare quel $ <= $
Help!
Prima domanda: per risolvere quelle disequazioni devi dividere per $a$ e quando si divide per un numero negativo il verso cambia. Quindi, data la disequazione $ax>=b$,
- se $a>0$ la soluzione è $x>=b/a$;
- se $a<0$ la soluzione è $x<=b/a$;
- se $a=0$ diventa $0>=b$ ed è sempre verificata se $b<=0$, mai verificata se $b>0$.
Analogo, a versi scambiati, per l'altra disequazione.
Seconda domanda: per definizione. Un intervallo si dice chiuso se anche gli estremi ne fanno parte; aperto in caso contrario.
- se $a>0$ la soluzione è $x>=b/a$;
- se $a<0$ la soluzione è $x<=b/a$;
- se $a=0$ diventa $0>=b$ ed è sempre verificata se $b<=0$, mai verificata se $b>0$.
Analogo, a versi scambiati, per l'altra disequazione.
Seconda domanda: per definizione. Un intervallo si dice chiuso se anche gli estremi ne fanno parte; aperto in caso contrario.
Ok, perfetto! Ti ringrazio!
Ma perchè se ho $ Delta = 0 $ e $ a>0 $ la disequazione è sempre vera
Primo caso.
Insomma, come faccio a verificare se le condizioni che ho scritto sopra sono verificate per la seguente disequazione
$ x^2 - 6x + 9<0 $
Non sto ricordando come si fanno le verifiche
Secondo caso.
Ma perchè se ho $ Delta < 0 $ e $ a>0 $ la disequazione è sempre vera
$ x^2 - x + 1 > 0 $
Come faccio a verificarla
Primo caso.
Insomma, come faccio a verificare se le condizioni che ho scritto sopra sono verificate per la seguente disequazione
$ x^2 - 6x + 9<0 $
Non sto ricordando come si fanno le verifiche
Secondo caso.
Ma perchè se ho $ Delta < 0 $ e $ a>0 $ la disequazione è sempre vera
$ x^2 - x + 1 > 0 $
Come faccio a verificarla
Se $Delta = 0$ allora le radici del polinomio $ax^2 + bx + c$ sono coincidenti e quindi può essere scomposto come $a(x-x_0)^2$ dove $x_0$ è la radice doppia. Nel tuo caso $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ che è sempre maggiore o uguale a 0 per ogni $x$ reale. Quindi la disequazione proposta da te non è mai verificata.
Scusami, ma non sto capendo questo che hai scritto:
"Pianoth":
Se $Delta = 0$ allora le radici del polinomio $ax^2 + bx + c$ sono coincidenti e quindi può essere scomposto come $a(x-x_0)^2$ dove $x_0$ è la radice doppia.
Le soluzioni dell'equazione $ax^2 + bx + c = 0$ sono date dalla formula $x = (-b pm sqrt(Delta))/(2a)$ dove $Delta = b^2 - 4ac$, ricordi? Se il $Delta = 0$ allora $x = -b/(2a)$, quindi si ha una sola soluzione. Se ti ricordi, le radici di un polinomio sono i valori che annullano il polinomio, ossia che rendono vera l'uguaglianza $text(Polinomio) = 0$. Inoltre dovresti ricordare che, una volta trovate le radici $x_1$ e $x_2$ di un polinomio $ax^2 + bx + c$ puoi scomporre tale polinomio come $a(x - x_1)(x - x_2)$. Nel caso in cui il $Delta = 0$ si ha che $x_1 = x_2$, quindi il polinomio viene scomposto come $a(x - x_1)^2$. Chiaro? Se non ti è chiaro dimmi che cosa in particolare non ti è chiaro.
"Bad90":
Secondo caso.
Ma perchè se ho $ Delta < 0 $ e $ a>0 $ la disequazione è sempre vera
$ x^2 - x + 1 > 0 $
Come faccio a verificarla
Questa non è facile facile da rispondere in modo semplice da capire. Cercherò di essere quanto più chiaro possibile, comunque se non capisci qualcosa chiedi pure chiarimenti.
Dobbiamo dimostrare che se $a > 0$ e $Delta < 0$ allora la disequazione $ax^2 + bx + c > 0$ è sempre verificata.
Quando il $Delta < 0$, il trinomio $ax^2 + bx + c$ è irriducibile, ossia non possiamo scomporre il trinomio in fattori. Tuttavia possiamo usare il metodo del completamento del quadrato per trasformare il trinomio. Innanzitutto raccogliamo $a$ (con $a != 0$):
$a(x^2 + b/a x + c/a)$
Il termine $b/a x$ può essere visto come il doppio prodotto $2 * x * b/(2a)$; aggiungiamo e togliamo all'interno delle parentesi il quadrato di $b/(2a)$, così possiamo riconoscere un quadrato di binomio:
$a[x^2 + b/a x + c/a + (b/(2a))^2 - (b/(2a))^2]$
$a[(x + b/(2a))^2 + (c/a - b^2/(4a^2))]$
Notiamo che $(x + b/(2a))^2$ è sempre positivo. Dato che dobbiamo dimostrare che il polinomio è essere maggiore di $0$, è sufficiente dimostrare che $(c/a - b^2/(4a^2))$ è sempre positivo. A tale scopo sommiamo quelle due frazioni:
$c/a - b^2/(4a^2) = (4ac - b^2)/(4a^2) = (-(b^2-4ac))/(4a^2) = (-Delta)/(4a^2)$
$-Delta$ è sempre positivo, dato che per ipotesi $Delta<0$;
$4a^2$ è sempre positivo, dato che per ipotesi $a > 0$.
Quindi $ax^2 + bx + c = a[(x+b/(2a))^2 + (-Delta)/(4a^2)]$ è sempre maggiore di $0$.
Io penso che si possa rispondere dicendo che qualsiasi sia il valore della $ x=+-1 $ la disequazione sara' sempre verificata!
Non so se basta cio' che ho detto io!
Cosa ne dici??
Non so se basta cio' che ho detto io!
Cosa ne dici??
Non mi è tanto chiaro un concetto.....
Se io ho la seguente disequazione:
Primo caso.
$ C(x) >sqrt(D(x)) $
Io so che il sistema risolutivo è:
$ { ( C(x) >0 ),( D(x)>=0 ),( [C(x)]^2 > D(x) ):} $
Perfetto, ma poi se mi ritrovo con il seguente caso:
Secondo caso.
$ C(x)
Non mi è tanto chiaro il perchè devo impostare due sistemi
Cioè:
$ { ( C(x)<0 ),( D(x)>=0 ):} $
E
$ { ( C(x)>=0 ),( [C(x)]^2 < D(x) ):} $
Per quale motivo
Potreste per favore aiutarmi a capire il senso di questi due casi???
E poi perchè nel primo caso devo considerare l'intersezione mentre nel secondo caso devo considerare l'unione
Se io ho la seguente disequazione:
Primo caso.
$ C(x) >sqrt(D(x)) $
Io so che il sistema risolutivo è:
$ { ( C(x) >0 ),( D(x)>=0 ),( [C(x)]^2 > D(x) ):} $
Perfetto, ma poi se mi ritrovo con il seguente caso:
Secondo caso.
$ C(x)
Non mi è tanto chiaro il perchè devo impostare due sistemi
Cioè:
$ { ( C(x)<0 ),( D(x)>=0 ):} $
E
$ { ( C(x)>=0 ),( [C(x)]^2 < D(x) ):} $
Per quale motivo
Potreste per favore aiutarmi a capire il senso di questi due casi???
E poi perchè nel primo caso devo considerare l'intersezione mentre nel secondo caso devo considerare l'unione
\[ C(x) < \sqrt{D(x)} \]
Intanto, necessariamente deve valere \(\displaystyle D(x) \geq 0 \) (è una condizione di esistenza).
A questo punto distinguiamo due casi: \(\displaystyle C(x)<0 \) e \(\displaystyle C(x)\geq 0\)
Quindi abbiamo ${(C(x)<0),(D(x)>=0),(C(x)< sqrt( D(x) ) ):} vv {(C(x)>=0),(D(x)>=0),(C(x)< sqrt( D(x) )):}$
Fin qui ci sei?
Intanto, necessariamente deve valere \(\displaystyle D(x) \geq 0 \) (è una condizione di esistenza).
A questo punto distinguiamo due casi: \(\displaystyle C(x)<0 \) e \(\displaystyle C(x)\geq 0\)
Quindi abbiamo ${(C(x)<0),(D(x)>=0),(C(x)< sqrt( D(x) ) ):} vv {(C(x)>=0),(D(x)>=0),(C(x)< sqrt( D(x) )):}$
Fin qui ci sei?
Si fin qui' ci sono!
Bene. Ora esaminiamo separatamente i due sistemi.
Il primo: se osservi con attenzione, la condizione $C(x)
allora necessariamente $C(x)
Ok?
Quindi il primo sistema puoi scriverlo così: ${(C(x)<0),(D(x)>=0):}$
Il primo: se osservi con attenzione, la condizione $C(x)
allora necessariamente $C(x)
Ok?
Quindi il primo sistema puoi scriverlo così: ${(C(x)<0),(D(x)>=0):}$
Perfetto! Si sta riaccendendo la memoria! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo