Parabola
Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Risposte
"Bad90":
....
Per $ x=-1 $ la $ y=-1^2=>1 $ , quindi $ P'''(-1,1) $
Ricavo il punto $ P'''' $ :
Per $ x=-2 $ la $ y=-2^2=>4 $ , quindi $ P''''(-2,4) $
...
Per $ x=-1 $ la $ y=(-1)^2=>1 $
Per $ x=-2 $ la $ y=(-2)^2=>4 $
"giammaria":
Bene il resto, ma
$y_F=1/(4a)+y_V=1/(4*1)+0=1/4$
e quindi il fuoco è $F(0,1/4)$. La direttrice ha equazione $y=-1/4$
Scusa ma la formula del fuoco $ F $ è questa?
$ F=(-b/(2a),1/(4a)-Delta/(4a)) $
Ovviamente la$y_F=1/(4a)+y_V$, è la somma della $y_F+y_V$, Giusto
Ed hai ricavato il fuoco, in questo modo:
$ F=(0,1/(4a)) =>F=(0,1/(4*1))$
Ovviamente la direttrice è dalla parte opposta e quindi $ d=-1/4 $ .
Ti ringrazio!
La formula che dai per il fuoco è giusta ma io preferisco ricordarla come $F(x_V, 1/(4a)+y_V)$: risparmia alcuni calcoli e in qualche problema è comodo ricordare che fuoco e vertice hanno la stessa $x$ e distano di $1/(4a)$ in verticale. Non capisco bene cosa intendevi con "Ovviamente la $y_F=1/(4a)+y_V$, è la somma della $y_F+y_V$ "; detto così è sbagliato perché quella formula dà l'ordinata del fuoco e non la somma con quella del vertice.
"giammaria":
La formula che dai per il fuoco è giusta ma io preferisco ricordarla come $F(x_V, 1/(4a)+y_V)$: risparmia alcuni calcoli e in qualche problema è comodo ricordare che fuoco e vertice hanno la stessa $x$ e distano di $1/(4a)$ in verticale.
Ecco,
hai detto ciò che ho cercato di dire io, solo che io ho fatto un caos con i concetti! 
Quindi ti ringrazio per aver esposto chiaramente il tutto!
Esercizio 2
Tracciare il grafico della parabola, determinando anche le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice, della seguente parabola:
$ y=-x^2 $
Ricavo alcuni punti della parabola
$ x=1 $ allora $ y=-(1)^2=>-1 $ quindi $ P'(1,-1) $
$ x=-1 $ allora $ y=-(-1)^2=>-1 $ quindi $ P''(-1,-1) $
$ x=2 $ allora $ y=-(2)^2=>-4 $ quindi $ P'''(2,-4) $
$ x=-2 $ allora $ y=-(-2)^2=>-4 $ quindi $ P''''(-2,-4) $
Penso vadano bene, perchè facendo il grafico, risultano corretti!
Tracciare il grafico della parabola, determinando anche le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice, della seguente parabola:
$ y=-x^2 $
Ricavo alcuni punti della parabola
$ x=1 $ allora $ y=-(1)^2=>-1 $ quindi $ P'(1,-1) $
$ x=-1 $ allora $ y=-(-1)^2=>-1 $ quindi $ P''(-1,-1) $
$ x=2 $ allora $ y=-(2)^2=>-4 $ quindi $ P'''(2,-4) $
$ x=-2 $ allora $ y=-(-2)^2=>-4 $ quindi $ P''''(-2,-4) $
Penso vadano bene, perchè facendo il grafico, risultano corretti!
Sto cercando di risolvere questo tipo di esercizi:
In ciascuna delle seguenti figure, e' disegnata, in un riferimento cartesiano, una parabola che ha equazione del tipo $ y=ax^2+bx+c $ .Stabilire, caso per caso, se siano positivi, negativi o nulli i coefficienti $ a;b;c $ .
Ovviamente ho dei grafici con delle parabole che puntano verso l'alto e verso il basso, in varie posizioni degli assi cartesiani.
Come mi consigliate di risolvere questi esercizi?
Grazie mille.
In ciascuna delle seguenti figure, e' disegnata, in un riferimento cartesiano, una parabola che ha equazione del tipo $ y=ax^2+bx+c $ .Stabilire, caso per caso, se siano positivi, negativi o nulli i coefficienti $ a;b;c $ .
Ovviamente ho dei grafici con delle parabole che puntano verso l'alto e verso il basso, in varie posizioni degli assi cartesiani.
Come mi consigliate di risolvere questi esercizi?
Grazie mille.
Per $a>0$ la parabola è rivolta verso l'alto (un mio allievo la diceva "a sorriso"), altrimenti verso il basso: da questo deduci subito il segno di $a$.
La parabola passa per il punto (0,c), cioè $c$ è l'intersezione con l'asse $y$: il grafico ti dice se questa intersezione è positiva o negativa.
$b$ non ha una immediata visualizzazione grafica ma puoi capirne il segno guardando se il vertice è a destra o sinistra dell'asse y: essendo $x_V=-b/(2a)$ se $b$ ed $a$ hanno lo stesso segno si ottiene $x_V<0$ cioè siamo a sinistra.
La parabola passa per il punto (0,c), cioè $c$ è l'intersezione con l'asse $y$: il grafico ti dice se questa intersezione è positiva o negativa.
$b$ non ha una immediata visualizzazione grafica ma puoi capirne il segno guardando se il vertice è a destra o sinistra dell'asse y: essendo $x_V=-b/(2a)$ se $b$ ed $a$ hanno lo stesso segno si ottiene $x_V<0$ cioè siamo a sinistra.
"giammaria":
Per $a>0$ la parabola è rivolta verso l'alto (un mio allievo la diceva "a sorriso"), altrimenti verso il basso: da questo deduci subito il segno di $a$.
La parabola passa per il punto (0,c), cioè $c$ è l'intersezione con l'asse $y$: il grafico ti dice se questa intersezione è positiva o negativa.
$b$ non ha una immediata visualizzazione grafica ma puoi capirne il segno guardando se il vertice è a destra o sinistra dell'asse y: essendo $x_V=-b/(2a)$ se $b$ ed $a$ hanno lo stesso segno si ottiene $x_V<0$ cioè siamo a sinistra.
Accipicchia, del valore di $a>0;a<0$, ero sicuro sin dall'inizio, ma dei valori di $b,c$, ci devo ragionare un po su!
Ho fatto un pò di verifiche in base a quello che mi hai detto, e penso di avere le idee più chiare!
Ti ringrazio!
Ma se si dovesse esprimere con termini più sempliciotti, il termine $ b $ ed il termine $ c $ , il loro significato nella parabola, come si potrebbe esprimere?
Si potrebbe dire che $ b $ è un punto dell'asse $ x $ e $ c $ è un punto dell'asse $ y $
Vorrei evitare di imparare a memoria queste quattro formule del vertice, dell'asse di simmetria, del fuoco, della direttrice , come devo fare?
Ascoltando il tuo consiglio, per le formule del fuoco, faccio riferimento alla formula del vertice, e quindi mi torna facile ricordare come ottenere i valori del fuoco, ma se devo ricordare le formule del vertice, a cosa devo pensare?
Grazie mille!
Si potrebbe dire che $ b $ è un punto dell'asse $ x $ e $ c $ è un punto dell'asse $ y $
Vorrei evitare di imparare a memoria queste quattro formule del vertice, dell'asse di simmetria, del fuoco, della direttrice
, come devo fare? Ascoltando il tuo consiglio, per le formule del fuoco, faccio riferimento alla formula del vertice, e quindi mi torna facile ricordare come ottenere i valori del fuoco, ma se devo ricordare le formule del vertice, a cosa devo pensare?
Grazie mille!
$c$ è il punto in cui la parabola incontra l'asse y.
Invece $b$, da solo, non è niente e acquista significato dalla $x_V=-b/(2a)$: questo suo collegamento ad $a$ indica di quanto la parabola si sposta verso destra o sinistra. Direi che c'è un unico caso in cui $b$ ha significato anche da solo: se $b=0$ il vertice sta sull'asse y.
Non conosco alcun promemoria per la formula della $x_V$; puoi inventarlo tu oppure rassegnarti a memorizzarla per bene, consolandoti col fatto che è facile.
Quanto alla formula per la $y_V$ io la uso molto raramente e di solito preferisco dire che anche il vertice è un punto della parabola e quindi
$y_V=ax_V^2+bx_V+c$
e usare quasi sempre questa formula. Da qui puoi anche dedurre quella riportata dal libro; infatti
$y_V=ax_V^2+bx_V+c=a(-b/(2a))^2+b(-b/(2a))+c=...=-(b^2-4ac)/(4a)=-Delta/(4a)$
Invece $b$, da solo, non è niente e acquista significato dalla $x_V=-b/(2a)$: questo suo collegamento ad $a$ indica di quanto la parabola si sposta verso destra o sinistra. Direi che c'è un unico caso in cui $b$ ha significato anche da solo: se $b=0$ il vertice sta sull'asse y.
Non conosco alcun promemoria per la formula della $x_V$; puoi inventarlo tu oppure rassegnarti a memorizzarla per bene, consolandoti col fatto che è facile.
Quanto alla formula per la $y_V$ io la uso molto raramente e di solito preferisco dire che anche il vertice è un punto della parabola e quindi
$y_V=ax_V^2+bx_V+c$
e usare quasi sempre questa formula. Da qui puoi anche dedurre quella riportata dal libro; infatti
$y_V=ax_V^2+bx_V+c=a(-b/(2a))^2+b(-b/(2a))+c=...=-(b^2-4ac)/(4a)=-Delta/(4a)$
Esercizio 3
Determina l'equazione della parabola che ha come asse di simmetria quello delle ordinate ed il vertice nell'origine, sapendo che:
a) Passa per il punto (1,1)
b) Ha il fuoco nel punto (0,2)
c) Ha come direttrice la retta di equazione $ y=-1/4 $
Per il punto a) e' facile dare una risposta, perche nella teoria che ho studiato ci sono parecchi riferimenti simili, quindi dico subito che la soluziine e' $ y=x^2 $ !
Ma per il punto b) e il punto c), a cosa devo fare riferimento per dare una risposta?
Grazie mille!
Determina l'equazione della parabola che ha come asse di simmetria quello delle ordinate ed il vertice nell'origine, sapendo che:
a) Passa per il punto (1,1)
b) Ha il fuoco nel punto (0,2)
c) Ha come direttrice la retta di equazione $ y=-1/4 $
Per il punto a) e' facile dare una risposta, perche nella teoria che ho studiato ci sono parecchi riferimenti simili, quindi dico subito che la soluziine e' $ y=x^2 $ !
Ma per il punto b) e il punto c), a cosa devo fare riferimento per dare una risposta?
Grazie mille!
Puoi cominciare ricordando subito che la prima parabola che hai studiato, cioè $y=ax^2$, è proprio quella che ha come asse di simmetria quello delle ordinate ed il vertice nell'origine. Se questo non ti viene in mente o se hai dei dubbi il ragionamento può essere questo: il vertice è sull'asse y quindi $b=0$; l'asse y è incontrato in O(0,0) quindi $c=0$; mi resta solo $y=ax^2$.
Dobbiamo ora determinare $a$ e prova a pensarci tu; sono tre domande diverse e avranno ognuna una sua risposta.
Dobbiamo ora determinare $a$ e prova a pensarci tu; sono tre domande diverse e avranno ognuna una sua risposta.
Sto cercando di farmi tutte le domande possibili, ma non sto riuscendo a darmi una risposta. Cosa dovrei chiedermi? Grazie mille!
Per il punto b) ho pensato che se la traccia mi da il fuoco F(0,2), data la formula del fuoco che mi da la $ y=(1/(4a)-Delta/(4a)) $ , sara' $ 2=1/(4a) $ e quindi la a sara' $ a=1/8 $ .
L'equazione della parabola sara' $ y=1/8x^2 $ .
Ho fatto bene fin qui'?
Per il punto b) ho pensato che se la traccia mi da il fuoco F(0,2), data la formula del fuoco che mi da la $ y=(1/(4a)-Delta/(4a)) $ , sara' $ 2=1/(4a) $ e quindi la a sara' $ a=1/8 $ .
L'equazione della parabola sara' $ y=1/8x^2 $ .
Ho fatto bene fin qui'?
Sì, hai fatto bene. Il punto c) è analogo: l'equazione della direttice è $y=-1/(4a)+y_V$ e nel nostro caso diventa $y=-1/(4a)$ quindi $-1/(4a)=-1/4=>a=1$
Perfetto!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Esercizio 4
Determinare a e b in modo tale che oa parabola $ y=ax^2+bx-10 $ ,passi per il punto P(1,-20) e per il punto Q(-2,28).
Determinare a e b in modo tale che oa parabola $ y=ax^2+bx-10 $ ,passi per il punto P(1,-20) e per il punto Q(-2,28).
Determinare \(a\) e \(b\) in modo tale che la parabola \( y=ax^2+bx-10 \) passi per i punti \(P(1,-20)\) e \(Q(-2,28)\).
Deve valere \(\displaystyle -20 = a+b-10 \) e \(\displaystyle 28 = 4a-2b-10 \), cioè \(\displaystyle \begin{cases}a+b= -10 \\ 4a-2b=38 \end{cases} \)
"Gi8":Determinare \(a\) e \(b\) in modo tale che la parabola \( y=ax^2+bx-10 \) passi per i punti \(P(1,-20)\) e \(Q(-2,28)\).
Deve valere \(\displaystyle -20 = a+b-10 \) e \(\displaystyle 28 = 4a-2b-10 \), cioè \(\displaystyle \begin{cases}a+b= -10 \\ 4a-2b=38 \end{cases} \)
Avevo impostato lo stesso sistema, ma cadevo nell'errore di un segno nella seconda equazione, ed il risultato non veniva!
Ti ringrazio, adesso sono riuscito a risolvere il tutto!
Esercizio 5
Disegnare la parabola $ y=-x^2+bx+c $ , dopo aver determinato i coefficienti di b e c in modo che la parabola:
a) Passi per i punti (0,-8) e (-3,1)
b) Abbia vertice nel punto (5/2,9/4)
Per il punto a) non ho avuto problemi, ho ricavato l'equazione $ y=-x^2-6x-8 $ , ma per il punto b), non sto riuscendo a capire cosa devo fare!
O meglio, sono riuscito a ricavarmi il valore di $ b=5 $ , ma non sto riuscendo a ricavare il valore di c.
Disegnare la parabola $ y=-x^2+bx+c $ , dopo aver determinato i coefficienti di b e c in modo che la parabola:
a) Passi per i punti (0,-8) e (-3,1)
b) Abbia vertice nel punto (5/2,9/4)
Per il punto a) non ho avuto problemi, ho ricavato l'equazione $ y=-x^2-6x-8 $ , ma per il punto b), non sto riuscendo a capire cosa devo fare!
O meglio, sono riuscito a ricavarmi il valore di $ b=5 $ , ma non sto riuscendo a ricavare il valore di c.
Ti ricordo che le coordinate del vertice sono $(-b/(2a), - Delta/(4a))$
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