Limiti notevoli
Ho il seguente limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = 0 $
Non capisco come fa a compiere i seguenti passaggi:
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) $
Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $
Che poi diventa così, mi sembra ovvio:
$ lim_(x -> 0)(sen^2x)/(x(1+cosx)) $
E poi come fa ad ottenere questo?
$ lim_(x -> 0)((senx)/x*senx*1/(1+cosx)) = 1*0*1/2 = 0 $
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = 0 $
Non capisco come fa a compiere i seguenti passaggi:
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) $
Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $
Che poi diventa così, mi sembra ovvio:
$ lim_(x -> 0)(sen^2x)/(x(1+cosx)) $
E poi come fa ad ottenere questo?
$ lim_(x -> 0)((senx)/x*senx*1/(1+cosx)) = 1*0*1/2 = 0 $
Risposte
"Bad90":
...
Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $
Ha moltiplicato e diviso per $ 1+cosx $ perché così a numeratore ottiene $1-cos^2x$ che è uguale a $sin^2x$. In questo modo compare nel rapporto $(sin x)/x$ di cui è noto che il limite per $x->0$ è $=1$:
$lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) =lim_(x -> 0) (1-cos^2x)/(x*(1+cosx)) =lim_(x -> 0) (sin^2x)/(x*(1+cosx)) =lim_(x -> 0) ((sin x)/x*(sin x)/(1+cosx))=$
$1*(sin 0)/(1+cos 0)=1*0/(1+1)=0$.
Altro limite notevole di cui non sto capendo i passaggi:
$ lim_(x -> oo) (1+1/x)^x = e $
Il testo dice che:
$ lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^x = e^alpha $ con $ alpha in R $ (e non capisco perchè comincia con lo scriverlo in questo modo)
Poi comincia a dire che se $ alpha = 0 $ il limite è evidente, (penso che voglia dire che sia evidentemente nullo)
Ma se $ alpha != 0 $ si ha:
$ lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^x = lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^(x/alpha * alpha) $ (Ma cosa ha fatto e perchè???
)
Conclude dicendo che:
Posto $ x/alpha = t $ si ha $ lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^x = [lim_(t -> oo) (1+1/t)^t ]^alpha = e^alpha$
$ lim_(x -> oo) (1+1/x)^x = e $
Il testo dice che:
$ lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^x = e^alpha $ con $ alpha in R $ (e non capisco perchè comincia con lo scriverlo in questo modo)
Poi comincia a dire che se $ alpha = 0 $ il limite è evidente, (penso che voglia dire che sia evidentemente nullo)
Ma se $ alpha != 0 $ si ha:
$ lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^x = lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^(x/alpha * alpha) $ (Ma cosa ha fatto e perchè???
) Conclude dicendo che:
Posto $ x/alpha = t $ si ha $ lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^x = [lim_(t -> oo) (1+1/t)^t ]^alpha = e^alpha$
"Bad90":
Poi comincia a dire che se $ alpha = 0 $ il limite è evidente, (penso che voglia dire che sia evidentemente nullo)
Che sia evidente sono d'accordo, ma non evidentemente nullo, infatti se fai la prova ottieni $lim_(x->oo)(1+0/x)^x=lim_(x->oo)(1)^x=1$.
Per quanto riguarda il resto, il testo ti sta solo dimostrando come mai $lim_(x->oo)(1+a/x)^x=e^a$, partendo dal presupposto che nel caso in cui $a=1$ il risultato è $e$.
"Bad90":
$ lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^x = lim_(x -> oo) (1+alpha/x)^(x/alpha * alpha) $ (Ma cosa ha fatto e perchè???
Qui ha solo moltiplicato l'esponente per $a/a$, che lo lascia quindi invariato ma riesce poi a fare la sostituzione che segue.
Ma perchè tutti questi passaggi
Perchè tutti questi artifici
Perchè tutti questi artifici
Perchè si voleva dimostrare che il limite notevole può essere generalizzato anche con un parametro $a$, non mi pare tutta questa complicazione!
"burm87":
Perchè si voleva dimostrare che il limite notevole può essere generalizzato anche con un parametro $a$, non mi pare tutta questa complicazione!
Ho visto tutto il resto degli altri limiti notevoli, non riesco a capire un granche', il testo mi spara dei passaggi senza spiegare i passaggi!
Ma voi dite che e' il caso di capire i passaggi di tutti i limiti notevoli? Oppure sono dei limiti che restano da impare a memoria per poi utilizzarli???
Ma voi dite che e' il caso di capire i passaggi di tutti i limiti notevoli? Oppure sono dei limiti che restano da impare a memoria per poi utilizzarli???
Cioè, se ti viene chiesta teoria può essere che ti venga chiesta la dimostrazione, credo che la più "importante" sia quella di $sinx/x$. Se invece ti attende una prova più pratica, non credo le dimostrazioni siano strettamente necessarie.
"burm87":
Cioè, se ti viene chiesta teoria può essere che ti venga chiesta la dimostrazione, credo che la più "importante" sia quella di $sinx/x$.
Infatti quello e' un limite di cui ho studiato perfettamente tutta la dimostrazione!
"Bad90":
Ma perchè tutti questi passaggi
Perchè tutti questi artifici
I limiti possono presentarsi in molte forme diverse; per considerarle tutte dovresti studiare a memoria centinaia di formule e non credo che basterebbe. Si ricorre allora ad artifici per modificarli, in modo da poter usare solo alcuni limiti principali e dover ricordare solo quelli. Ad esempio, uno di questi artifici è moltiplicare e dividere per $1+cosx$; un altro è $x=x/a*a$ seguito da $t=x/a$. Quello che importa capire è quale artificio è utile nel caso del tuo esercizio: la domanda che devi porti non è "Perché questo artificio?" bensì "Che utile trae da questo artificio?" oppure "In quali casi mi può servire usare quest'artificio?".
Ok!
Non sto riuscendo a immaginare il perchè del seguente limite:
$ lim_((x -> pi/2)^-) tgx = +oo $
e
$ lim_((x -> pi/2)^+) tgx = -oo $
Insomma, ecco il grafico su cui sto lavorando per capire il perchè del limite:
Come faccio a giustificare il perchè del risultato del limite
Altro dubbio è come faccio a dire che:
$ lim_(x -> +oo) (3x)/(2x-1) = 3/2 $
Come faccio a dire che è $ 3/2 $
Ancora un' altro dubbio è come faccio a dire che:
$ lim_(x -> -+oo) (x^2 - 4)/(x^2 -6x +5) =1 $
Come faccio a dire che è $ 1 $
$ lim_((x -> pi/2)^-) tgx = +oo $
e
$ lim_((x -> pi/2)^+) tgx = -oo $
Insomma, ecco il grafico su cui sto lavorando per capire il perchè del limite:
Come faccio a giustificare il perchè del risultato del limite
Altro dubbio è come faccio a dire che:
$ lim_(x -> +oo) (3x)/(2x-1) = 3/2 $
Come faccio a dire che è $ 3/2 $
Ancora un' altro dubbio è come faccio a dire che:
$ lim_(x -> -+oo) (x^2 - 4)/(x^2 -6x +5) =1 $
Come faccio a dire che è $ 1 $
Per quanto riguarda quello della tangente ti consiglio di evitare la circonferenza goniometrica, ma fare un grafico "classico" della tangente su assi cartesiani, dove in asse x avrai gli angoli.
Per quanto riguarda gli altri due il metodo è sempre lo stesso, raccogli a numeratore e denominatore il grado massimo, fai le semplificazioni e considerazioni del caso.
Per quanto riguarda gli altri due il metodo è sempre lo stesso, raccogli a numeratore e denominatore il grado massimo, fai le semplificazioni e considerazioni del caso.
"burm87":
Per quanto riguarda gli altri due il metodo è sempre lo stesso, raccogli a numeratore e denominatore il grado massimo, fai le semplificazioni e considerazioni del caso.
Non sto capendo come fare!?!?!
Se non erro qualche giorno fa mi e' stato detto che con la calcolatrice, se ho un logaritmo del tipo:
$ log_2 3 $
Per sapere a quanto vale, posso utilizzare la formula del cambiamento di base e sapere a quanto vale, nel seguente modo:
$ log_2 3 = (ln3)/(ln2) $
In questo caso la calcolatrice ci dira' quanto vale, giusto???
$ log_2 3 $
Per sapere a quanto vale, posso utilizzare la formula del cambiamento di base e sapere a quanto vale, nel seguente modo:
$ log_2 3 = (ln3)/(ln2) $
In questo caso la calcolatrice ci dira' quanto vale, giusto???
Si, ma non capisco il legame con i limiti di prima.
Per i limiti vai al mio messaggio numero 409 nel topic della successioni a pagina 8 (che avevi detto di aver capito) e fai alla stessa maniera.
Per i limiti vai al mio messaggio numero 409 nel topic della successioni a pagina 8 (che avevi detto di aver capito) e fai alla stessa maniera.
"burm87":
Si, ma non capisco il legame con i limiti di prima.
Per i limiti vai al mio messaggio numero 409 nel topic della successioni a pagina 8 (che avevi detto di aver capito) e fai alla stessa maniera.
Si hai ragione, ma si trovava un esercizio in mezzo con questo logaritmo! Ok ri ringrazio!
Ecco il link:
viewtopic.php?f=11&t=116727&start=70
Non sto ricordando perche' I seguenti limiti non esistono:
$ lim_(x -> oo) 1/(senx) $
$ lim_(x -> oo) 1/(cosx) $
$ lim_(x -> oo) (tgx)/(x) $
Perche' non esistono???
$ lim_(x -> oo) 1/(senx) $
$ lim_(x -> oo) 1/(cosx) $
$ lim_(x -> oo) (tgx)/(x) $
Perche' non esistono???
Perchè non esiste il limite per $x->oo$ delle funzioni periodiche, credo la risposta sia questa.
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