Limiti notevoli

[Bad90]

Ho il seguente limite notevole:

$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = 0 $

Non capisco come fa a compiere i seguenti passaggi:

$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) $

Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $

Che poi diventa così, mi sembra ovvio:

$ lim_(x -> 0)(sen^2x)/(x(1+cosx)) $

E poi come fa ad ottenere questo?

$ lim_(x -> 0)((senx)/x*senx*1/(1+cosx)) = 1*0*1/2 = 0 $

[Bad90]

Non sto riuscendo a replicare i passaggi risolutivi del seguente limite:

$ lim_(x -> +oo) root(3)(x^3 + 2x^2 +1)-x $

Come devo risolverlo?????

[giammaria2]

Razionalizzando; devi ricorrere al prodotto notevole $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

[Bad90]

"giammaria":Razionalizzando; devi ricorrere al prodotto notevole $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

Ma non ci sto riuscendo, se faccio così:

$ lim_(x -> +oo) root(3)(x^3 + 2x^2 +1)-x $

$ ((root(3)(x^3 + 2x^2 +1)-x) * (root(3)(x^3 + 2x^2 +1)+x))/((root(3)(x^3 + 2x^2 +1)+x)) $

Arrivo a questo:

$ (x^3 + 2x^2 +1-x^2)/((root(3)(x^3 + 2x^2 +1)+x)) $

$ (x^3 + x^2 +1)/((root(3)(x^3 + 2x^2 +1)+x)) $

$ (x^3( 1+ 1/x +1/x^3))/(x^3 (root(3)(1+ 2/x +1/x^3)+1)) $

E poi a me viene di dire che deve essere $ 1/2 $

Non capisco come devo utilizzare il binomio che mi hai detto

[giammaria2]

No:
$(root(3)a-b)(root(3)a+b)=root(3)(a^2)-b^2!=a-b^2$.

I calcoli da fare erano
$=lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x^2+1)-x)*(root(3)((x^3+2x^2+1)^2)+xroot(3)(x^3+2x^2+1)+x^2)/(root(3)((x^3+2x^2+1)^2)+xroot(3)(x^3+2x^2+1)+x^2)=$

$=lim_(x->+oo)(x^3+2x^2+1-x^3)/(root(3)((x^3+2x^2+1)^2)+xroot(3)(x^3+2x^2+1)+x^2)=$

$=lim_(x->+oo)(x^2(2+1/x^2))/(x^2(root(3)((1+2/x+1/x^3)^2)+root(3)(1+2/x+1/x^3)+1))=2/3$

[Bad90]

Adesso mi sono impallato con il seguente:

$ lim_(x -> +oo) sqrt(4+1/n)= 2 $

Come faccio a risolverlo?
Il mio problema e' in quella radice quadra! Come faccio a toglierla?

[burm87]

Non la devi togliere. $1/n$ tende a 0 quindi $sqrt4=2$.

[Bad90]

"burm87":Non la devi togliere. $1/n$ tende a 0 quindi $sqrt4=2$.

Ma il mio testo fa dei passaggi strani!

[Bad90]

Ecco cosa fa:

$ lim_(x -> +oo) sqrt(4+1/n)= 2 $

$ |sqrt(4+1/n)- 2|< epsilon$

Poi mi scrive direttamente questa:

$ sqrt(4+1/n)- 2< epsilon$

Dice che bisogna risolverla, ma non mi fa vedere come

HELP

[burm87]

È la definizione di limite, quella con gli intorni. Di sicuro nel tuo libro la trovi da qualche parte.

[Bad90]

"burm87":È la definizione di limite, quella con gli intorni. Di sicuro nel tuo libro la trovi da qualche parte.

Si la so, e la so pure usare, solo che non sto capendo come fa algebricamente ad arrivare a questo:

$ nu = [(2+epsi)^2 -4]^-1 = 1/(4epsi+epsi^2) $

[burm87]

È piuttosto facile, porti di la il 2, elevi al quadrato e ricavi la $n$.

[Bad90]

"burm87":È piuttosto facile, porti di la il 2, elevi al quadrato e ricavi la $n$.

Allora sarà così:

$ sqrt(4+1/n)- 2< epsilon$

$ sqrt(4+1/n) < 2 + epsilon$

$ 4+1/n < (2 + epsilon)^2$

$ 1/n < (2 + epsilon)^2 - 4 $

$ n >1/ ((2 + epsilon)^2 - 4) $

$ n >1/ (4 + 4epsilon + epsilon^2 - 4) $

$ n >1/ (4epsilon + epsilon^2 ) $

Era la stanchezza che non mi faceva venire in mente questi passaggi algebrici

Ti ringrazio

[Bad90]

Ma quanto vale il seguente limite:

$ lim_(x -> -1^+) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $

E quanto se :

$ lim_(x -> 0^-) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $

E quanto se:

$ lim_(x -> 0^+) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $

E quanto se:

$ lim_(x -> 1^-) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $

HElp

Poi non sto capendo nemmeno come sia il grafico di questa funzione

[burm87]

In ciascun caso puoi togliere il valore assoluto e mettere $x$ o $-x$ a seconda che il valore a cui tende la variabile sia positivo o negativo. Poi semplifichi con la $x$ al numeratore e dopo dovrebbe venire.

[Bad90]

"burm87":In ciascun caso puoi togliere il valore assoluto e mettere $x$ o $-x$ a seconda che il valore a cui tende la variabile sia positivo o negativo. Poi semplifichi con la $x$ al numeratore e dopo dovrebbe venire.

Potresti per favore farmi vedere come fare, es. per il primo limite??

[Bad90]

Il testo mi dice che deve essere ............

$ lim_(x -> -1^+) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $ ; $ +oo$



$ lim_(x -> 0^-) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $ ; $1$



$ lim_(x -> 0^+) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $; $-1$



$ lim_(x -> 1^-) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $ $-oo$

Potreste aiutarmi a capire il ragionamento per risolvere questi limiti?
Dopo tutti quelli che ho risolto, non mi viene in mente il ragionamento da fare per arrivare a questa soluzione!!?!??

[burm87]

Ti faccio solo il primo caso, gli altri sono analoghi credo:
siccome $x->-1^+$ abbiamo che la $x$ è negativa, quindi $|x|=-x$.

Il limite diventa:
$lim_(x->-1^+)((-x)/(-xsqrt(1-x^2)))=lim_(x->-1^+)(1/(sqrt(1-x^2)))$

Ora, sostituendo, si ha che $-1^+$ elevato al quadrato diventa $1^-$, quindi resti al denominatore con $sqrt(1-1^-)=sqrt(0^+)=0^+$. La tua frazione si riduce quindi ad essere $1/0^+$ che va a $+oo$.

Gli altri casi sono analoghi, ricorda solo che quando la $x$ è negativa avrai $|x|=-x$ e quando invece è positiva hai che $|x|=x$. Prova!

[Bad90]

Non sto capendo come fai a dire che elevando al quadrato $-1^+$ diventa $1^-$

Che regola è
Potresti farmi vedere i passaggi ?
Io so che se $(-1)^2 = 1$ e non sto capendo ciò che hai fatto tu

[burm87]

Beh, possiamo dire che $-1^+$ è un numero appena più grande di $-1$. A titolo esemplificativo possiamo considerarlo $-0,9999999999999999$. Se tu lo elevi al quadrato diventerà positivo e appena più piccolo di $1$, cioè $1^-$.

[Bad90]

"burm87":Beh, possiamo dire che $-1^+$ è un numero appena più grande di $-1$. A titolo esemplificativo possiamo considerarlo $-0,9999999999999999$. Se tu lo elevi al quadrato diventerà positivo e appena più piccolo di $1$, cioè $1^-$.

Adesso ho capito